2020中考数学压轴题揭秘专题06一次函数问题试题（附答案）

专题 06 一次函数的应用问题 【典例分析】 【考点 1】行程问题 【例 1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米. 甲从小区 步行去学校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后， 立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米. 设甲步行的时间为 (分)，图 1 中线 段 和折线 分别表示甲、乙离开小区的路程 (米)与甲步行时间 (分)的函数关系的图象；图 2 表示甲、乙两人之间的距离 (米)与甲步行时间 (分)的函数关系的图象(不完整).根据图 1 和图 2 中所 给信息，解答下列问题： (1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； (2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； (3)在图 2 中，画出当 时 关于 的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 【答案】(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还车点时，甲、 乙两人之间的距离是 700 米；(3)图象如图所示见解析. 【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）根据函数图象中的数据可以求得 OA 的函数解析式，然后将 x=18 代入 OA 的函数解析式，即可求得点 E x OA B C D− − y x s x 25 30x≤ ≤ s x的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整． 【详解】 (1)由题意，得：甲步行的速度是 (米/分)， ∴乙出发时甲离开小区的路程是 (米). (2)设直线 的解析式为: ， ∵直线 过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴直线 的解析式为: . ∴当 时， ， ∴乙骑自行车的速度是 (米/分). ∵乙骑自行车的时间为 (分)， ∴乙骑自行车的路程为 (米). 当 时，甲走过的路程是 (米)， ∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 (米). (3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分）， 乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当 25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 解答． 【变式 1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小 李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 与小王的行驶 2400 30 80÷ = 80 10 800× = OA ( 0)y kx k= ≠ OA ( )30,2400A 30 2400k = 80k = OA 80y x= 18x = 80 18 1440y = × = ( )1440 18 10 180÷ − = 25 10 15− = 180 15 2700× = 25x = 80 80 25 2000y x= = × = 2700 2000 700− = ( )y km时间 之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段 所表示的 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围． 【答案】（1）小王和小李的速度分别是 、 ；（2） ． 【解析】 根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； 根据 中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题． 【详解】 解：（1）由图可得， 小王的速度为： ， 小李的速度为： ， 答：小王和小李的速度分别是 、 ； （2）小李从乙地到甲地用的时间为： ， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为： ， ∴点 的坐标为 ， 设线段 所表示的 与 之间的函数解析式为 ， ，解得 ， 即线段 所表示的 与 之间的函数解析式是 ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy 所表示的对象量，利用一次函数的 性质和数形结合的思想解答． ( )x h BC y x x 10 /km h 20 /km h (30 30 1 1.5)y x x= − ≤ ≤ ( )1 ( )2 ( )1 30 3 10 /km h÷ = ( )30 10 1 1 20 /km h− × ÷ = 10 /km h 20 /km h 30 20 1.5h× = 10 1.5 15km× = C ( )1.5,15 BC y x y kx b= + 0 1.5 15 k b k b + =  + = 30 30 k b =  = − BC y x (30 30 1 1.5)y x x= − ≤ ≤【变式 1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地 出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离 y(km)与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线 段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出 发时间 x(h)之间的函数关系式如图 2 中折线段 CD-DE-EF 所示. （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求 E 点坐标，并解释点的实际意义. 【答案】（1） ， ；（2）E( , ) . 【解析】(1)观察图 1 可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观 察图 2 可知小丽与小明 1 小时机遇，由此即可求得小明的速度； (2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E 为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可. 【详解】 (1)V 小丽=36÷2.25=16(km/h)， V 小明=36÷1-16=20(km/h)； (2)36÷20= (h)， 16× = (km)， 所以点 E 的坐标为( ， )， 实际意义是小明到达了甲地. 【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的 关键. 【考点 2】方案选择问题 【例 2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多 少，价格均为 6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 ( )=16 /V km h小丽 ( )=20 /V km h小明 9 5 144 5 实际意义为小明到达甲地 9 5 9 5 144 5 9 5 144 550kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．设小王在同一个批发店一次 购买苹果的数量为 ． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量/kg 30 50 150 … 甲批发店花费/元 300 … 乙批发店花费/元 350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费 元，在乙批发店花费 元，分别求 ， 关于 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买 苹果的数量为____________kg； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买 花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买 数量多． 【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ） ；当 时， ；当 时， ．（Ⅲ）①100；②乙；③甲． 【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg．在乙批发店，一次购买数 量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．可以分别把表一和表二补充完整； （Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格 一次购买数量，可得出 关于 x 的函数关系式，注意进行分段； （Ⅲ）①根据 得出 x 的值即可；②把 x=120 分别代入 和 的解析式，并比较 和 的大小即可； ③分别求出当 和 时 x 的值，并比较大小即可． 【详解】 解：（Ⅰ）当 x=30 时， ， 当 x=150 时， ， kgx ( 0)x > 1y 2y 1y 2y x 1 6y x= ( 0)x > 0 50x<  2 7y x= 50x > 2 5 100y x= + × 1 2y y、 21 =y y 1y 2y 1y 2y 1 360y = 2 360y = 1 30 6 180y = × = 2 30 7 210y = × = 1 150 6 900y = × = 2 50 7 5 150 50 850y = × + − =（ ）故答案为：180，900，210，850． （Ⅱ） ． 当 时， ； 当 时， ，即 ． （Ⅲ）①∵ ∴6x ∴当 时，即 6x=5x+100 ∴x=100 故答案为：100 ②∵x=120 ， ∴ ； ∴乙批发店购买花费少； 故答案为：乙 ③∵当 x=50 时乙批发店的花费是：350 ∵一次购买苹果花费了 360 元，∴x 50 ∴当 时，6x=360，∴x=60 ∴当 时，5x+100=360, ∴x=52 ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和 数形结合的思想解答． 【变式 2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一 的总费用为 y1(元)，选择方式二的总费用为 y2(元). (1)请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 1 6y x= ( 0)x > 0 50x<  2 7y x= 50x > 2 7 50 5( 50)y x= × + − 2 5 100y x= + 0x > 7x≠ 21 =y y 50> 1 6 120 720y = × = 2 5 120 100=700= × +y 360< > 1 360y = 2 360y =【答案】(1) ；(2)当 时选择方式一比方式二省钱. 【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可； (2)根据题意，列出关于 x 的不等式进行解答即可. 【详解】 (1) ， ； (2)由 得： ， 解得： ， ∴当 时选择方式一比方式 2 省钱， 即一年内来此游泳馆的次数超过 20 次时先择方式一比方式二省钱. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知 识解答. 【变式 2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用 为 y 元，选择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 【答案】（1） ， （2）见解析 【解析】（1）运用待定系数法，即可求出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可． 【详解】 （1）设 ，根据题意得 ， 解得 ， 1 230 200; 40y x y x= + = 20x > 1 30 200y x= + 2 40y x= 1 2y y< 30 200 40x x+ < 20x > 20x > 20y x=甲 10 100y x= +乙 1y k x=甲 15 100k = 1 20k =∴ ； 设 ，根据题意得： ， 解得 ， ∴ ； （2）① ，即 ，解得 ，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算； ② ，即 ，解得 ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样； ③ ，即 ，解得 ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出 正确信息是解题关键，属于中考常考题型． 【考点 3】最大利润问题 【例 3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低 于每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件， 而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为 x 元，平均月销售量为 y 件． （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【解析】（1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能 多售出 20 件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销 20y x=甲 2 100y k x= +乙 220 100 300k + = 2 10k = 10 100y x= +乙 y y甲 乙 20 10 100x x> + 10x >售量； （2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800，解方程即 可； （3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求 得取最大利润时的 x 值及最大利润． 