专题 09 二次函数综合性问题
【典例分析】
【考点 1】二次函数与经济利润问题
【例 1】（2019·山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了
市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发
销售总额比去年增加了 ．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可
售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，设水果店一天的利润为 元，
当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费
用忽略不计．）
【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元；（2）每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店
一天的利润最大，最大利润是 7260 元.
【解析】
【分析】
(1)由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为 万元，设这种
水果今年每千克的平均批发价是 元，则去年的批发价为 元，可列出方程：
，求得 即可.
(2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【详解】
(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 元，则去年的批发价为 元，
20%
w
( )10 1 20% 12− =
x ( )1x +
120000 100000 10001x x
− =+ x
x ( )1x +今年的批发销售总额为 万元，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 (不合题意，舍去).
故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元．
(2)设每千克的平均售价为 元，依题意
由(1)知平均批发价为 24 元，则有
，
整理得 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 元时， 取最大值，
即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首
先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此
题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【变式 1-1】（2019·浙江中考真题）某农作物的生长率 P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1，当
10≤t≤25 时可近似用函数 刻画；当 25≤t≤37 时可近似用函数
刻画．
(1)求 h 的值．
(2)按照经验，该作物提前上市的天数 m(天)与生长率 P 满足函数关系：
生长率 P 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数 m （天） 0 5 10 15
①请运用已学的知识，求 m 关于 P 的函数表达式；
②请用含 的代数式表示 m ；
1 1
50 5P t= − 21 ( ) 0.4160P t h= − − +
t
( )10 1 20% 12− =
120000 100000 10001x x
− =+
2 19 120 0x x− − =
24x = 5x = −
m
( ) 4124 180 3003
mw m
− = − × +
260 4200 66240m m= − + −
( )260 35 7260w m= − − +
60 0a = − <
35m = w (3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温 20℃时，每天的成本
为 200 元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加
600 元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 w (元)与大棚温度 t(℃)之间的关系如图 2．问提前
上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
【答案】（1） ；（2）① ，② ；（3）当 时，提前上市
20 天，增加利润的最大值为 15000 元.
【解析】
【分析】
（1）根据 求出 t=25 时 P 的值，代入 即可；
（2）①由表格可知 m 与 p 的一次函数，用待定系数法求解即可；②分当 时与当 时两种
情况求解即可；
（3）分当 时与当 时两种情况求出增加的利润，然后比较即可.
【详解】
（1）把 t=25 代入 ，得 P=0.3，
把（25，0.3）的坐标代入 得 或
， .
（2）①由表格可知 m 与 p 的一次函数，设 m=kp+b，由题意得
，
解之得
，
；
29h = 100 20m p= − 2( 05
8 29) 2m t= − − + 29t =
1 1
50 5P t= − 21 ( ) 0.4160P t h= − − +
10 25t 25 1 37
20 25t 25 37t≤ ≤
1 1
50 5P t= −
21
16 ) .0 ( 0 4p t h= − − + 29h = 21h =
25h > 29h∴ =
0.2 0
0.25 5
k b
k b
+ =
+ =
100
20
k
b
=
= −
100 20m p∴ = −②当 时， ，
当 时， .
；
（3）（Ⅰ）当 时，
由 ， ，得 .
增加利润为 .
当 时，增加利润的最大值为 6000 元.
（Ⅱ）当 时， .
增加利润为 ，
当 时，增加利润的最大值为 15000 元.
综上所述，当 时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元.
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数解析式，二次函数的图像与性质，利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数图上
点的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键.
