专题 04 不等式与不等式组
【考点 1】不等式的基本性质
【例 1】（2019•广安）若 ，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 错误；
、不等式的两边都乘以 ，不等号的方向改变，故 错误；
、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 错误；
、如 ， ， ， ；故 正确；
故选： ．
点睛：主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注
“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式 1-1】（2019•舟山）已知四个实数 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
m n> ( )
3 3m n+ > + 3 3m n− < −
3 3
m n> 2 2m n>
A A
B 3− B
C C
D 2m = 3n = − m n> 2 2m n< D
D
a b c d a b> c d> ( )
a c b d+ > + a c b d− > − ac bd> a b
c d
>【解析】 ， ，
．
故选： ．
点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
【变式 1-2】（2019•玉林）设 ，则 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
，
，
，
即 ．
故答案为：
点睛：本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．
【考点 2】解一元一次不等式（组）
【例 2】（2019•呼和浩特）若不等式 的解集中 的每一个值，都能使关于 的不等式
成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式 得： ，
不等式 的解集中 的每一个值，都能使关于 的不等式 成立，
，
，
解得： ，
故选： ．
点睛：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于 的
a b> c d>
a c b d∴ + > +
A
0 1b
a
< <
2 2
2
4
2
a bm a ab
−= + m
1 1m− < <
2 2
2
4 ( 2 )( 2 ) 2 212 ( 2 )
a b a b a b a b bm a ab a a b a a
− + − −= = = = −+ +
0 1b
a
< − 1
5m < − 3
5m < − 1
5m > −
2 5 1 23
x x
+ − −
4
5x
2 5 1 23
x x
+ − − x x 3( 1) 5 5 2( )x x m x− + > + +
1
2
mx
−∴ <
∴ 1 4
2 5
m− >
3
5m < −
C
m不等式是解此题的关键．
【变式 2-1】（2019•宁波）不等式 的解为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
，
，
故选： ．
点睛：本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并
同类项、系数化成 1．
【变式 2-2】（2019•广西）解不等式组： ，并利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】 ．
【解析】
解①得 ，
解②得 ，
所以不等式组的解集为 ．
用数轴表示为：
点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出
这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到．
【考点 3】不等式的含参及特殊解问题
【例 3】（2019•南充）关于 的不等式 只有 2 个正整数解，则 的取值范围为
3
2
x x
− > ( )
1x < 1x < − 1x > 1x > −
3
2
x x
− >
3 2x x− >
3 3x>
1x <
A
3 5 1
3 4 2 1
6 3
x x
x x
− < + − −
2 3x−
−
>
2a∴
D
x 2 4 0
1
x
a x
− >
− > − 2 4x< < a
2 4 0x − > 2x >
1a x− > − 1x a< +
2 4x< <
1 4a∴ + = 3a =【考点 4】一元一次不等式的应用问题
【例 4】（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环
境．若种植甲种花卉 ，乙种花卉 ，共需 430 元；种植甲种花卉 ，乙种花卉 ，共需 260
元．
（1）求：该社区种植甲种花卉 和种植乙种花卉 各需多少元？
（2）该社区准备种植两种花卉共 且费用不超过 6300 元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？
【解析】（1）设该社区种植甲种花卉 需 元，种植乙种花卉 需 元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该社区种植甲种花卉 需 80 元，种植乙种花卉 需 90 元．
（2）设该社区种植乙种花卉 ，则种植甲种花卉 ，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该社区最多能种植乙种花卉 ．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式 4-1】（2019•锦州）某市政部门为了保护生态环境，计划购买 ， 两种型号的环保设备．已知购买
一套 型设备和三套 型设备共需 230 万元，购买三套 型设备和两套 型设备共需 340 万元．
（1）求 型设备和 型设备的单价各是多少万元；
（2）根据需要市政部门采购 型和 型设备共 50 套，预算资金不超过 3000 万元，问最多可购买 型设备
多少套？
【解析】（1）设 型设备的单价是 万元， 型设备的单价是 万元，
依题意，得： ，
解得： ．
22m 23m 21m 22m
21m 21m
275m
