专题 10 三角形问题
【典例分析】
【考点 1】三角形基础知识
【例 1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系可得 5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．
【详解】
由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即 2＜a＜8，
由此可得，符合条件的只有选项 C，
故选 C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出 5﹣3＜a＜5+3 是解此题的关键，注意：三
,3,5a角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
【变式 1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm2.（结
果保留一位小数）
【答案】1.9
【解析】
【分析】
过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，测量出 AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面
积．
【详解】
解：过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
【变式 1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有 角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直
角顶点在直尺的一条长边上)．若 ，则 _______ ．
【答案】68
1 1 2.2 1.7 1.92 2∆∴ = ⋅ = × × ≈ABCS AB CD
45°
1 23∠ = ° 2∠ = °【解析】
【分析】
由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即
可得出∠2 的度数．
【详解】
如图，
∵ 是含有 角的直角三角板，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为 68．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，
同位角相等．
【考点 2】全等三角形的判定与性质的应用
【例 2】（2019·山东中考真题）在 中， ， ， 于点 ．
（1）如图 1，点 ， 分别在 ， 上，且 ，当 ， 时，求线段
的长；
（2）如图 2，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；
（3）如图 3，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证：
．
ABC∆ 45°
45A C∠ = ∠ = °
1 23∠ = °
1 68AGB C∠ = ∠ + ∠ = °
EF BD
2 68AGB∠ = ∠ = °
ABC∆ 90BAC∠ = ° AB AC= AD BC⊥ D
M N AD AB 90BMN∠ = ° 30AMN = °∠ 2AB = AM
E F AB AC 90EDF∠ = ° BE AF=
M AD N AC 90BMN∠ = °
2AB AN AM+ =【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ ，求出 ∠MBD＝30°，根据勾股
定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到 BE＝AN，根
据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【详解】
（1）解： ， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
；
（2）证明： ， ，
2 32 3AM = −
2
90BAC∠ = ° AB AC= AD BC⊥
AD BD DC∴ = = 45ABC ACB∠ = ∠ = ° 45BAD CAD∠ = ∠ = °
2AB =
2,AD BD DC∴ = = =
30AMN∠ = °
180 90 30 60BMD∴∠ = °− °− ° = °
30BMD∴∠ = °
2BM DM∴ =
2 2 2BM DM BD− = 2 2 2(2 ) ( 2)DM DM− =
2 3
3DM =
2 32 3AM AD DM∴ = − = −
AD BC⊥ 90EDF∠ = °，
在 和 中，
，
；
（3）证明：过点 作 交 的延长线于 ，
，
则 ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的
判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式 2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形 中， ，点 是 的中点，
若 是 的平分线，试判断 ， ， 之间的等量关系．
BDE ADF∴∠ = ∠
BDE∆ ADF∆
{
B DAF
DB DA
BDE ADF
∠ = ∠
=
∠ = ∠
( )BDE ADF ASA≌∴∆ ∆ BE AF∴ =
M //ME BC AB E
90AME∴∠ = °
2AE AB= 45E∠ = °
ME MA∴ =
90AME∠ = °∵ 90BMN∠ = °
BME AMN∴∠ = ∠
BME∆ AMN∆
{
E MAN
ME MA
BME AMN
∠ = ∠
=
∠ = ∠
( )BME AMN ASA∴∆ ∆≌
BE AN∴ =
2AB AN AB BE AE AM∴ + = + = =
ABCD AB CD∥ E BC
AE BAD∠ AB AD DC解决此问题可以用如下方法：延长 交 的延长线于点 ，易证 得到 ，从
而把 ， ， 转化在一个三角形中即可判断．
， ， 之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的
中点，若 是 的平分线，试探究 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1） ；（2） ，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，再根据 AAS 证得 ≌ ，于是
，进一步即得结论；
（2）延长 交 的延长线于点 ，如图②，先根据 AAS 证明 ≌ ，可得 ，再根
据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，进而得出结论.
【详解】
解：（1） .
理由如下：如图①，∵ 是 的平分线，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
∵点 是 的中点，∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ （AAS），∴ .
∴ .
故答案为： .
（2） .
理由如下：如图②，延长 交 的延长线于点 .