【详解】 解：（1）由题意得：y＝80+20× ∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60） （2）由题意得： （x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800 解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元． （3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得： w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450 ＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0 ∴当 x≤65 时，w 随 x 的增大而增大 ∵30≤x≤60 ∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950 答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性． 【变式 3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进 价比乙种水果的进价每千克少 4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的数量相同． （1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？ （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过 乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元． 60 10 x−【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量 的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解 答本题． 【详解】 （1）设甲种水果的单价是 x 元，则乙种水果的单价是 元， ， 解得， ， 经检验， 是原分式方程的解， ∴ ， 答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元； （2）设购进甲种水果 a 千克，则购进乙种水果 千克，利润为 w 元， ， ∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元， ∴ ， 解得， ， ∴当 时，w 取得最大值，此时 ， ， 答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50 元的新型玩具，投放市场进行试销售．其 销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销 售数量 y（个）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图所示： ( 4)x + 800 1000 4x x = + 16x = 16x = 4 20x + = (200 )a− (20 16) (25 20)(200 ) 1000w a a a= − + − − = − + 3(200 ) 16 20(200 ) 3420 a a a a −  + −   145 150a≤ ≤ 145a = 855w = 200 55a− =（1）根据图象，直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元 （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为 80 元；（3）销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最 大利润是 3200 元． 【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解； （3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【详解】 （1）设 y＝kx+b（k≠0，b 为常数） 将点（50，160），（80，100）代入得 解得 ∴y 与 x 的函数关系式为：y＝﹣2x+260 （2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000 化简得：x2﹣180x+8000＝0 解得：x1＝80，x2＝100 ∵x≤50×（1+90%）＝95 ∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去） 答：销售单价为 80 元． （3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得 w＝（x﹣50）（﹣2x+260） 160 50 100 80 k b k b = +  = + 2 260 k b = −  =＝﹣2x2+360x﹣13000 ＝﹣2（x﹣90）2+3200 ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下 ∴w 有最大值，当 x＝90 时， w 最大值＝3200 答：销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识 点，难度中等略大． 【考点 4】几何问题 【例 4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点 的直线 与直线 ： 相交于点 . （1）求直线 的解析式； （2）求四边形 的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）根据 P 点是两直线交点，可求得点 P 的纵坐标，再利用待定系数法将点 B、点 P 的坐标代入直 线 l1 解析式，得到二元一次方程组，求解即可. （2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点 C（0，1），由 可求得四边形 的面积 【详解】 (1,0)B 1l 2l 2 4y x= + ( 1, )P a− 1l PAOC 1y x= − + 5 2 四边形 ∆ ∆= −PAB BOCPAOCS S S PAOC解：（1）∵点 P 是两直线的交点， 将点 P（1，a）代入 得 ，即 则 的坐标为 ， 设直线 的解析式为： ， 那么 ， 解得： . 的解析式为： . （2）直线 与 轴相交于点 ，直线 与 x 轴相交于点 A 的坐标为 ， 点的坐标为 则 ， 而 ， 【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交 点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 【变式 4-1】 （2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴和 轴于点 . (1)如图 1，已知 经过点 ，且与直线 相切于点 ，求 的直径长； (2)如图 2，已知直线 分别交 轴和 轴于点 和点 ，点 是直线 上的一个动点，以 为圆心， 为半径画圆. ①当点 与点 重合时，求证: 直线 与 相切； ②设 与直线 相交于 两点， 连结 . 问:是否存在这样的点 ，使得 是等腰直角 2 4y x= + 2 ( 1) 4× − + = a 2a = P ( 1,2)− 1l y kx b= + ( 0)k ≠ 0 2 k b k b + = − + = 1 1 k b = −  = 1l∴ 1y x= − + 1l y C 2l ∴ C (0,1) A ( 2,0)− 3AB = 四边形 ∆ ∆= −PAB BOCPAOCS S S ∴ PAOCS四边形 1 1 53 2 1 12 2 2 = × × − × × = xOy 1l x y ( ) ( )3,0 , 0,3A B− P O 1l B P 2 : 3 3l y x= − x y C D Q 2l Q 2 2 Q C 1l Q Q 1l ,M N ,QM QN Q QMN∆三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 的直径长为 ；(2) ①见解析；②存在这样的点 和 ，使得 是等腰直角三角形. 【解析】（1）连接 BC，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB，即可求解； （2）过点 作 于点 ，证明 CE=ACsin45°=4× =2 =圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点 ，使得 是等腰直角三角形，分点 在线段 上时和点 在线段 的 延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）如图 3，连接 BC， ∵∠BOC=90°， ∴点 P 在 BC 上， ∵⊙P 与直线 l1 相切于点 B， ∴∠ABC=90°，而 OA=OB， ∴△ABC 为等腰直角三角形， 则⊙P 的直径长=BC=AB=3 Q P 3 2 1(3 2,6 3 2)Q − − 2 (3 2,6 3 2)Q + + QMN∆ C CE AB⊥ E 2 2 2 Q QMN∆ Q CF Q CF 2(2)如图 4 过点 作 于点 ， 图 4 将 代入 ，得 ， ∴点 的坐标为 . ∴ ， ∵ ， ∴ . ∵点 与点 重合， 又 的半径为 ， ∴直线 与 相切. ②假设存在这样的点 ，使得 是等腰直角三角形， ∵直线 经过点 ， ∴ 的函数解析式为 . 记直线 与 的交点为 ， 情况一： 如图 5，当点 在线段 上时， 由题意，得 . 如图，延长 交 轴于点 ， C CE AB⊥ E 0y = 3 3y x= − 1x = C ( )1,0 4AC = 45CAE∠ = ° 2 2 22CE AC= = Q C Q 2 2 1l Q Q QMN∆ 1l ( ) ( )3,0 , 0,3A B− l 3y x= + 2l 1l F Q CF 45MNQ∠ = ° NQ x G图 5 ∵ ， ∴ ， 即 轴， ∴点 与 有相同的横坐标， 设 ，则 ， ∴ . ∵ 的半径为 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ 的坐标为 . 情况二： 当点 在线段 的延长线上时，同理可得 ， 的坐标为 . ∴存在这样的点 和 ，使得 是等腰直角三角形. 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的 位置，分类求解，避免遗漏． 【变式 4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 在 的图像 45BAO∠ = ° 180 45 45 90NGA∠ = °− °− ° = ° NG x⊥ Q N ( ),3 3Q m m − ( ), 3N m m + ( )3 3 3QN m m= + − − Q 2 2 3 (3 3) 2 2m m+ − − = 3 2m = − 3 3 6 3 2m − = − Q (3 2,6 3 2)− − Q CF 3 2m = + Q (3 2,6 3 2)+ + 1(3 2,6 3 2)Q − − 2 (3 2,6 3 2)Q + + QMN∆ xOy (0 , 2)A P 3 3y x=上运动（不与 重合），连接 ，过点 作 ，交 轴于点 ，连接 ． （1）求线段 长度的取值范围； （2）试问：点 运动过程中， 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当 为等腰三角形时，求点 的坐标． 【答案】（1） ；（2） 为定值， =30°；（3） ， ， ， 【解析】（1）作 ，由点 在 的图像上知： ，求出 AH，即可得解； （2）①当点 在第三象限时，②当点 在第一象的线段 上时，③当点 在第一象限的线段 的延长 线上时，分别证明 、 、 、 四点共圆，即可求得 =30°； （3）分 ， ， 三种情况，分别求解即可． 【详解】 解：（1）作 ，则 ∵点 在 的图像上 ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ （2）①当点 在第三象限时， O AP P PQ AP⊥ x Q AQ AP P QAP∠ OPQ∆ Q 3AP ≥ QAP∠ QAP∠ 1(2 3 4 , 0)Q + 2 (2 3 4 , 0)Q − 3( 2 3 , 0)Q − 4 2 3( , 0)3Q AH OP⊥ P 3 3y x= 30HOQ∠ = ° P P OH P OH Q P O A QAP∠ OP OQ= PO PQ= QO QP= AH OP⊥ AP AH≥ P 3 3y x= 30HOQ∠ = ° 60HOA∠ = ° (0 , 2)A sin 60 3AH AO= ° = 3AP ≥ P由 ，可得 、 、 、 四点共圆， ∴ ②当点 在第一象的线段 上时， 由 ，可得 、 、 、 四点共圆， ∴ ，又此时 ∴ ③当点 在第一象限的线段 的延长线上时， 由 ，可得 ， ∴ 、 、 、 四点共圆， ∴ （3）设 ，则 ： ∵ ，∴ ∴ ： ∴ ∴ ， ①当 时，则 整理得： 解得： ∴ ， ②当 时，则 整理得： 解得： 或 90QPA QOA∠ = ∠ = ° Q P O A 30PAQ POQ∠ = ∠ = ° P OH 90QPA QOA∠ = ∠ = ° Q P O A 180PAQ POQ∠ + ∠ = ° 150POQ∠ = ° 180 30PAQ POQ∠ = °− ∠ = ° P OH 90QPA QOA∠ = ∠ = ° 180APQ AOQ∠ + ∠ = ° Q P O A 30PAQ POQ∠ = ∠ = ° 3( , )3P m m APl 3 6 23 my m −= + PQ AP⊥ 3 2 3PQ mk m = − PQl 3 3( ) 32 3 my x m m m = − + − 4 2 3( , 0)3 mQ − 2 24 3OP m= 2 216 16 439 9 3OQ m m= − + 2 24 4 439 9 3PQ m m= − + OP OQ= 2 24 16 16 433 9 9 3m m m= − + 2 4 3 3 0m m− + = 2 3 3m = ± 1(2 3 4 , 0)Q + 2 (2 3 4 , 0)Q − PO PQ= 2 24 4 4 433 9 9 3m m m= − + 22 3 3 0m m+ − = 3 2m = 3m = −当 时， 点与 重合，舍去， ∴ ，∴ ③当 时， 则 整理得： 解得： ∴ 3 2m = Q O 3m = − 3( 2 3 , 0)Q − QO QP= 2 216 16 4 4 4 43 39 9 3 9 9 3m m m m− + = − + 2 3 0m m− = 3m = 4 2 3( , 0)3Q【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以 及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【达标训练】 1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 村、 村同时 出发前往 村，甲乙之间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列结论：① 两村 相距 10 ；②出发 1.25 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行 8 ；④相遇后，乙又骑行了 15 或 65 时两人相距 2 ．