【变式 1-2】（2019·辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，
销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 10 元．公司在试销售期间，调查发现，
每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中 ）．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 3100 元，则销售单价 x 应定为多少元？
10 25t
1 1
50 5p t= − 1 1100 20 2 4050 5m t t ∴ = − − = −
25 1 37
21 ( 29) 0.4160p t= − − +
2 2100[ ( 29) 0.4 ] 201 5
160 ( 29) 28 0m t t∴ = − − + − = − − +
20 25t
(20,200) (25,300) 20 200w t= −
∴ 2600 [200 30 (30 )] 40 600 4000m w m t t+ × − − = − −
∴ 25t =
25 37t≤ ≤ 300w =
25600 [200 30 (30 )]=900 ( 29) 150008m w m t + × − − × − × − +
21125 ( 29) 150002 t= − − +
∴ 29t =
29t =
0 30x< （3）设每天销售该特产的利润为 W 元，若 ，求：销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】（1） ；（2）销售单价x 应定为 15 元；（3）当 时，每天的
销售利润最大，最大利润是 6480 元．
【解析】
【分析】
（1）当 时，可直接根据图象写出；当 时，y 与 x 成一次函数关系，用待定系数法求
解即可；
（2）根据销售利润=每千克的利润（x－10）×销售量 y，列出方程，解方程即得结果；
（3）根据销售利润 w=每千克的利润（x－10）×销售量 y，可得 w 与 x 的二次函数，再根据二次函数求最
值的方法即可求出结果.
【详解】
解：（1）由图象知，当 时， ；
当 时，设 ，将 ， 代入得 ，解得 ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 ；
综上所述， ；
（2） ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
解得： （不合题意舍去）， ，
答：销售单价 x 应定为 15 元；
（3）当 时， ，
∵ ， ，
∴当 时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元．
14 30x<
640(10 14)
20 920(14 30)
xy x x
=
10 20h< <
2根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 代入抛物线解析式得出水面宽
度，即可得出答案．
【详解】
建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，
抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为
通过以上条件可设顶点式 ，其中 可通过代入 A 点坐标
代入到抛物线解析式得出： 所以抛物线解析式为
当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到 米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【点睛】
考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
8．（2019·河北中考模拟）如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、A 两处双测 P 处，
仰角分别为 α、β，且 tanα＝ ，tanβ＝ ，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． P 点
坐标为_____；若水面上升 1m，水面宽为_____m．
2y = −
( )0,2 .
2 2y ax= + a ( )2,0 .−
0.5a = − ， 20.5 2y x= − + ，
2y = − 2y = −
2y = −
22 0.5 2x− = − + ， 2 2x = ± ，
4 2 4 2 4.−
4 2 4.−
1
2
3
2【答案】 ；
【解析】
【分析】
（1）过点 P 作 PH⊥OA 于 H，通过解 Rt△OHP、Rt△AHP 求得点 P 的横纵坐标；
（2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出 y＝1 时 x
的值，就可解决问题．
【详解】
解：（1）过点 P 作 PH⊥OA 于 H，如图．
设 PH＝3x，
在 Rt△OHP 中，
∵tanα＝ ，
∴OH＝6x．
在 Rt△AHP 中，
∵tanβ＝ ，
∴AH＝2x，
∴OA＝OH+AH＝8x＝4，
∴x＝ ，
∴OH＝3，PH＝ ，
∴点 P 的坐标为（3， ）；
故答案是：（3， ）；
（2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，
33, 2
2 2
PH 1
OH 2
=
3
2
PH
AH
=
1
2
3
2
3
2
3
2过点 O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为 y＝ax（x﹣4），
∵P（3， ）在抛物线 y＝ax（x﹣4）上，
∴3a（3﹣4）＝ ，
解得 a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x（x﹣4）．
当 y＝1 时，﹣ x（x﹣4）＝1，
解得 x1＝2+ ，x2＝2﹣ ，
∴BC＝（2+ ）﹣（2﹣ ）＝2 ．
故答案是：2 ．
【点睛】
本题主要二次函数的应用、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．（2019·吉林中考模拟）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为 ，两侧
离地面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个门洞的高度为_______ .（精确到 ）
【答案】9.1
【解析】
【分析】
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2 2
2
8m
4m 6m m 0.1m建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标
【详解】
如图，以地面为 x 轴，门洞中点为 O 点，画出 y 轴，建立直角坐标系
由题意可知各点坐标为 A（-4,0）B（4,0）D（-3,4）
设抛物线解析式为 y=ax2+c（a≠0）把 B、D 两点带入解析式
可得解析式为 ，则 C（0， ）
所以门洞高度为 m≈9.1m
【点睛】
本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键
10．（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特
色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价 72 元
/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销
售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现， 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当
种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】（1）该店平均每天销售 礼盒 10 盒， 种礼盒为 20 盒；（2）当 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，
这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可设平均每天销售 礼盒 盒， 种礼盒为 盒，列二元一次方程组即可解题
（2）根据题意，可设 种礼盒降价 元/盒，则 种礼盒的销售量为：（ ）盒，再列出关系式即
可．
【详解】
24 64y 7 7x= − + 64
7
64
7
,A B
A B A
A B A
A x B y
A m A 10 3
m+解：（1）根据题意，可设平均每天销售 礼盒 盒， 种礼盒为 盒，
则有 ，解得
故该店平均每天销售 礼盒 10 盒， 种礼盒为 20 盒．
（2）设 A 种湘莲礼盒降价 元/盒，利润为 元，依题意
总利润
化简得
∵
∴当 时，取得最大值为 1307，
故当 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首
先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
11．（2019·内蒙古中考真题）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小
说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元．根据
以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10
本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 （本）与销售单价 （元）之间的函数关系式及自变
量的取值范围．
（2）书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利
润为 1960 元，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．根据题意得到 w=（x-20-a）（-10x+500）=-10x2+（10a+700）
x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为 x＝35+ a，且 0＜a≤6，则 30＜35+ a≤38，则当
A x B y
(120 72) (80 40) 1280
120 80 2800
x y
x y
− + − =
+ =
10
20
x
y
=
=
A B
m W
(120 72) 10 8003
mW m = − − + +
2 21 16 1280 ( 9) 13073 3W m m m= − + + = − − +
1 03a = − <
9m =
A
y x
(0 6)a a< ≤
a
10 500(30 38)y x x= − + 2a =
1
2
1
2
135 2x a= +时， 取得最大值，解方程得到 a1=2，a2=58，于是得到 a=2．
【详解】
解：（1）根据题意得， ；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 元．
对称轴为 x＝35+ a，且 0＜a≤6，则 30＜35+ a ≤38，
则当 时， 取得最大值，
∴
∴ （不合题意舍去），
∴ ．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题
意，确定变量，建立函数模型．
12．（2019·辽宁中考真题）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件 30 元，物价部门规定每件儿童玩具的
销售利润不高于进价的 ．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 （件 与销售单价 （元
满足一次函数关系．当销售单价为 35 元时，每天的销售量为 350 件；当销售单价为 40 元时，每天的销售
量为 300 件．
（1）求 与 之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最
大，最大利润是 3960 元．
【解析】
【分析】
（1）设 与 之间的函数关系式为 ，根据题意得到方程组，于是得到结论；
（2）设利润为 元，列不等式得到 ，根据题意得到函数解析式
，根据二次函数的性质即可得到结
w
( ) ( )250 10 25 10 500 30 38y x x x= − − = − +
w
( )( ) ( ) ( )220 10 500 10 10 700 500 10000 30 38w x a x x a x a x= − − − + = − + + − −
1
2
1
2
135 2x a= + w
1 135 20 10 35 500 19602 2a a x a
+ − − − + + =
1 22, 58a a= =
2a =
60% y ） x ）
y x
10 700y x= − +
y x y kx b= +
w 48x
2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x= − + − = − + − = − − +论．
【详解】
（1）设 与 之间的函数关系式为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
（2）设利润为 元，
，
，
根据题意得， ，
，对称轴 ，
当 时， ，
答：当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是 3960 元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜
的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销
售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求 y 与 x 的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
y x y kx b= +
35 350
40 300
k b
k b
+ =
+ =
10
700
k
b
= −
=
y∴ x 10 700y x= − +
w
30 (1 60%)x × +
48x∴
2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x= − + − = − + − = − − +
10 0a
13
2x =
y
2 4x≤ ≤
213 105 242 4y x = − − + ≥ 5x ≤
5x =
13
2
5G 5G
5G x x
y y x
y x
x p p x 1 1
2 2p x= +
y x 500 7500y x= − + 7
4000（2）根据题意令销售收入 W=py，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
（1）设 与 之间的关系式为 y=kx+b，
把（1，7000），（5,5000）代入 y=kx+b，
得 ，解得
∴ 与 之间的关系式为 ；
（2）令销售收入 W=py= =
∴当 x=7 时，W 有最大值为 16000，
此时 y=-500×7+7500=4000
故第 个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是 元.