AE DC F AEB FEC∆ ∆≌ AB FC=
AB AD DC
AB AD DC
ABCD AB CD∥ AF DC F E BC
AE BAF∠ AB AF CF
AD AB DC= + AB AF CF= +
AD DF= CEF∆ BEA∆
AB CF=
AE DF G AEB∆ GEC∆ AB CG=
FA FG=
AD AB DC= +
AE BAD∠ DAE BAE∠ = ∠
AB DC F BAE∠ = ∠ DAF F∠ = ∠ AD DF=
E BC CE BE=
F BAE∠ = ∠ AEB CEF∠ = ∠
CEF∆ BEA∆ AB CF=
AD CD CF CD AB= + = +
AD AB DC= +
AB AF CF= +
AE DF G∵ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），∴ ，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅
助线构造全等三角形是解本题的关键．
【变式 2-2】（2019·广西中考真题）如图， ，点 在 上．
（1）求证： 平分 ；（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得 AC 平分∠BAD；
（2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出 BE=DE．
【详解】
AB DC BAE G∠ = ∠
BE CE= AEB GEC∠ = ∠
AEB∆ GEC∆ AB GC=
AE BAF∠ BAG FAG∠ = ∠
BAG G∠ = ∠ FAG G∠ = ∠ FA FG=
CG CF FG= + AB AF CF= +
,AB AD BC DC= = E AC
AC BAD∠ BE DE=解：（1）在 与 中，
∴
∴
即 平分 ；
（2）由（1）
在 与 中，得
∴
∴
【点睛】
熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
【考点 3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用
【例 3】（2019·浙江中考真题）如图，在 中， .
⑴已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连结 AP，求证： ；
⑵以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连结 AQ，若 ，求 的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质，得到 PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到
答案.
【详解】
ABC∆ ADC∆
AB AD
AC AC
BC DC
=
=
=
( )ABC ADC SSS∆ ∆≌
BAC DAC∠ = ∠
AC BAD∠
BAE DAE∠ = ∠
BAE∆ DAE∆
BA DA
BAE DAE
AE AE
=
∠ = ∠
=
( )BAE DAE SAS∆ ∆≌
BE DE=
ABC△ AC AB BC< <
2APC BÐ = Ð
3AQC BÐ = Ð BÐ（1）证明：因为点 P 在 AB 的垂直平分线上，
所以 PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得 BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ 中，x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，即∠B=36°.
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性
质.
【变式 3-1】（2019·辽宁中考真题）如图， 是等边三角形，延长 到点 ，使 ，连接
．若 ，则 的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．
【详解】
解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
ABC∆ BC D CD AC=
AD 2AB = AD
2 3
ABC∆
60B BAC ACB °∠ = ∠ = ∠ =
CD AC=
CAD D∠ = ∠∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD 是含 30°角的直角三
角形是解题的关键．
【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点 A、点 C 都与点 B 重合，折痕分别为
EF，DG，得到 ， ，若 ，则 FG 的长为_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得：FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长.在 Rt△BDE 中，根据 30°角的直角
三角形的性质和勾股定理可分别求出 BD 与 BE 的长，从而可得 AC 的长，再根据三角形的中位线定理即得答
案.
【详解】
解：∵把三角形纸片折叠，使点 A、点 C 都与点 B 重合，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
60ACB CAD D∠ = ∠ + ∠ =
30CAD D∠ = ∠ =
90BAD ∠ =
AB 2 2 3tan30 3
3
AD °= = =
2 3
60BDE °∠ = 90BED °∠ = 2DE =
3 3+
AF BF= AE BE= BG CG= DC DB=
1
2FG AC=
60BDE °∠ = 90BED °∠ =
30EBD °∠ =∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的
性质得出 FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长是解本题的关键.