其中正确的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断. 【详解】 解： 由图象可知 村、 村相离 10 ，故①正确， 当 1.25 时，甲、乙相距为 0 ，故在此时相遇，故②正确， 当 时，易得一次函数的解析式为 ，故甲的速度比乙的速度快 8 ．故③正确 当 时，函数图象经过点 设一次函数的解析式为 , ,A B C A B C ( )s km t(h) ,A B km h km min min km A B km h km 0 1.25t≤ ≤ 8 10s t= − + /km h 1.25 2t≤ ≤ (1.25,0) (2,6) s kt b= +代入得 ，解得 ∴ 当 时．得 ，解得 由 同理当 时，设函数解析式为 将点 代入得 ，解得 ∴ 当 时，得 ，解得 由 故相遇后，乙又骑行了 15 或 65 时两人相距 2 ，④正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用. 2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ，则 点 的坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长 交 轴于点 ，利用反射定律，可得 ，利用 ASA 可证 ， 已知点 坐标，从而得点 坐标，利用 ， 两点坐标，求出直线 的解析式，即可求得点 坐标． 【详解】 0 1.25 6 2 k b k b = +  = + k 8 b 10 =  = − 8 10s t= + 2s = 2 8 10t= − 1.5t h= 1.5 1.25 0.25 15minh− = = 2 2.5t≤ ≤ s kt b= + (2,6) (2.5,0) 0 2.5k b 6 2k b = +  = + k 12 b 30 = −  = 12 30s t= − + 2s = 2 12 30t= − + 7 3t = 7 131.25 65min3 12 h− = = min min km ( )4,4A y C ( )10B , C 10, 2      40, 5      ( )0,1 ( )0,2 AC x D 1 OCB∠ = ∠ ( )COD COB ASA∆ ≅ ∆ B D A D AD C如图所示，延长 交 轴于点 ．设 ∵这束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ， ∴由反射定律可知， ， ∵∠1=∠OCD， ∴ ， ∵ 于 ， ∴ =90°， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴将点 ，点 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， ∴点 坐标为 ． AC x D ( )0,C c ( )4,4A y C ( )10B , 1 OCB∠ = ∠ OCB OCD∠ = ∠ CO DB⊥ O COD COB∠ = ∠ COD∆ COB∆ OCD OCB OC OC COD COB ∠ = ∠  = ∠ = ∠ ( )COD COB ASA∆ ≅ ∆ 1OD OB= = ( )1,0D − AD y kx b= + ( )4,4A ( )1,0D − 4 4 0 k b k b = +  = − + 4 5 4 5 k b  =  = AD 4 4 5 5y x= + C 40, 5     故选 B． 【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合 性较强，难度略大． 3．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 … 在 轴上， 、 、 … 在直线 上，若 ，且 、 … 都是等边三角形，从左到右的小 三角形(阴影部分)的面积分别记为 、 、 … ．则 可表示为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线 与 轴的成角 ，可得 ，…， ， ，…， ；根据等腰三角形的性质可知 ， ， ，…， ；根据勾股定理可得 ， ，…， ，再由 面积公式即可求解； 【详解】 解：∵ 、 … 都是等边三角形， 1A 2A 3A nA x 1B 2B 3B nB 3 3y x= ( )1 1,0A 1 1 2A B A∆ 2 2 3A B A∆ 1n n nA B A +∆ 1S 2S 3S nS nS 22 3n 2 12 3n− 2 22 3n− 2 32 3n− 3 3y x= x 1 1 30B OA∠ =  2 2 30OB A∠ =  30n nOB A∠ =  1 2 90OB A∠ =  1 90n nOB A +∠ =  1 1 1A B = 2 2 2 2B A OA= = 3 3 4B A = 12n n nB A −= 1 2 3B B = 2 3 2 3B B = 1 2 3n n nB B + = 1 1 2A B A∆ 2 2 3A B A∆ 1n n nA B A +∆∴ ， ， 、 … 都是等边三角形， ∵直线 与 轴的成角 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理 ，…， ， ∴ ， ，…， ， 易得 ，…， ， ∴ ， ，…， ， ∴ ， ，…， ； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角 三角形，并求出每边长是解题的关键． 4．（2019·广西中考真题）如图，四边形 的顶点坐标分别为 ， 当过点 的直线 将四边形 分成面积相等的两部分时，直线 所表示的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 1 1 2 2 3 3 n nA B A B A B A B⋅⋅⋅    1 2 2 3 3 4 1n nB A B A B A B A +⋅⋅⋅    1 1 2A B A∆ 2 2 3A B A∆ 1n n nA B A +∆ 3 3y x= x 1 1 30B OA∠ =  1 1 120OA B∠ =  1 1 30OB A∠ =  1 1 1OA A B= ( )1 1,0A 1 1 1A B = 2 2 30OB A∠ =  30n nOB A∠ =  2 2 2 2B A OA= = 3 3 4B A = 12n n nB A −= 1 2 90OB A∠ =  1 90n nOB A +∠ =  1 2 3B B = 2 3 2 3B B = 1 2 3n n nB B + = 1 1 31 32 2S = × × = 2 1 2 2 3 2 32S = × × = 1 2 31 2 2 3 2 32 n n n nS − −= × × = ABCD ( ) ( ) ( ) ( )4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D− − − B l ABCD l 11 6 10 5y x= + 2 1 3 3y x= + 1y x= + 5 3 4 2y x= +【答案】D 【解析】由已知点可求四边形 ABCD 分成面积 ；求出 CD 的直线解析式 为 y=-x+3，设过 B 的直线 l 为 y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线 l 与 x 轴的交点坐标，根据面积有 ，即可求 k。 【详解】 解：由 ， ∴ ， ∴四边形 分成面积 ， 可求 的直线解析式为 ， 设过 的直线 为 ， 将点 代入解析式得 ， ∴直线 与该直线的交点为 ， 直线 与 轴的交点为 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ ， ∴直线解析式为 ； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求 函数解析式的方法是解题的关键． 5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午 9：00～10：00 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收 快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数图象如 图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ） ( )1 13 7 4 142 2BAC y= × × + = × × = 1 1 2 5 17 3 12 1 k k k k − −   = × − × +   +    ( ) ( ) ( ) ( )4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D− − − 7 , 3AC DO= = ABCD ( )1 13 7 4 142 2BAC y= × × + = × × = CD 3y x= − + B l y kx b= + B 2 1y kx k= + − CD 4 2 5 1,1 1 k k k k − −   + +  2 1y kx k= + − x 1 2 , 0k k −     1 1 2 5 17 3 12 1 k k k k − −   = × − × +   +    5 4k = 0k = 5 4k = 5 3 4 2y x= + y xA．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30 【答案】B 【解析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交 点坐标即可． 【详解】 设甲仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得 60k1+40=400， 解得 k1=6， ∴y1=6x+40； 设乙仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得 60k2+240=0， 解得 k2=-4， ∴y2=-4x+240， 联立 ，解得 ， ∴此刻的时间为 9：20． 故选 B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类 问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 6．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲 的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2 分钟时，甲也发现自己手机落在公司， 立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速 赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲 手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米． 6 40 4 240 y x y x +  − + ＝ ＝ 20 160 x y    ＝ ＝【答案】6000 【解析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求 得当乙回到公司时，甲距公司的路程. 【详解】 解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500 米/分， 乙的速度为： =1000 米/分， 乙从与甲相遇到返回公司用的时间为 4 分钟， 则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米）， 故答案为 6000. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从 A，B 两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达 B 地，他们 之间的距离 s(km)与甲出发的时间 t(h)的关系如图所示，则乙由 B 地到 A 地用了______h． 【答案】10 【解析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由 B 地到 A 地所用的时 间． 【详解】 解：由图可得， 甲的速度为：36÷6=6(km/h)， 则乙的速度为： =3.6(km/h)， 则乙由 B 地到 A 地用时：36÷3.6=10(h)， 故答案为：10． 4000 500 2 500 2 2 2 + × − × + 36 6 4.5 4.5 2 − × −【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格．