21m x 21m y
2 3 430
2 260
x y
x y
+ =
+ =
80
90
x
y
=
=
21m 21m
2mm 2(75 )m m−
80(70 ) 90 6300m m− +
30m
230m
A B
A B A B
A B
A B A
A x B y
3 230
3 2 340
x y
x y
+ =
+ =
80
50
x
y
=
=答： 型设备的单价是 80 万元， 型设备的单价是 50 万元．
（2）设购进 型设备 套，则购进 型设备 套，
依题意，得： ，
解得： ．
为整数，
的最大值为 16．
答：最多可购买 型设备 16 套．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式 4-2】（2019•辽阳）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买 7 个足球和
5 个篮球的费用相同；购买 40 个足球和 20 个篮球共需 3400 元．
（1）求每个足球和篮球各多少元？
（2）如果学校计划购买足球和篮球共 80 个，总费用不超过 4800 元，那么最多能买多少个篮球？
【解析】（1）设每个足球为 元，每个篮球为 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每个足球为 50 元，每个篮球为 70 元；
（2）设买篮球 个，则买足球 个，根据题意得：
，
解得： ．
为整数，
最大取 40，
答：最多能买 40 个篮球．
点睛：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题
时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
【考点 5】不等式组的应用问题
【例 5】（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 30 辆调拨不超过 190 吨蔬菜
A B
A m B (50 )m−
80 50(50 ) 3000m m+ −
50
3m
m
m∴
A
x y
7 5
40 20 3400
x y
x y
=
+ =
50
70
x
y
=
=
m (80 )m−
70 50(80 ) 4800m m+ −
40m
m
m∴和 162 吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜 8 吨和肉制品 5 吨；一辆中型车可运蔬菜 3 吨和
肉制品 6 吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是 900 元，一辆中型车的运费为 600 元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？
最低费用是多少元？
【解析】（1）设安排 辆大型车，则安排 辆中型车，
依题意，得： ，
解得： ．
为整数，
，19，20．
符合题意的运输方案有 3 种，方案 1：安排 18 辆大型车，12 辆中型车；方案 2：安排 19 辆大型车，
11 辆中型车；方案 3：安排 20 辆大型车，10 辆中型车．
（2）方案 1 所需费用为： （元 ，
方案 2 所需费用为： （元 ，
方案 3 所需费用为： （元 ．
，
方案 1 安排 18 辆大型车，12 辆中型车所需费用最低，最低费用是 23400 元．
点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是
解题的关键．
【变式 5-1】（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，
根据预算，改造 2 个甲种型号大棚比 1 个乙种型号大棚多需资金 6 万元，改造 1 个甲种型号大棚和 2 个乙
种型号大棚共需资金 48 万元．
（1）改造 1 个甲种型号和 1 个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造 1 个甲种型号大棚的时间是 5 天，改造 1 个乙种型号大概的时间是 3 天，该基地计划改造甲、
乙两种蔬菜大棚共 8 个，改造资金最多能投入 128 万元，要求改造时间不超过 35 天，请问有几种改造方案？
哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【解析】（1）设改造 1 个甲种型号大棚需要 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 万元，
x (30 )x−
8 3(30 ) 190
5 6(30 ) 162
x x
x x
+ −
+ −
18 20x
x
18x∴ =
∴
900 18 600 12 23400× + × = )
900 19 600 11 23700× + × = )
900 20 600 10 24000× + × = )
23400 23700 24000< + 2 2m n− > − 2 2m n> 2 2m n− > −
m n>
2 2m n∴− < −
D
a b> 0c < ( )
a c b+ > a c b c+ > −
1 1ac bc− > − ( 1) ( 1)a c b c− < −
0c
( 1) ( 1)a c b c∴ − < −
D
2 0x− + ( )
2x − 2x − 2x 2x
2x− −
2x
D
1 2x − ( )
1 2x −
3x
1 2x −
D
a
(a
a ( )
n x则 ，
得到 ．
所以 ．
整理，得 ．
．
将其代入化简，得 ，即 ，
整理，得 ．
，
，
．
至少为 9．
故选： ．
点睛：考查了一元一次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度较大．
6．（2019•重庆）某次知识竞赛共有 20 题，答对一题得 10 分，答错或不答扣 5 分，小华得分要超过 120 分，
他至少要答对的题的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解析】设要答对 道．
，
，
，
解得： ，
根据 必须为整数，故 取最小整数 15，即小华参加本次竞赛得分要超过 120 分，他至少要答对 15 道
题．
故选： ．
