专题 03 一元二次方程及应用
【考点 1】一元二次方程的根的求值问题
【例 1】（2019•兰州）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
【答案】A
【解析】把 x＝1 代入方程 x2+ax+2b＝0 得 1+a+2b＝0，
所以 a+2b＝﹣1，
所以 2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A．
点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式 1-1】（2019•遂宁）已知关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0 有一个根为 x＝0，则 a 的
值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【答案】D
【解析】∵关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0 有一个根为 x＝0，∴a2﹣1＝0，且 a﹣1≠0，
则 a 的值为：a＝﹣1．
故选：D．
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
【变式 1-2】（2019•甘肃）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0 的一根为 x＝﹣1，则 k 的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 或﹣1 D．2 或 0
【答案】A
【解析】把 x＝﹣1 代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点 2】配方法解一元二次方程
【例 2】（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【答案】D
【解析】方程 x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式 2-1】（2019•金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0 时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【答案】A
【解析】用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0 时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点 3】因式分解法解一元二次方程
【例 3】（2019•桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0 的根是 ．
【答案】x1＝3，x2＝2
【解析】x﹣3＝0 或 x﹣2＝0，所以 x1＝3，x2＝2．
故答案为 x1＝3，x2＝2．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这
种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式 3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎
（m﹣3）＝24，则 m＝ ．
【答案】﹣3 或 4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0 或 2m﹣1﹣7＝0，
所以 m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3 或 4．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这
种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式 3-2】（2019•扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2 的根是 ．
【答案】x1＝2，x2＝1．
【解析】x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
【考点 4】一元二次方程的判别式问题
【例 4】（2019•铁岭）若关于x 的一元二次方程 ax2﹣8x+4＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围
是 ．
【答案】a＜4 且 a≠0
【解析】由题意可知：△＝64﹣16a＞0，∴a＜4，
∵a≠0，
∴a＜4 且 a≠0，
故答案为：a＜4 且 a≠0
点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
【变式 4-1】（2019•宁夏）已知一元二次方程 3x2+4x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范
围 ．
【答案】k ．
【解析】∵方程 3x2+4x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即 42﹣4×3×（﹣k）＞0，
解得 k ，
故答案为：k ．
点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个
不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
【变式 4-2】（2019•黄石）已知关于x 的一元二次方程 x2﹣6x+（4m+1）＝0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为 x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求 m 的值．
【解析】（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+（4m+1）＝0 有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程 x2﹣6x+（4m+1）＝0 的两个实数根为 x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即 32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有实
数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于 m 的一元一次方程．
【考点 5】一元二次方程的根与系数的关系问题
【例 5】（2019•十堰）已知于x 的元二次方程 x2﹣6x+2a+5＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2．（1）求 a 的取值范围；
（2）若 x12+x22﹣x1x2≤30，且 a 为整数，求 a 的值．
【答案】(1) a＜2；(2) ﹣1，0，1．
【解析】（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+2a+5＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得 a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a ，∵a 为整数，
∴a 的值为﹣1，0，1．
点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得 k 的取值范围是解题的关键，注
意方程根的定义的运用．
【变式 5-1】（2019•绥化）已知关于x 的方程 kx2﹣3x+1＝0 有实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为 x1 和 x2，当 x1+x2+x1x2＝4 时，求 k 的值．
【答案】(1) k 的取值范围为 k
(2) k 的值为 1．
【解析】（1）当 k＝0 时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x ，
∴k＝0 符合题意；
当 k≠0 时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k ．
综上所述，k 的取值范围为 k ．（2）∵x1 和 x2 是方程 kx2﹣3x+1＝0 的两个根，
∴x1+x2 ，x1x2 ．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴ 4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1 是分式方程的解，且符合题意．
∴k 的值为 1．
点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，
解题的关键是：（1）分 k＝0 及 k≠0 两种情况，找出 k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合
x1+x2+x1x2＝4，找出关于 k 的分式方程．
【考点 6】一元二次方程的增长率问题
【例 6】（2019•大连）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元
（1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均
收入是多少元？
【答案】(1) 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%
(2) 预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元
【解析】（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x，
根据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
【变式 6-1】（2019•贺州）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发展了
养殖业后，到 2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元．
（1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？
【答案】(1) 该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%
(2) 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元
【解析】（1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点 7】一元二次方程的面积问题
【例 7】（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，
然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒
子的侧面积为 200cm2？
【答案】当剪去正方形的边长为 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm2．
【解析】设剪去正方形的边长为 xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）
cm，高为 xcm，
依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1 ，x2＝10．
当 x＝10 时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm2．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式 7-1】（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部
分种草．要使草坪部分的总面积为 112m2，则小路的宽应为多少？
【答案】小路的宽应为 1m．
【解析】设小路的宽应为 xm，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16 不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为 1m．
点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
【考点 8】一元二次方程的销售问题
【例 8】（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品
进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 200 元时，
每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个．已知每个电子产品的固定成本为 100
元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32000 元？
【答案】这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000 元．
【解析】设降价后的销售单价为 x 元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x1＝x2＝180．
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000 元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式 8-1】（2019•安顺）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x
（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元．