图中 、 分 别表示去年、今年水费 （元）与用水量 （ ）之间的关系．小雨家去年用水量为 150 ，若今年用水 量与去年相同，水费将比去年多_____元． 【答案】210． 【解析】根据函数图象中的数据可以求得 时， 对应的函数解析式，从而可以求得 时对应 的函数值，由 的的图象可以求得 时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题 得以解决． 【详解】 设当 时， 对应的函数解析式为 ， ，得 ， 即当 时， 对应的函数解析式为 ， 当 时， ， 由图象可知，去年的水价是 （元/ ），故小雨家去年用水量为 150 ，需要缴费： （元）， （元）， 即小雨家去年用水量为 150 ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元， 故答案为：210． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 1l 2l y x 3m 3m 120x > 2l 150x = 1l 150x = 120x > 2l y kx b= + 120 480 160 720 k b k b + =  + = 6 240 k b =  = − 120x > 2l 6 240y x= − 150x = 6 150 240 660y = × − = 480 160 3÷ = 3m 3m 150 3 450× = 660 450 210− = 3m解答． 9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形 ABCO 是边长 为 4 的正方形，点 D 为 AB 的中点，点 P 为 OB 上的一个动点，连接 DP，AP，当点 P 满足 DP+AP 的值最小时， 直线 AP 的解析式为_____． 【答案】y＝﹣2x+8 【解析】根据正方形的性质得到点 A，C 关于直线 OB 对称，连接 CD 交 OB 于 P，连接 PA，PD，则此时，PD+AP 的值最小，求得直线 CD 的解析式为 y＝﹣ x+4，由于直线 OB 的解析式为 y＝x，解方程组得到 P（ ， ），由待定系数法即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形 ABCO 是正方形， ∴点 A，C 关于直线 OB 对称， 连接 CD 交 OB 于 P，连接 PA，PD， 则此时，PD+AP 的值最小， ∵OC＝OA＝AB＝4， ∴C（0，4），A（4，0）， ∵D 为 AB 的中点， ∴AD＝ AB＝2， 1 2 8 3 8 3 1 2∴D（4，2）， 设直线 CD 的解析式为：y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线 CD 的解析式为：y＝﹣ x+4， ∵直线 OB 的解析式为 y＝x， ∴ ， 解得：x＝y＝ ， ∴P（ ， ）， 设直线 AP 的解析式为：y＝mx+n， ∴ ， 解得： ， ∴直线 AP 的解析式为 y＝﹣2x+8， 故答案为：y＝﹣2x+8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找 出点 P 的位置是解题的关键． 10．（2019·湖南中考真题）已知点 到直线 的距离可表示为 ，例如： 点 到直线 的距离 ．据此进一步可得两条平行线 和 之 间的距离为_______． 4 2 4 k b b + =  = 1 2 4 k b  = −  = 1 2 1 42y x y x  = − +  = 8 3 8 3 8 3 4 0 8 8 3 3 m n m n + = + = 2 8 m n = −  = ( )0 0,P x y y kx b= + 0 0 21 kx b yd k + −= + (0,1) 2 6y x= + 2 | 2 0 6 1| 5 1 2 d × + −= = + y x= 4y x= −【答案】 【解析】利用两平行线间的距离定义，在直线 y=x 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y=x-4 的距离即 可． 【详解】 解：当 时， ，即点 在直线 上， 因为点 到直线 的距离为： ， 因为直线 和 平行， 所以这两条平行线之间的距离为 ． 故答案为 ． 【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了 学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力． 11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 两处同时出 发，都以不变的速度相向而行，图 1 是甲离开 处后行走的路程 （单位： ）与行走时 （单位： ）的函数图象，图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位： ）与甲行走时间 x（单位: ）的函数图象， 则 _____． 【答案】 【解析】从图 1，可见甲的速度为 ，从图 2 可以看出，当 x= 时，二人相遇，即： =120，解得：乙的速度 =80，已的速度快，从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程，甲用了 a 分钟走完全程， 即可求解． 2 2 0x = 0y x= = (0,0) y x= (0,0) 4y x= − 2 | 0 4 0 | 4 2 2 21 1 d − −= = = + y x= 4y x= − 2 2 2 2 ,A B A y m x min m min a b− = 1 2 120 602 = 6 7 660 7V+ ×乙（ ） V乙【详解】 解：从图 1，可见甲的速度为 ， 从图 2 可以看出，当 时，二人相遇，即： ，解得： 乙的速度： ， ∵乙的速度快，从图 2 看出已用了 分钟走完全程，甲用了 分钟走完全程， . 故答案为 ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法 求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度． 12．（2019·四川中考真题）如图，点 是双曲线 ： （ ）上的一点，过点 作 轴的垂线交 直线 ： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面积的最大值是______. 【答案】3 【解析】令 PQ 与 x 轴的交点为 E，根据双曲线的解析式可求得点 A、B 的坐标，由于点 P 在双曲线上，由双 曲线解析式中 k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为 2，故当△OEQ 面积最大时△ 的面积最大.设 Q（a， ）则 S△OEQ= ×a×（ ）= = ，可知当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1，即当 Q 为 AB 中点时△OEQ 为 1，则求得△ 面积的最大值是是 3. 【详解】 120 602 = 6 7x = 660 1207V+ × =乙 80V =乙 b a 120 120 1 60 80 2a b− = − = 1 2 P C 4y x = 0x > P x AB 1 22y x= − Q OP OQ P C P Q POQ POQ 1 22 a − 1 2 1 22 a − 21 4 −a a 21( 1) 12 − +a POQ∵ 交 x 轴为 B 点，交 y 轴于点 A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即 OB=4，OA=2 令 PQ 与 x 轴的交点为 E ∵P 在曲线 C 上 ∴△OPE 的面积恒为 2 ∴当△OEQ 面积最大时△ 的面积最大 设 Q（a, ） 则 S△OEQ= ×a×（ ）= = 当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1 即当 Q 为 AB 中点时△OEQ 为 1 故△ 面积的最大值是是 3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握 反比例函数中 k 的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值. 13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨，每生产 1 吨甲产品可获得利润 0.3 万元，每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x（吨），生产甲、乙两种产品获得 的总利润为 y（万元）． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要 A 原料 0.5 吨．受市场影响，该厂 能获得的 A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最 大利润． 【答案】（1） ；（2）工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，能获得最大利润. 【解析】（1）利润 y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产 1 吨甲产 1 22y x= − POQ 1 22 a − 1 2 1 22 a − 21 4 −a a 21( 1) 12 − +a POQ 0.1 1000y x= − +品的利润 0.3 万元×甲产品的吨数 x，即 0.3x 万元，生产乙产品的利润＝生产 1 吨乙产品的利润 0.4 万元× 乙产品的吨数（2500﹣x），即 0.4（2500﹣x）万元． （2）由（1）得 y 是 x 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量 x 的取值范围再确定当 x 取何值时， 利润 y 最大． 【详解】 （1） . （2）由题意得： ，解得 . 又因为 ，所以 . 由（1）可知， ，所以 的值随着 的增加而减小. 所以当 时， 取最大值，此时生产乙种产品 （吨）. 答：工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨，时，能获得最大利润. 【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润 y 与甲产 品生产的吨数 x 的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最 值．也是常考内容之一． 14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车 继续以原速行驶到 地，乙车立即以原速原路返回到 地，甲、乙两车距 地的路程 与各自行驶的 时间 之间的关系如图所示． ⑴ ________， ________； ⑵求乙车距 地的路程 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； ⑶当甲车到达 地时，求乙车距 地的路程 【答案】（1）4，120；（2） ；（3）乙车距 地的路程为 . 【解析】（1）观察图象即可解决问题； ( )0.3 2500 0.4 0.1 1000y x x x= × + − × = − + ( )0.25 2500 0.5 1000x x× + − ×  1000x 2500x≥ 1000 2500x  0.1 0− < y x 1000x = y 2500 1000 1500− = ,A B B B B ( )y km ( )x h m = n = B y x x B B 60 240y x= − + B 30km（2）运用待定系数法解得即可； （3）把 x=3 代入（2）的结论即可． 【详解】 解：（1）根据题意可得 m=2×2=4，n=280-280÷3.5=120； 故答案为：4；120； （2）设 关于 的函数解析式为 ， 因为图象过 ， 所以 ， 解得 ， 所以 关于 的函数解析式为 ， 设 关于 的函数解析式为 ， 因为图象过 两点， 所以 ， 解得： ， 所以 关于 的函数解析式为 ； （3）当 时， ， 所以当甲车到达 地时，乙车距 地的路程为 。 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 15.（2019·新疆中考真题）某水果店以每千克 8 元的价格收购苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的 苹果以每千克降价 4 元销售，全部售完。销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的关系如图所示。请根 据图象提供的信息完成下列问题： （1）降价前苹果的销售单价是 元/千克； （2）求降价后销售金额 y（元）与销售量 x 千克之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）该水果店这次销售苹果盈利多少元？ y x ( )0 2y kx x= ≤ ≤ ( )2,120 2 120k = 60k = y x 60y x= y x ( )1 2 4y k x b x= + ≤ ≤ ( ) ( )2,120 , 4,0 1 1 2 120 4 0 k b k b + =  + = 1 60 240 k b = −  = y x 60 240y x= − + 3.5x = 60 3.5 240 30y = − × + = B B 30km【答案】（1）16；（2） ；（3）360 元. 【解析】（1）根据图像中的数据即可解答； （2）先根据图象求出降价后销售的千克数，设降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解 析式是 y＝kx+b，该函数过点（40，640），（50，760），用待定系数法即可解答； （3）利用总销售额减去成本即可解答. 【详解】 解：（1）由图可得， 降价前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克）， 故答案为：16； （2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10， 设降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解析式是 y＝kx+b，该函数过点（40，640）， （50，760）， ∴ ，解得 ， 即降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解析式是 y＝12x+160（40＜x≤50）； （3） （元） 该水果店这次销售苹果盈利了 360 元. 