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图
像与性质.
17．（2019·辽宁中考真题）2019 年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售
一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每个月可售出 100 件．根据
市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨 1 元，每个月会少售出 2 件，设每件商品
的售价为 x 元，每个月的销量为 y 件．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为 2250 元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【答案】（1）y＝220﹣2x；（2）当每件商品的售价定为 65 元或 85 元时，每个月的利润恰好为 2250 元；
（3）当 x＝75，即售价为 75 元时，月利润最大，且最大月利润为 2450 元．
【解析】
【分析】
（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价 1 元每月少售出的件数 2 的乘积，化简可
得；
（2）月销售量乘以每件的利润等于利润 2250，解方程即可；
（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
y x
7000
5000 5
k b
k b
= +
= +
500
7500
k
b
= −
=
y x 500 7500y x= − +
1 1( )( 500 7500)2 2x x+ − + 2250( 7) 16000x− − +
7 4000【详解】
（1）由题意得，月销售量 y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且 x 为正整数）
答：y 与 x 之间的函数关系式为 y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得 x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为 65 元或 85 元时，每个月的利润恰好为 2250 元．
（3）设每个月获得利润 w 元，由（2）知 w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当 x＝75，即售价为 75 元时，月利润最大，且最大月利润为 2450 元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.
18．（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于
每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，
而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450
元．设销售单价为 x 元，平均月销售量为 y 件．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800
元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元．
【解析】
【分析】
（1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20
件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800，解方程即
可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求
得取最大利润时的 x 值及最大利润．【详解】
解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元．
（3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当 x≤65 时，w 随 x 的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元．
【点睛】
本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．
19．（2019·贵州中考真题）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某
村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本 10 元.试销阶段每袋的
销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表：
x（元） 15 20 30 …
y（袋） 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求：
（1）日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为
多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销
售的最大利润是 225 元.
60
10
x−【解析】
【分析】
(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式即可
(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.
【详解】
(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为 y＝kx+b 得
，解得 ，
故日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；
(2)依题意，设利润为 w 元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，
整理得 w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当 x＝2 时，w 取得最大值，最大值为 225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键.
20．（2019·湖北中考真题）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草
莓．根据场调查，在草莓上市销售的 30 天中，其销售价格 （元/公斤）与第 天之间满足
（ 为正整数），销售量 （公斤）与第 天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为 80 元．
（1）求销售量 与第 天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的 30 天中，每天的销售利润 与第 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销
售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润 的最大值及相应的 ．
25 15
20 20
k b
k b
= +
= +
1
40
k
b
= −
=
m x
3 15(1 15)
75(15 30)
x xm x x
+ ≤ ≤= − + < ≤
x n x
n x
y x
y x【答案】（1） ；（2） ；（3）
草莓销售第 13 天时，日销售利润 最大，最大值是 1313.2 元
【解析】
【分析】
本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量 与第 天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 与第 天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】
（1）当 时，设 ，由图知可知
，解得 ，
同理得，当 时，
销售量 与第 天之间的函数关系式：
（2）
，
2 10, (1 10)
1.4 44, (10 30)
x xn x x
+ ≤ ≤= − + < ≤
2
2
2
6 60 70, (1 10)
4.2 111 580, (10 15)
1.4 149 3220, (15 30)
x x x
y x x x
x x x
+ + ≤ ≤
= − + + <
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