点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．
7．（2019•常德）不等式 的解为 ．
【答案】
【解析】 ，
15 2160an =
144an =
15 12( 2)( ) 2160ax a n x+ + − <
4 4 8 8 720x an n x+ + − <
144an =
∴ 8 8 144ax n x+ − < 8 8ax n x an+ − <
8( ) ( )n x a n x− < −
n x>
0n x∴ − >
8a∴ >
a∴
B
( )
x
10 ( 5) (20 ) 120x x+ − × − >
10 100 5 120x x− + >
15 220x >
44
3x >
x x
C
3 1 2( 4)x x+ > +
7x >
3 1 2( 4)x x+ > +，
．
故答案为： ．
点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意
不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8．（2019•鄂州）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
① ②得 ，
则 ，
根据题意得 ，
解得 ．
故答案是： ．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把 当作已知数表示出
的值，再得到关于 的不等式．
9．（2019•大庆）已知 是不等式 的解， 不是不等式 的解，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】 是不等式 的解，
，
解得： ，
不是这个不等式的解，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
点睛：本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
3 1 2 8x x+ > +
7x >
7x >
x y 3 4 3
5 5
x y m
x y
− = +
+ = 0x y+ m
2m −
3 4 3
5 5
x y m
x y
− = +
+ =
①
②
+ 2 2 4 8x y m+ = +
2 4x y m+ = +
2 4 0m +
2m −
2m −
m
x y+ m
4x = 3 1 0ax a− − < 2x = 3 1 0ax a− − < a
1a −
4x = 3 1 0ax a− − <
4 3 1 0a a∴ − − <
1a <
2x =
2 3 1 0a a∴ − −
1a −
1a∴ −
1a −10．（2019•株洲）若 为有理数，且 的值大于 1，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意知 ，
解得 ，
故答案为： 且 为有理数．
点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意
不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
11．（2019•朝阳）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【解析】 ，
由不等式①，得 ，
由不等式②，得 ，
故原不等式组的解集是 ，
故答案为： ．
点睛：本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
12．（2019•盘锦）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【解析】 ，
由①得， ，
由②得， ，
原不等式组的解集为 ，
故答案为 ．
点睛：此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大
大小中间找，大大小小解不了．
a 2 a− a
1a <
2 1a− >
1a <
1a < a
6 2 0
2 4 0
x
x
−
+ >
2 3x− <
6 2 0
2 4 0
x
x
−
+ >
①
②
3x
2x > −
2 3x− <
2 3x− <
3 4 10
2 5 1 43
x x
x x
+ + + − − +
− > 1x > − k
2k −
2 9 6 1
1
x x
x k
+ > − +
− >
①
②
1x > −
1x k> +不等式组 的解集为 ，
，
解得 ．
故答案为 ．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于 的不
等式，难度适中．
16．（2019•鸡西）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
，
故答案为： ．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（2019•宁夏）解不等式组： ．
【解析】解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2019•贺州）解不等式组：
【答案】 ．
【解析】解①得 ，
2 9 6 1
1
x x
x k
+ > − +
− > 1x > −
1 1k∴ + −
2k −
2k −
k
x 0
2 1 3
x m
x
− >
+ > 1x > m
1m
0x m− > x m>
2 1 3x + > 1x >
1x >
1m∴
1m
1 12 3
3 22
x x
x x
− − − < +
1 12 3
x x −− 4x
3 22
x x
− < + 7x > −
7 4x− <
5 6 4,
8 4 1
x
x x
− >
− < + ⋅
①
②
3 2x− < <
2x >解②得 ，
所以不等式组的解集为 ．
点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出
这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到．
19.（2019•宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中 5 名男生和 3 名女生共需
化妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为 2000 元，根据活动需要至少应有 42 名女生化妆，那么男生最多有多少
人化妆．
【解析】（1）设每位男生的化妆费是 元，每位女生的化妆费是 元，
依题意得： ．
解得： ．
答：每位男生的化妆费是 20 元，每位女生的化妆费是 30 元；
（2）设男生有 人化妆，
依题意得： ．
解得 ．
即 的最大值是 37．
答：男生最多有 37 人化妆．
点睛：考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描
述语，找到所求的量的数量关系．
20．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为
吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成
当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，
每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用 8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付
12 元．根据记录，5 月 21 日，该厂产生工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元．
（1）求该车间的日废水处理量 ；
3x > −
3 2x− < <
x y
5 3 190
3 2
x y
x y
+ =
=
20
30
x
y
=
=
a
2000 20 4230
a−
37a
a
m
m（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超
过 10 元 吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【答案】该厂一天产生的工业废水量的范围为 ．
【解析】（1） （元 ， ，
．
依题意，得： ，
解得： ．
答：该车间的日废水处理量为 20 吨．
（2）设一天产生工业废水 吨，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为 ．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（2019•贵阳）某文具店最近有 ， 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周 款销
售数量是 15 本， 款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周 款销售数量是 20 本， 款销售数量
是 10 本，销售总价是 280 元．
（1）求 ， 两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，求最多能够买多少本 款毕业纪
念册．
【解析】（1）设 款毕业纪念册的销售为 元， 款毕业纪念册的销售为 元，根据题意可得：
，
解得： ，
答： 款毕业纪念册的销售为 10 元， 款毕业纪念册的销售为 8 元；
（2）设能够买 本 款毕业纪念册，则购买 款毕业纪念册 本，根据题意可得：
/
15 20x
35 8 30 310× + = ) 310 350<
35m∴ <
30 8 12(35 ) 370m m+ + − =
20m =
x
0 20x< 8 30 10x x+
15 20x
20x > 12( 20) 8 20 30 10x x− + × +
20 25x<
15 20x
A B A
B A B
A B
A
A x B y
15 10 230
20 10 280
x y
x y
+ =
+ =
10
8
x
y
=
=
A B
a A B (60 )a−，
解得： ，
则最多能够买 24 本 款毕业纪念册．
点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关
键．
22．（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体
学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生
没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载
客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人 辆） 35 30
租金（元 辆） 400 320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆数为 8 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人，
依题意，得： ，
解得： ．
答：参加此次研学活动的老师有 16 人，学生有 234 人．
（2） （辆 （人 ， （辆 ，
租车总辆数为 8 辆．
故答案为：8．
（3）设租 35 座客车 辆，则需租 30 座的客车 辆，
依题意，得： ，
10 8(60 ) 529a a+ −
24.5a
A
/
/
x y
14 10
15 6
x y
x y
+ =
− =
16
234
x
y
=
=
(234 16) 35 7+ ÷ = ) 5…… ) 16 2 8÷ = )
∴
m (8 )m−
35 30(8 ) 234 16
400 320(8 ) 3000
m m
m m
+ − +
+ −
解得： ．
为正整数，
，3，4，5，
共有 4 种租车方案．
设租车总费用为 元，则 ，
，
的值随 值的增大而增大，
当 时， 取得最小值，最小值为 2720．
学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据师生人数，确定租车辆数；（3）根据各数量之
间的关系，正确列出一元一次不等式组．
12 5 2m
m
2m∴ =
∴
w 400 320(8 ) 80 2560w m m m= + − = +
80 0>
w∴ m
∴ 2m = w
∴
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