【考点 4】直角三角形的性质
【例 4】（2019·宁夏中考真题）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画
弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交 于点 ．若 ，则 _____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
利用基本作图得 BD 平分 ，再计算出 ，所以 ，利用 得
到 ，然后根据三角形面积公式可得到 的值．
2 4DB DE= =
2 2 2 24 2 2 3BE DB DE= − = − =
2 3AE BE= = 4DC DB= =
2 3 2 4 6 2 3AC AE DE DC= + + = + + = +
1 3 32FG AC= = +
3 3+
Rt ABC∆ 090C∠ = B
,AB BC ,M N ,M N 1
2 MN P
BP AC D 30A∠ = BCD
ABD
S
S
∆
∆
=
1
2
ABC∠ 30ABD CBD∠ = ∠ = DA DB= 2BD CD=
2AD CD= BCD
ABD
S
S
【详解】
解：由作法得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知
线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ．
【变式 4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片 ， ， ， ，
点 为 边上的任一点，沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当 是
直角三角形时，则 的长为_____．
【答案】 或
【解析】
【分析】
依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况
讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到 CD 的长
【详解】
分两种情况：
①若 ，则 ， ，
BD ABC∠
90C = ∠ 30A∠ =
60ABC °∠ =
30ABD CBD °∠ = ∠ =
DA DB=
Rt BCD∆ 2BD CD=
2AD CD=
1
2
BCD
ABD
S
S
∆
∆
=
1
2
- (
)
ABC 90ACB∠ = 10AB = 6AC =
D BC D C AB E BDE∆
CD
3 24
7
90DEB∠ = 90AED C∠ = = ∠ CD ED=连接 ，则 ，
， ，
设 ，则 ，
中，
，
解得 ，
；
②若 ，则 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
解得 ，
，
综上所述， 的长为 或 ，
AD ( )Rt ACD Rt AEAD HL∆ ≅ ∆
6AE AC∴ = = 10 6 4BE = − =
CD DE x= = 8BD x= −
Rt BDE∆ 2 2 2DE BE BD+ =
2 2 24 (8 )x x∴ + = −
3x =
3CD∴ =
90BDE∠ = 90CDE DEF C∠ = ∠ = ∠ = CD DE=
∴ CDEF
90AFE EDB∴∠ = ∠ = AEF B∠ = ∠
~AEF EBD∴∆ ∆
AF EF
ED BD
∴ =
CD x= EF DF x= = 6AF x= − 8BD x= −
6
8
x x
x x
−∴ = −
24
7x =
24
7CD∴ =
CD 3 24
7故答案为： 或 ．
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形
【变式 4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的
坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过 A，B 两地．
（1）A，B 间的距离为______km；
（2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，
D 间的距离为______km．
【答案】20 13
【解析】
【分析】
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度；
（2）根据 A、B、C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度，设 CD=x，根据勾股定理即可求出 x 的值．
【详解】
（1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：AB∥x 轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；
（2）过点 C 作 l⊥AB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）
=18，AE=12，设 CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．
故答案为：（1）20；（2）13．
【点睛】
3 24
7本题考查了勾股定理，解题的关键是根据 A、B、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
【考点 5】相似三角形的判定与性质的应用
【例 5】（2019·四川中考真题）如图， ，DB 平分∠ADC，过点 B 作 交 AD
于 M．连接 CM 交 DB 于 N．
（1）求证： ；（2）若 ，求 MN 的长．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过证明 ，可得 ，可得结论；
（2）由平行线的性质可证 即可证 ，由 和勾股定理
可求 MC 的长，通过证明 ，可得 ，即可求 MN 的长．
【详解】
证明：（1）∵DB 平分 ，
，且 ，
（2）
，且
90ABD BCD °∠ = ∠ = BM CD‖
2BD AD CD= ⋅ 6 8CD AD= =，
4 75MN =
ABD BCD∆ ∆∽ AD BD
BD CD
=
MBD BDC∠ ∠＝ ， 4AM MD MB＝ ＝ ＝ 2BD AD CD⋅＝
MNB CND∆ ∆∽ 2
3
BM MN
CD CN
= =
ADC∠
ADB CDB∴∠ ∠＝ 90ABD BCD∠ ∠ °＝ ＝
ABD BCD∴∆ ∆∽
AD BD
BD CD
∴ =
2BD AD CD∴ ⋅＝
/ /BM CD
MBD BDC∴∠ ∠＝
ADB MBD∴∠ ∠＝ 90ABD∠ °＝
BM MD MAB MBA∴ ∠ ∠＝ ， ＝
4BM MD AM∴ ＝ ