专题 05 分式方程及应用
【考点 1】解分式方程
【例 1】（2019•上海）解方程： 1
【答案】x＝﹣4
【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即 x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2 或 x＝﹣4，
经检验 x＝2 是增根，分式方程的解为 x＝﹣4．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式 1-1】（2019•宁夏）解方程： 1 ．
【答案】x＝4
【解析】 1 ，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），∴x＝4，
经检验 x＝4 是方程的解；
∴方程的解为 x＝4；
点睛：本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
【变式 1-2】（2019•广安）解分式方程： 1 ．
【答案】x＝4
【解析】 1 ，
方程两边乘（x﹣2）2 得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当 x＝4 时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为 x＝4．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点 2】已知分式方程的解，求字母参数的值
【例 2】（2019•株洲）关于 x 的分式方程 解为 x＝4，则常数 a 的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
【答案】D
【解析】把 x＝4 代入方程 ，得
0，
解得 a＝10．
故选：D．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为 0．
【变式 2-1】（2019•张家界）若关于 x 的分式方程 1 的解为 x＝2，则 m 的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵关于 x 的分式方程 1 的解为 x＝2，∴x＝m﹣2＝2，
解得：m＝4．
故选：B．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
【考点 3】分式方程的特殊解问题
【例 3】（2019•鸡西）已知关于 x 的分式方程 1 的解是非正数，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
【答案】A
【解析】 1，
方程两边同乘以 x﹣3，得
2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝m﹣3，
∵分式方程 1 的解是非正数，x﹣3≠0，
∴ ，
解得，m≤3，
故选：A．
点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
【变式 3-1】（2019•荆州）已知关于 x 的分式方程 2 的解为正数，则 k 的取值范围为（ ）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2 且 k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2 且 k≠1
【答案】B
【解析】∵ 2，
∴ 2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2 且 k≠﹣1，
故选：B．
点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
【变式 3-2】（2019•齐齐哈尔）关于 x 的分式方程 3 的解为非负数，则 a 的取值范围
为 ．
【答案】a≤4 且 a≠3
【解析】 3，
方程两边同乘以 x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝4﹣a，
∵关于 x 的分式方程 3 的解为非负数，x﹣1≠0，
∴ ，
解得，a≤4 且 a≠3，
故答案为：a≤4 且 a≠3．
点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
【考点 4】分式方程的无解（增根）问题
【例 4】（2019•烟台）若关于 x 的分式方程 1 有增根，则 m 的值为 ．
【解析】.方程两边都乘（x﹣2），
得 3x﹣x+2＝m+3
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）＝0，解得 x＝2，
当 x＝2 时，m＝3．
故答案为 3．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化
分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式 4-1】（2019•巴中）若关于 x 的分式方程 2m 有增根，则 m 的值为 ．
【答案】1
【解析】方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x﹣2＝0，
解得 x＝2，
当 x＝2 时，m＝1
故 m 的值是 1，
故答案为 1
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化
分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【考点 5】分式方程的应用问题
【例 5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，
甲同学先步行 800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的 4 倍，公
交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍，结果甲同学比乙同学晚到 2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技
馆还有多远．
【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m
【解析】（1）设甲步行的速度为 x 米/分，则乙骑自行车的速度为 4x 米/分，公交车的速度是 8x 米/分钟，
根据题意得 2.5 ，
解得 x＝80．经检验，x＝80 是原分式方程的解．
所以 2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m．
点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【变式 5-1】（2019•铁岭）某超市用 1200 元购进一批甲玩具，用 800 元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数
是乙玩具件数的 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多 1 元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比
甲玩具件数的 2 倍多 60 件，求：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具多少件？
【解析】（1）设甲种玩具的进货单价为 x 元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得： ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6 是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价 6 元，则乙种玩具的进价为 5 元．
（2）设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112 ，
∵y 为整数，
∴y 最大值＝112
答：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具 112 件．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式 5-2】（2019•南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演
义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多 40 元，用 3200 元购买《三国演
义》的套数是用 2400 元购买《西游记》套数的 2 倍，求每套《三国演义》的价格．
【答案】每套《三国演义》的价格为 80 元
【解析】设每套《三国演义》的价格为 x 元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，
依题意，得： 2 ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80 是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为 80 元．
点睛：.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
1．（2019•海南）分式方程 1 的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】B
【解析】 1，
两侧同时乘以（x+2），可得
x+2＝1，
解得 x＝﹣1；
经检验 x＝﹣1 是原方程的根；
故选：B．
点睛：本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．
2．（2019•益阳）解分式方程 3 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
3．（2019•遂宁）关于 x 的方程 1 的解为正数，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4 且 k≠4 D．k＜4 且 k≠﹣4
【答案】C
【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x ，
根据题意得： 0，且 2，
解得：k＞﹣4，且 k≠4．
故选：C．
点睛：此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为 0．
4．（2019•重庆）若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x≤a，且关于 y 的分式方程
1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由不等式组 得：
∵解集是 x≤a，
∴a＜5；
由关于 y 的分式方程 1 得 2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y ，
∵有非负整数解，
∴ 0，
∴5＞a≥﹣3，
且 a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为 1．
故选：B．
点睛：本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属于易错
题．
5．（2018•阿坝州）若 x＝4 是分式方程 的根，则 a 的值为（ ）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】将 x＝4 代入分式方程可得： ，
化简得 1，
解得 a＝6．
故选：A．
点睛：本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过
程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解．