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题关键在于从图像中获取信息并利用待定系数法求解. 16．（2019·江苏中考真题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路 上匀速行驶，途中快车休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x 小时，快车行驶的路程为 千米，慢车行驶的路程为 千米．如图中折线 OAEC 表示 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 与 x 之间 的函数关系． 40 50x  40 640 50 760 k b k b + =  + = 12 160 k b =  = 760 50 8 360− × = ∴ 1y 2y 1y 2y请解答下列问题： （1）求快车和慢车的速度； （2）求图中线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式； （3）线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义． 【答案】（1）快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时；（2） ；（3）点 F 的坐标为 ，点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程相等． 【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度； （2）根据函数图象中的数据可以求得点 E 和点 C 的坐标，从而可以求得 与 x 之间的函数表达式； （3）根据图象可知，点 F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点 F 的坐标，并写出点 F 的实 际意义． 【详解】 （1）快车的速度为： 千米/小时， 慢车的速度为： 千米/小时， 答：快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时； （2）由题意可得， 点 E 的横坐标为： ， 则点 E 的坐标为 ， 快车从点 E 到点 C 用的时间为： （小时）， 则点 C 的坐标为 ， 设线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式是 ， 1y 1 90 135= −xy (4.5,270) 1y 180 2 90÷ = 180 3 60÷ = 2 1.5 3.5+ = (3.5,180) (360 180) 90 2− ÷ = (5.5,360) 1y 1y kx b= +，得 ， 即线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式是 ； （3）设点 F 的横坐标为 a， 则 ， 解得， ， 则 ， 即点 F 的坐标为 ，点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程相等． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程 17．（2019·吉林中考真题）已知 、 两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从 地匀速开往 地，乙车从 地沿此公路匀速开往 地，两车分别到达目的地后 停止．甲、乙两车相距的路程 （千米）与甲车的行驶时间 （时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　 　千米/时， 　 　， 　 　． （2）求甲、乙两车相遇后 与 之间的函数关系式． （3）当甲车到达距 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【答案】（1）75；3.6；4.5；（2） ；（3）当甲车到达距 地 70 千米处时， 求甲、乙两车之间的路程为 180 千米． 【解析】（1）根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的速度；然后根据“路 程、速度、时间”的关系确定 的值； （2）运用待定系数法解得即可； （3）求出甲车到达距 地 70 千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可． 【详解】 3.5 180 5.5 360 k b k b + =  + = 90 135 k b =  = − 1y 1 90 135= −xy 60 90 135a a= − 4.5a = 60 270a = (4.5,270) A B A B B A y x a = b = y x B ( ) ( ) 135 270 2 3.6 60 3.6 4.5 x xy x x  − < ≤=  < ≤ B a b、 B解：（1）乙车的速度为： 千米/时， ， ． 故答案为：75；3.6；4.5； （2） （千米）， 当 时，设 ，根据题意得： ，解得 ， ∴ ； 当 时，设 ， ∴ ； （3）甲车到达距 地 70 千米处时行驶的时间为： （小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为： （千米）． 答：当甲车到达距 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米． 【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键. 18．（2019·广西中考真题）某校喜迎中华人民共和国成立 70 周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏 比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有 50 张，毎袋小红旗 有 20 面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少 5 元，用 150 元购买贴纸所得袋数 与用 200 元购买小红旗所得袋数相同． （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2 张，小红旗 1 面．设购买国旗图案贴纸 袋（ 为正整数）， 则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含 的代数式表示． （3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8 折优惠．学校按（2）中的配套方案购 买，共支付 元，求 关于 的函数关系式．现全校有 1200 名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小 红旗各多少袋？所需总费用多少元？ ( )270 60 2 2 75− × ÷ = 270 75 3.6a = ÷ = 270 60 4.5b = ÷ = 60 3.6 216× = 2 3.6x< ≤ 1 1y k x b= + 1 1 1 1 2 0 3.6 216 k b k b + =  + = 1 1 135 270 k b =  = − ( )135 270 2 3.6y x x= − < ≤ 3.6 4.6x< ≤ 60y x= ( ) ( ) 135 270 2 3.6 60 3.6 4.5 x xy x x  − < ≤=  < ≤ B ( ) 20270 70 60 6 − ÷ = 20135 270 1806 × − = B a a a w w a【答案】（1）每袋国旗图案贴纸为 15 元，每袋小红旗为 20 元；（2）购买小红旗 袋恰好配套；（3）需 要购买国旗图案贴纸和小红旗各 48，60 袋，总费用 元． 【解析】（1）设每袋国旗图案贴纸为 元，则有 ，解得 ，检验后即可求解； （2）设购买 袋小红旗恰好与 袋贴纸配套，则有 ，解得 ； （3）如果没有折扣， ，国旗贴纸需要： 张，小红旗需要： 面，则 袋， 袋，总费用 元. 【详解】 （1）设每袋国旗图案贴纸为 元，则有 ， 解得 ， 经检验 是方程的解， ∴每袋小红旗为 元； 答：每袋国旗图案贴纸为 15 元，每袋小红旗为 20 元； （2）设购买 袋小红旗恰好与 袋贴纸配套，则有 ， 解得 ， 答：购买小红旗 袋恰好配套； （3）如果没有折扣，则 ， 依题意得 ， 解得 ， 当 时，则 ， 即 ， 国旗贴纸需要： 张， 小红旗需要： 面， 则 袋， 袋， 总费用 元． 5 4 a 1696W = x 150 200 5x x = + 15x = b a 50 : 20 2:1a b = 5 4b a= 40 , 20 32 160, 20 a aW a a ≤=  + > 1200 2 2400× = 1200 1 1200× = 2400 4850a = = 5 604b a= = 32 48 160 1696W = × + = x 150 200 5x x = + 15x = 15x = 15 5 20+ = b a 50 : 20 2:1a b = 5 4b a= 5 4 a 515 20 404W a a a= + × = 40 800a ≤ 20a ≤ 20a > 800 0.8 40 800( ) 32 160W a a= + − = + 40 , 20 32 160, 20 a aW a a ≤=  + > 1200 2 2400× = 1200 1 1200× = 2400 4850a = = 5 604b a= = 32 48 160 1696W = × + =【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化 为求一次函数的最大值是解题的关键. 19．（2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6 元，当销售单价定为 8 元 时，每天可以销售 200 件．市场调查反映：销售单价每提高 1 元，日销量将会减少 10 件，物价部门规定： 销售单价不能超过 12 元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日销量为 y（件），日销售利润为 w（元）． （1）求 y 与 x 的函数关系式． （2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x 为何值时，日销售利润最大，并求出 最大利润． 【答案】（1） ；（2）10 元；（3）x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元 【解析】（1）根据题意得到函数解析式； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）根据题意得， ， 故 y 与 x 的函数关系式为 ； （2）根据题意得， ，解得： ， （不合题意舍去）， 答：要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为 10 元； （3）根据题意得， ， ， ∴当 时，w 随 x 的增大而增大， 当 时， ， 答：当 x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元． 【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式， 进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． 20．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了 小时．在加工过程中乙机器 因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作 10 280y x= − + ( )( ) ( )26 1 280 10 17 1210w x x x= − − + = − − + ( )200 10 8 10 280y x x= − − = − + 10 280y x= − + ( )( )6 10 280 720x x− − + = 1 10x = 2 24x = ( )( ) ( )26 10 280 10 17 1210w x x x= − − + = − − + 10 0− w a 30a = 40 30 2000 3200w = × + =最小值 400 1 1 y x t y x x 90【答案】（1） ； ； （2） （3）货车出发 小时或 小时后两车相距 千米 【解析】（1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得 、 、 的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】 解：（1）车的速度是 千米/小时；轿车的速度是： 千米/小时； ． 故答案为： ； ； ； （2）由题意可知： ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， 当 时， ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得： ，解得 ， ， ； （3）设货车出发 小时后两车相距 千米，根据题意得： 或 ， 解得 或 ． 答：货车出发 小时或 小时后两车相距 千米． 【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难 50 80 3 ( ) ( ) ( ) 80 0 3 240 3 4 80 560 4 7 x x y x x x  ≤ ≤ = ≤ ≤ − + ≤ ≤ 3 5 90 A B C 50 ( )400 7 2 80÷ − = 240 80 3t = ÷ = 50 80 3 ( )3,240A ( )4,240B ( )7,0C OA ( )1 1 0y k x k= ≠ ∴ ( )80 0 3y x x= ≤ ≤ 3 4x≤ ≤ 240y = BC ( )2 0y k x b k= + ≠ ( )4,240B ( )7,0C 2 2 4 240 7 0 k b k b + =  + = 2 80 560 k b = −  = ∴ 80 560y = − + ∴ ( ) ( ) ( ) 80 0 3 240 3 4 80 560 4 7 x x y x x x  ≤ ≤ = ≤ ≤ − + ≤ ≤ x 90 ( )50 80 1 400 90x x+ − = − ( )50 80 2 400 90x x+ − = + 3x = 5 3 5 90度，必须分段研究. 23．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩 具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会 减少 1 件．设销售单价增加 元，每天售出 件． （1）请写出 与 之间的函数表达式； （2）当 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 元，当 为多少时 最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元（3）当 为 20 时 最大，最大值是 2400 元 【解析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到 ，根据二次函数的性质得到当 时， 随 的增大而增 大，于是得到结论． 【详解】 （1）根据题意得， ； （2）根据题意得， ， 解得： ， ， ∵每件利润不能超过 60 元， ∴ ， 答：当 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得， ， ∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大， ∴当 时， ， 答：当 为 20 时 最大，最大值是 2400 元． x y y x x w x w 1 502y x= − + x x w ( )21 30 24502w x= − − + 30x < w x 1 502y x= − + ( ) 140 50 22502x x + − + =   1 50x = 2 10x = 10x = x ( ) 21 140 50 30 20002 2w x x x x = + − + = − + +   ( )21 30 24502 x= − − + 1 02a = − < 30x < w x 20x = 2400w =增大 x w【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 24．（2019·浙江中考真题）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 （千瓦时）关于 已行驶路程 （千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程，当 时，求 1 千瓦 时的电量汽车能行驶的路程； （2）当 时求 关于 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量. 【答案】（1）1 千瓦时可行驶 6 千米；（2）当 时，函数表达式为 ，当汽车 行驶 180 千米时，蓄电池剩余电量为 20 千瓦时. 【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米，据此即可求出 1 千瓦时 的电量汽车能行驶的路程； （2）运用待定系数法求出 y 关于 x 的函数表达式，再把 x=180 代入即可求出当汽车已行驶 180 千米时，蓄 电池的剩余电量． 【详解】 （1）由图像可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车行驶了 150 千米. 1 千瓦时可行驶 千米. （2）设 ，把点 ， 代入， 得 ，∴ ，∴ . 当 时， . 答：当 时，函数表达式为 ，当汽车行驶 180 千米时，蓄电池剩余电量为 20 千瓦时. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余 油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代 y x 0 150x≤ ≤ 150 200x≤ ≤ y x 150 200x≤ ≤ 0.5 110y x= − + 150 660 35 =− ( 0)y kx b k= + ≠ (150,35) (200,10) 150 35 200 10 k b k b + =  + = 0.5 110 k b = −  = 0.5 110y x= − + 180x = 0.5 180 110 20y = − × + = 150 200x≤ ≤ 0.5 110y x= − +表的意义． 25．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公 路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车 从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入 口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林．离入口处的路程 （米）与时间 （分)的函数关系如图 2 所 示. （1）求第一班车离入口处的路程 （米）与时间 （分）的函数表达式. （2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间. （3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到 草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度 不变） 【答案】（1） .；（2）10 分钟；（3）第 5 班车，7 分钟. 【解析】（1）设 y=kx+b，运用待定系数法求解即可； （2）把 y=1500 代入（1）的结论即可； （3）设小聪坐上了第 n 班车，30-25+10（n-1）≥40，解得 n≥4.5，可得小聪坐上了第 5 班车，再根据“路 程、速度与时间的关系”解答即可． 【详解】 （1）解：由题意得，可设函数表达式为： . 把 ， 代入 ，得 ， y x y x ( )150 3000 20 38y x x= − ≤ ≤ ( )0y kx b k= + ≠ ( )20,0 ( )38,2700 y kx b= + 0 20 2700 38 k b k b = +  = +解得 . ∴第一班车离入口处的路程 （米）与时间 （分）的函数表达式为 . （2）解：把 代入 ，解得 ， （分）． ∴第一班车到塔林所需时间 10 分钟. （3）解：设小聪坐上第 班车. ，解得 ， ∴小聪最早坐上第 5 班车. 等班车时间为 5 分钟， 坐班车所需时间： （分）， ∴步行所需时间： （分）， （分）． ∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早 7 分钟 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键． 26．（2019·四川中考真题）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元． （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元；（2）当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱，见解析. 【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买 A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】 解：（1）设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， ，解得， ， 150 3000 k b =  = − y x ( )150 3000 20 38y x x= − ≤ ≤ 1500y = 150 3000y x= − 30x = 30 20 10- = n ( )30 25 10 1 40n− + − ≥ 4.5n ≥ 1200 150 8÷ = ( )1200 1500 25 20÷ ÷ = ( )20 8 5 7− + = 3 5 50 2 3 31 x y x y + =  + = 5 7 x y =  =答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯 只，费用为 w 元， ∴当 时，w 取得最小值，此时 答：当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是 明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 27．（2019·河南中考真题）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元． （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请设计出最省钱的购 买方案，并说明理由． 【答案】（1）A 的单价 30 元，B 的单价 15 元（2）购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少 【解析】（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意列出方程组 ，即可求解； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为 个，购买奖品的花费为 W 元，根据题意得到由题意可知， ， ，根据一次函数的性质，即可求解； 【详解】 解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元， 根据题意，得 ， ， A 的单价 30 元，B 的单价 15 元； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为 个，购买奖品的花费为 W 元， 200 a（ ﹣ ） 5 7 200 2 1400w a a a+ − +＝ （ ）＝- ， 3 200a a≤ − （ ）， 150a∴ ≤ ， 150a＝ 1100 200 50w a＝ ， ﹣ ＝ 1 3 3 2 120 5 4 210 x y x y + =  + = (30 )z− 1 (30 )3z z≥ − 30 15(30 ) 450 15W z z z= + − = + 3 2 120 5 4 210 x y x y + =  + = 30 15 x y =∴ = ∴ (30 )z−由题意可知， ， ， ， 当 时，W 有最小值为 570 元， 即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少； 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化 为一次函数性质解题是关键． 28．（2019·辽宁中考真题）一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 元、工厂将该产品进行网络批发， 批发单价 （元）与一次性批发量 （件）（ 为正整数）之间满足如图所示的函数关系． 直接写出 与 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； 若一次性批发量不超过 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当 且 为整数时， 当 且 为整数时， ;当 且 为整数时， ；（2）一次批发 件时所获利润最大，最大利润是 元． 【解析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可； （2）设所获利润 （元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解. 【详解】 解： 当 且 为整数时， 当 且 为整数时， ; 当 且 为整数时， ； 设所获利润 （元）， 当 且 为整数时， 元， 1 (30 )3z z≥ − 15 2z∴ ≥ 30 15(30 ) 450 15W z z z= + − = + =8z 16 y x x ( )1 y x x ( )2 60 0 20x ≤＜ x 40y＝ ； 20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝- 60x＞ x 20y = 34 578 w ( )1 0 20x ≤＜ x 40y＝ ； 20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝- 60x＞ x 20y = ( )2 w 0 20x ≤＜ x 40y＝ ； 40 16 20 480w∴ = − × =（ ）当 且 为整数时，w=480 , ∴当 且 为整数时， 当 时， 最大，最大值为 元． 答：一次批发 件时所获利润最大，最大利润是 元． 【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键. 29．（2019·湖北中考真题）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折．设一次购买量为 x 千克，付款金 额为 y 元． （1）求 y 关于 x 函数解析式； （2）某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多少元？ 【答案】（1）①当0≤x≤5 时，y=20x；②当 x>5，y=16x+20；（2）一次购买玉米种子 30 千克，需付款 500 元； 【解析】（1）根据题意，得①当 0≤x≤5 时，y=20x；②当 x＞5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20； （2）把 x=30 代入 y=16x+20，即可求解. 【详解】 解：（1）根据题意，得 ①当 时， ； ②当 ， ； （2）把 代入 ， ； 一次购买玉米种子 千克，需付款 元. 【点睛】本题考查一次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解题的关键． 