【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y＝140；
∴ ，
解得： ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
1．（2019•滨州）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1＝0 时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【答案】D
【解析】x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
点睛:本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
2．（2019•营口）若关于 x 的方程 kx2﹣x 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k 且 k≠0 C．k D．k
【答案】C
【解析】当 k≠0 时，△＝1+4k 1+3k≥0，
∴k ，
∴k 且 k≠0，
当 k＝0 时，
此时方程为﹣x 0，满足题意，
故选：C．
点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．
3．（2019•丹东）等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+k＝0 的
两个实数根，则 k 的值是（ ）
A．8 B．9 C．8 或 9 D．12
【答案】B
【解析】当等腰三角形的底边为 2 时，
此时关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+k＝0 的有两个相等实数根，
∴△＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为 3，
∵2+3＞3，
∴k＝9 满足题意，
当等腰三角形的腰长为 2 时，此时 x＝2 是方程 x2﹣6x+k＝0 的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题
属于中等题型．
4．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为 a、b、4，且a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝
0 的两根，则 m 的值是（ ）
A．34 B．30 C．30 或 34 D．30 或 36
【答案】A
【解析】当 a＝4 时，b＜8，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0 的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8 不符合；
当 b＝4 时，a＜8，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0 的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8 不符合；
当 a＝b 时，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0 的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三
角形三边关系进行解题是关键．
5．（2019•荆州）若一次函数 y＝kx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b＝0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵一次函数 y＝kx+b 的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△
＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数
根．也考查了一次函数的性质．
6．（2019•遵义）一元二次方程 x2﹣3x+1＝0 的两个根为 x1，x2，则 x12+3x2+x1x2﹣2 的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解析】∵x1 为一元二次方程 x2﹣3x+1＝0 的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得 x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
点睛:本题考查了根与系数的关系：若 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（ a≠0）的两根时，
x1+x2 ，x1x2 ．
7．（2019•鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支
个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设这种植物每个支干长出 x 个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2019•朝阳）一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△
＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方
程无实数根．
9．（2019•湘潭）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0 有两个相等的实数根，则 c＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵方程 x2﹣4x+c＝0 有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于
c 的一元一次方程是解题的关键．
10．（2019•资阳）a 是方程 2x2＝x+4 的一个根，则代数式 4a2﹣2a 的值是 ．【答案】8
【解析】∵a 是方程 2x2＝x+4 的一个根，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
11.（2019•济宁）已知 x＝1 是方程 x2+bx﹣2＝0 的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】﹣2
【解析】∵x＝1 是方程 x2+bx﹣2＝0 的一个根，
∴x1x2 2，
∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
12．（2019•抚顺）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．
【答案】k≠0 且 k≤1
【解析】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0 且 k≤1，
故答案为：k≠0 且 k≤1；
点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
13．（2019•青海）某种药品原价每盒 60 元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒 48.6
元，则平均每次下调的百分率为 ．
【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分比是 x，根据题意得：
60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是 10%；故答案为：10%．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经
过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2＝b．
14．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入 5 亿元资金，并计划
投入资金逐年增长，明年将投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率
为 ．
【答案】20%
【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是 x，由题意得：
5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是 20%．
故答案是：20%．
点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
15．（2019•呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16 的实数根．
【答案】x1 ，x2 ．
【解析】原方程化为一般形式为 2x2﹣9x﹣34＝0，
x2 x＝17，
x2 x 17 ，
（x ）2 ，
x ± ，
所以 x1 ，x2 ．
点睛:本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．（2019•孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的实数根 x1，
x2．
（1）若 a 为正整数，求 a 的值；（2）若 x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2＝16，求 a 的值．
【解析】（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a 为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出 a 的取值范围，再由根与系数
的关系得出方程组是解答此题的关键．
17（2019•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增
加到 7.2 万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新增加的图书中，
中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占
藏书总量的百分之几？
【解析】（1）设这两年藏书的年均增长率是 x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是： 100%＝10%，
答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%．
点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．
18．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广
场长与宽的比为 3：2．扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，
铺设地砖费用每平方米 100 元．如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【解析】设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000
解得 x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以 3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m．
点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量
关系是关键．
19．（2019•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志
愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课
受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【解析】（1）设增长率为 x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得 x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为 10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适
的等量关系，列出方程，再求解．20．（2019•衡阳）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 有实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 与方程 x2﹣3x+k＝0 有一个
相同的根，求此时 m 的值．
【解析】（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得 k ；
（2）k 的最大整数为 2，
方程 x2﹣3x+k＝0 变形为 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 与方程 x2﹣3x+k＝0 有一个相同的根，
∴当 x＝1 时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得 m ；
当 x＝2 时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得 m＝1，
而 m﹣1≠0，
∴m 的值为 ．
点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△
＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数
根．
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