6．（2018•巴中）若分式方程 有增根，则实数 a 的取值是（ ）
A．0 或 2 B．4 C．8 D．4 或 8
【答案】D
【解析】方程两边同乘 x（x﹣2），得 3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为 0 或 2，
当 x＝0 时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当 x＝2 时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
点睛：本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，
即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，
叫做原方程的增根．
7．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了 A，B 两种树苗在校园四周栽种，已知 A 种树
苗的单价比 B 种树苗的单价多 10 元，用 600 元购买 A 种树苗的棵数恰好与用 450 元购买 B 种树苗的棵数
相同．若设 A 种树苗的单价为 x 元，则可列出关于 x 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】设 A 种树苗的单价为 x 元，则 B 种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用 600 元购买 A 种树苗的棵
数是 ，用 450 元购买 B 种树苗的棵数是 ．由题意，得 ．
故答案是： ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．（2019•永州）方程 的解为 x＝ ．
【答案】﹣1
【解析】去分母得：2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验 x＝﹣1 是分式方程的解，
故答案为：﹣1
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2019•锦州）甲、乙两地相距 1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 3h，已知高铁
列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍，设特快列车的平均速度为 xkm/h，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
，
故答案为： ．
点睛：本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
10．（2019•铜仁市）分式方程 的解为 y＝ ．
【答案】-3
【解析】去分母得：5y＝3y﹣6，
解得：y＝﹣3，
经检验 y＝﹣3 是分式方程的解，
则分式方程的解为 y＝﹣3．
故答案为：﹣3
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2019•襄阳）定义：a*b ，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 ．【答案】x＝1
【解析】2*（x+3）＝1*（2x），
，
4x＝x+3，
x＝1，
经检验：x＝1 是原方程的解，
故答案为：x＝1．
点睛：本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
12．（2019•宿迁）关于 x 的分式方程 1 的解为正数，则 a 的取值范围是 ．
【答案】a＜5 且 a≠3
【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当 x＝5﹣a＝2 时，a＝3 不合题意，
故 a＜5 且 a≠3．
故答案为：a＜5 且 a≠3．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
13．（2018•齐齐哈尔）若关于 x 的方程 无解，则 m 的值为 ．
【答案】﹣1 或 5 或 ．【解析】去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当 m+1＝0 时，一元一次方程无解，
此时 m＝﹣1，
当 m+1≠0 时，
则 x ±4，
解得：m＝5 或 ，
综上所述：m＝﹣1 或 5 或 ，故答案为：﹣1 或 5 或 ．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
14．（2019•随州）解关于 x 的分式方程： ．
【答案】x 是分式方程的解
【解析】去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x ，
经检验 x 是分式方程的解．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进 A，B 两种款式的笔袋，其中 A 种笔袋的单价比 B 种袋的单价低 10%．已
知店主购进 A 种笔袋用了 810 元，购进 B 种笔袋用了 600 元，且所购进的 A 种笔袋的数量比 B 种笔袋多 20
个．请问：文具店购进 A，B 两种款式的笔袋各多少个？
【答案】文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个，B 种款式的笔袋 40 个
【解析】设文具店购进 B 种款式的笔袋 x 个，则购进 A 种款式的笔袋（x+20）个，
依题意，得： （1﹣10%），
解得：x＝40，
经检验，x＝40 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个，B 种款式的笔袋 40 个．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 600 棵，由
于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树
多少棵？
【答案】原计划每天种树 75 棵
【解析】设原计划每天种树 x 棵．
由题意，得 4解得，x＝75
经检验，x＝75 是原方程的解．
答：原计划每天种树 75 棵．
点睛：此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题
主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
17．（2019•沈阳）2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树
苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵
少 6 元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【解析】（1）设甲种树苗每棵 x 元，根据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40 是原方程的解，
答：甲种树苗每棵 40 元；
（2）设购买乙中树苗 y 棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥33 ，
∵y 是正整数，
∴y 最小取 34，
答：至少要购买乙种树苗 34 棵．
点睛：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难
度不大．
18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校
各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地 240 千米和 270 千米的两地同时出发，前往“研学教
育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速
度的 1.5 倍，甲校师生比乙校师生晚 1 小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均
速度．【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为 x 千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为
1.5x 千米/小时，
由题意得： ，
解得：x＝60，
经检验，x＝60 是所列方程的解，
则 1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 60 千米/小时、90 千米/小时．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相
等关系列出方程．
19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本
贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费用
不超过 15 元．则大本作业本最多能购买多少本？
【解析】（1）设小本作业本每本 x 元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得： ，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5 是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本 0.8 元，小本作业本每本 0.5 元．
（2）设大本作业本购买 m 本，则小本作业本购买 2m 本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m ．
∵m 为正整数，
∴m 的最大值为 8．
答：大本作业本最多能购买 8 本．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已知一台 A 型机
器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件，且一台 A 型机器加工 80 个零件与一台 B 型机器加工 60 个零
件所用时间相等．
（1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求
两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不
能超过 76 件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少台？
【解析】（1）设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工（x+2）个零件，
依题意，得： ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6 是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台 A 型机器每小时加工 8 个零件，每台 B 型机器每小时加工 6 个零件．
（2）设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10﹣m）台，
依题意，得： ，
解得：6≤m≤8．
∵m 为正整数，
∴m＝6，7，8．
答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排 6 台，B 型机器安排 4 台；方案二：A 型机器安排 7 台，
B 型机器安排 3 台；方案三：A 型机器安排 8 台，B 型机器安排 2 台．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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