30．（2019·江苏中考真题）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批 0 20x ≤＜ x 20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝- 16 50 16w y x x x∴ = − = + −（ ） （- ） ， 21 342w x x∴ +＝- ， 21 34 5782w x∴ = − − +（ ） ， 1 02 − ( )20 0.8 5 20 5 16 20y x x= × − + × = + 30x = 16 20y x= + 16 30 20 500y∴ = × + = ∴ 30 500发这种水果不得少于 ，超过 时，所有这种水果的批发单价均为 3 元 ．图中折线表示批发 单价 （元 ）与质量 的函数关系． （1）求图中线段 所在直线的函数表达式； （2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 【答案】（1） ；（2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是 200 千 克． 【解析】（1）设线段 所在直线的函数表达式为 ，运用待定系数法即可求解； （2）设小李共批发水果 吨，则单价为 ，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即 可”． 【详解】 （1）设线段 所在直线的函数表达式为 ，根据题意得， ，解得 ， ∴线段 所在直线的函数表达式为 ； （2）设小李共批发水果 吨，则单价为 ， 根据题意得： ， 解得 或 400， 经检验， ， （不合题意，舍去）都是原方程的根． 答：小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是 200 千克． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 31．（2019·江苏中考真题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点 ．甲从中山路上点 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 出发，沿北京路步行向东匀速直 100kg 300kg /kg y /kg ( )x kg AB ( )0.01 6 100 300y x x= − + ≤ ≤ AB y kx b= + m 0.01 6m− + AB y kx b= + 100 5 300 3 k b k b + =  + = 0.01 6 k b = −  = AB ( )0.01 6 100 300y x x= − + ≤ ≤ m 0.01 6m− + 8000.01 6m m − + = 200m = 200x = 400x = A B A行．设出发 时，甲、乙两人与点 的距离分别为 、 ．已知 、 与 之间的函数关系如图② 所示． （1）求甲、乙两人的速度； （2）当 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 【答案】（1）甲的速度为 ，乙的速度为 ．（2）当 时，甲、乙两人之间的距离 最短． 【解析】(1)设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解； (2)设甲、乙之间距离为 ，由勾股定理可得 ， 根据二次函数最值即可得出结论． 【详解】 (1)设甲、乙两人的速度分别为 ， ，甲从 B 到 A 用时为 p 分钟，则： ， ， 由图②知： 或 时， ， 则有 ，解得： ， p=1200÷240=5， 答：甲的速度为 ，乙的速度为 ； (2)设甲、乙之间距离为 ， minx A 1y m 2y m 1y 2y x x 240 / minm 80 / minm 9 2x = d 2 2 2(1200 240 ) (80 )d x x= − + = 2964000( ) 1440002x − + / minam / minbm 1 1200 (0 ) 1200( ) ax x py ax x p − ≤ ≤=  − > 2y bx= 3.75x = 7.5 1 2y y= 1200 3.75 3.75 7.5 1200 7.5 a b a b − =  − = 240 80 a b =  = 240 / minm 80 / minm d则 ， 当 时， 的最小值为 ，即 的最小值为 ， 答：当 时，甲、乙两人之间的距离最短． 【点睛】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息， 提高分析问题、解决问题的能力． 32．（2019·宁夏中考真题）将直角三角板 按如图 1 放置，直角顶点 与坐标原点重合，直角边 、 分别与 轴和 轴重合，其中 ．将此三角板沿 轴向下平移，当点 平移到原点 时运 动停止．设平移的距离为 ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 ， 关于 的函数图象（如 图 2 所示）与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ． （1）试确定三角板 的面积； （2）求平移前 边所在直线的解析式； （3）求 关于 的函数关系式，并写出 点的坐标． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】 与 m 轴相交于点 ，可知 ， ； 设 AB 的解析式 ，将点 ， 代入即可； 在移动过程中 ，则 ，所以 ， ；当 时， ，即可求 2 2 2(1200 240 ) (80 )d x x= − + 2964000( ) 1440002x= − + ∴ 9 2x = 2d 144000 d 120 10 9 2x = ABC C AC BC x y 30ABC∠ =  y B O m s s m m ( 3,0)P s Q ABC AB s m Q 3 2S = 3 3y x= − + 3(0, )2Q ( )1 ( )3,0P 3OB = 1OA = ( )2 y kx b= + ( )0, 3B ( )1,0A ( )3 3OB m= − ( )3 3tan30 3 13 3OA OB m m= × = × − = − ( ) 21 3 3 33 12 3 6 2s m m m m  = × − × − = − +    ( )0 3m≤ ≤ 0m = 3 2s =【详解】 解：（1）∵与 轴相交于点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， 设 的解析式 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）在移动过程中 ，则 ， ∴ 当 时， ， ∴ ． 【点睛】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到 是解题的关键． 33．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点 在反比例函数 的图象 上，点 在 的延长线上， 轴，垂足为 ， 与反比例函数的图象相交于点 ，连接 ， ． 30, .2Q       m ( 3,0)P 3OB = 30ABC °∠ = 1OA = 1 31 32 2S = × × = (0, 3), (1,0)B A AB y kx b= + 3 0 b k b  = + = 3 3 k b  = − = 3 3y x= − + 3OB m= − 3 3tan30 ( 3 ) 13 3OA OB m m°= × = × − = − 21 3 3 3( 3 ) 1 , (0 3)2 3 6 2s m m m m m  = × − × − = − + ≤ ≤    0m = 3 2s = 3(0, )2Q ( )0, 3B xOy (3,2)A ( 0)ky xx = > B OA BC x⊥ C BC D AC AD（1）求该反比例函数的解析式； （2）若 ，设点 的坐标为 ，求线段 的长． 【答案】（1） ；（2）3 【解析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y= ，即可求出函数解析式； （2）直线 OA 的关系式可求，由于点 C（a，0），可以表示点 B、D 的坐标，根据 S△ACD= ，建立方程可以解出 a 的值，进而求出 BD 的长． 【详解】 解： （1）∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴反比例函数 ； 答：反比例函数的关系式为： ； （2）过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 设直线 的关系式为 ，将 代入得， ， 3 2ACDS∆ = C ( ,0)a BD 6y x = k x 3 2 (3,2)A ( 0)ky xx = > 3 2 6k = × = 6y x = 6y x = A AE OC⊥ E AC OA y kx= (3,2)A 2 3k =∴直线 的关系式为 ， ∵点 ，把 代入 ，得： ，把 代入 ，得： ， ∴ ），即 ， ，即 ∵ ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ； 答：线段 的长为 3． 【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方 程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． 34．（2019·湖北中考真题）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市 看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 进价（元/ ） 售价（元/ ） 甲 16 乙 18 （1）该超市购进甲种蔬菜 10 和乙种蔬菜 5 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 和乙种蔬菜 10 需要 200 元．求 ， 的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 20 ，且不大 于 70 ．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙 种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 （元）与购进甲种蔬菜的数量 （ ） 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 20%，求 的最大值． OA 2 3y x= ( ,0)C a x a= 2 3y x= 2 3y a= x a= 6y x = 6y a = 2( , )3B a a 2 3BC a= 6( , )D a a 6CD a = 3 2ACDS∆ = 1 3 2 2CD EC• = 1 6 3( 3)2 2aa × × − = 6a = 2 6 33BD BC CD a a = − = − = BD kg kg m n kg kg kg kg m n kg kg kg kg y x kg x y 2a a a【答案】（1） 的值是 10， 的值是 14；（2） ；（3） 的最大值是 1.8． 【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得 m、n 的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y 与 x 的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得 y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于 a 的不等式，即可求得 a 的最大值，本题得以解决． 【详解】 （1）由题意可得， ，解得， ， 答： 的值是 10， 的值是 14； （2）当 时， 当 时， 由上可得， ； （3）当 时， ，则当 时， 取得最大值，此时 ， 当 时， ，则 ， 由上可得，当 时， 取得最大值，此时 ， ∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元， 乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于 20%， ∴ ， 解得， ， 即 的最大值是 1.8． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确 题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 35．（2019·湖南中考真题）在一段长为 1000 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运动员均从 A 点出发进行往返 跑训练．已知乙比甲先出发 30 秒钟，甲距 A 点的距离 y（米）与其出发的时间 x（分钟）的函数图象如图 m n 2 400(20 60) 580(60 70) x xy x x + ≤ ≤= − + < ≤ a 10 5 170 6 10 200 m n m n + =  + = 10 14 m n =  = m n 20 60x≤ ≤ (16 10) (18 14)(100 ) 2 400y x x x= − + − − = + 60 70x< ≤ (16 10) 60 (16 10) 0.5 ( 60) (18 14)(100 ) 580y x x x= − × + − × × − + − − = − + 2 400(20 60) 580(60 70) x xy x x + ≤ ≤= − + < ≤ 20 60x≤ ≤ 2 400y x= + 60x = y 520y = 60 70x< ≤ 580y x= − + 60 580 520y < − + = 60x = y 520y = y a 520 2 60 40 20%60 10 40 14 a a− × − ≥× + × 1.8a ≤ a所示，乙的速度是 150 米分钟，且当乙到达 B 点后立即按原速返回． （1）当 x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． 【答案】（1）当 x 为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；（2）当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米． 【解析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当 x 为何值时，两人第一次相遇； （2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程． 【详解】 （1）甲的速度为：100÷4＝250 米/分钟， 令 250x＝150（x ）， 解得，x＝0.75， 答：当 x 为 0.75 分钟时，两人第一次相遇； （2）当 x＝5 时， 乙行驶的路程为：150×（5 ）＝825＜1000， ∴甲乙第二次相遇的时间为：5 5 （分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5 5）×250＝1109.375（米）， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 解答． 36．（2019·湖北中考真题）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 、 两种型号的 一体机，经过市场调查发现，今年每套 型一体机的价格比每套 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 型一体机和 200 套 型一体机. （1）求今年每套 型、 型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购 型、 型一体机 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 型一体机的价格比今 30 60 + 30 60 + 1000 825 150 250 −+ =+ 7 16 7 16 − A B B A A B A B A B A年上涨 25%，每套 型一体机的价格不变，若购买 型一体机的总费用不低于购买 型一体机的总费用， 那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套 型的价格各是 1.2 万元、 型一体机的价格是 1.8 万元；（2）该市明年至少需投 入 1800 万元才能完成采购计划． 【解析】(1)直接利用今年每套 型一体机的价格比每套 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好 能购买 500 套 型一体机和 200 套 型一体机，分别得出方程求出答案； (2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 【详解】 (1)设今年每套 型一体机的价格为 万元，每套 型一体机的价格为 万元， 由题意可得： ， 解得： ， 答：今年每套 型的价格各是 1.2 万元、 型一体机的价格是 1.8 万元； (2)设该市明年购买 型一体机 套，则购买 型一体机 套， 由题意可得： ， 解得： ， 设明年需投入 万元， ， ∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ ， ∴当 时， 有最小值 ， 故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量 关系是解题关键． 37．（2019·黑龙江中考真题）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙 两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买 个甲种文具、 个乙种文具共需花费 元；购买 个 B B A A B B A A B A x B y 0.6 500 200 960 y x x y − =  + = 1.2 1.8 x y =  = A B A m B (1100 m)− 1.8(1100 m) 1.2(1 25%)m− ≥ + m 600≤ W W 1.2 (1 25%)m 1.8(1100 m)= × + + − 0.3m 1980= − + 0.3 0− < W m m 600≤ m 600= W 0.3 600 1980 1800− × + = 2 1 35 1甲种文具、 个乙种文具共需花费 元． （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共 个，投入资金不少于 元又不多于 元，设购买甲种文具 个， 求有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】（1）购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元（2）有 种购买方案（3）购买甲种文具 个， 乙种文具 个时需要的资金最少，最少资金是 元 【解析】（1）设购买一个甲种文具 a 元，一个乙种文具 b 元，根据“购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需 花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具共需花费 30 元”列方程组解答即可； （2）根据题意列不等式组解答即可； （3）求出 W 与 x 的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】 （1）设购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元，由题意得： ，解得 ， 答：购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元； （2）根据题意得： ， 解得 ， 是整数， 有 种购买方案； （3） ， ， 随 的增大而增大， 当 时， （元）， ． 答：购买甲种文具 个，乙种文具 个时需要的资金最少，最少资金是 元． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程 3 30 120 955 1000 x W 15 5 5 36 84 960 a b 2 35 3 30 a b a b + =  + = 15 5 a b =  = 15 5 955 15 5(120 2) 1000x≤ + − ≤ 35.5 40x≤ ≤ x 36,37,38,39,40x∴ = ∴ 5 15 5(120 ) 10 600W x x x= + − = + 10 0> W∴ x 36x = 10 36 600 960W = × + =最小 120 36 84∴ − = 36 84 96038．（2019·黑龙江中考真题）小明放学后从学校回家，出发 分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘 记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发 分钟时，小明才想起没拿数学作业 卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 （米）与小强所用时间 （分钟）之间 的函数图象如图所示． （1）求函数图象中 的值； （2）求小强的速度； （3）求线段 的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）900（2）60，65（3） 【解析】（1）根据“小明的路程=小明的速度×小明步行的时间”即可求解； （2）根据 a 的值可以得出小强步行 12 分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可； （3）由（2）可知点 B 的坐标，再运用待定系数法解答即可． 【详解】 （1） ； （2）小明的速度为： （米/分）， 小强的速度为： （米/分）； （3）由题意得 ， 设 所在的直线的解析式为： ， 把 、 代入得： ，解得 ， 线段 所在的直线的解析式为 y ． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组 39．（2019·湖北中考真题）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负 5 10 y t a AB 60 1500(10 12)y x x= − + ≤ ≤ 300 (10 5) 9005a = × + = 300 5 60÷ = (900 60 2) 12 65− × ÷ = (12,780)B AB ( 0)y kx b k= + ≠ (10,900)A (12,780)B 10 900 12 780 k b k b + =  + = 60 1500 k b = −  = ∴ AB 60 1500(10 12)y x x= − + ≤ ≤责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价 （万 元）与产量 x（吨）之间的关系如图所示 ．已知草莓的产销投入总成本 （万元）与产量 x （吨）之间满足 ． （1）直接写出草莓销售单价 （万元）与产量 （吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润 （万元）与产量 （吨）之间的函数关系式； （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按 万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社 所获利润 （万元）不低于 万元，产量至少要达到多少吨？ 【答案】（1） ；（2） ；（3）产量至少要达到 吨． 【解析】（1）分 0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100 三段求函数关系式，确定第 2 段利用待定系数法求解 析式； （2）利用 w＝yx﹣p 和（1）中 y 与 x 的关系式得到 w 与 x 的关系式； （3）把（2）中各段中的 w 分别减去 0.3x 得到 w′与 x 的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的 性质求解． 【详解】 解：（1）当 时， ； 当 时，设 ， 把 ， 代入得 ，解得 ， ； 当 时， ； 当 时， ； ； y ( )0 100x≤ ≤ p x 1p x= + y x w x 0.3 'w 55 0.01 2.7,y x= − + 2y = ( )2 1 1w x x x= − + = − 80 0 30x≤ ≤ 2.4y = 30 70x≤ ≤ y kx b= + ( )30,2.4 ( )70,2 30 2.4 70 2 k b k b + =  + = k 0.01 b 2.7 = −  = 0.01 2.7y x∴ = − + 70 100x≤ ≤ 2y = ( )2 0 30x≤ ≤ ( )2.4 1 1.4 1w x x x= − + = − ( ) ( ) ( )220.01 2.7 1 0.01 1.4 1 0.01 70 48w x x x x x x= − + − + = − + − = − − +当 时， ； 当 时， ，当 时， 的最大值为 ，不合题意； 当 时， ，当 时， 的最大值为 ，不合题意； 当 时， ，当 时， 的最大值为 ，此时 ， 解得 ， 所以产量至少要达到 吨． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性 质是完整解决问题的关键． 40．（2019·湖北中考真题）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我 市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某 智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过 分钟，不收费；超过 分钟，不超过 分钟，计 小时， 收费 元；超过 小时后，超过 小时的部分按每小时 元收费（不足 小时，按 小时计）． （1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车 小时 分钟，应交停车费________元．若李先生也在该停、 车场停车，支付停车费 元，则停车场按________小时（填整数）计时收费． （2）当 取整数且 时，求该停车场停车费 （单位：元）关于停车计时 （单位：小时）的函数解析 式． 【答案】（1） ； ； （2） 【解析】（1）根据题意可知，停车 小时 分钟，则超出设计以 小时计算；支付停车费 元，则超出时 间为 （小时），所以停车场按 小时计时收费； （2）根据题意即可得出停车场停车费 （单位：元）关于停车计时 （单位：小时）的函数解析式． 【详解】 （1）若市民张先生某次在该停车场停车 小时 分钟，应交停车费为： （元）；若李先生也在 该停车场停车，支付停车费 元，则超出时间为 （小时），所以停车场按 小时计时收费． 故答案为： ； ； （2）当 取整数且 时，该停车场停车费 （单位：元）关于停车计时 （单位：小时）的函数解析式 为： ， 70 100x≤ ≤ ( )2 1 1w x x x= − + = − ( )3 0 30x≤ < ' 1.4x 1 0.3x 1.1x 1w = − − = − 30x = w' 32 30 70x≤ ≤ ( )22 2' 0.01 1.7 1 0.3 0.01 1.4 1 0.01 70 48w x x x x x x= − + − − = − + − = − − + 70x = w' 48 70 100x≤ ≤ ' 1 0.3 0.7 1w x x x= − − = − 100x = w' 69 0.7 1 55x − ≥ 80x ≥ 80 30 30 60 1 3 1 1 2 1 1 2 10 11 x 1x ≥ y x 7 5 2 1y x= + 2 10 2 11 ( )11 3 2 4÷ =- 5 y x 2 10 3 2 2 7+ × = 11 ( )11 3 2 4÷ =- 5 7 5 x 1x ≥ y x ( )( )3 2 1y x= + −即 ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解公共停车场的收费标准分为规定时间的费用+ 超过规定时间的费用． 2 1y x= +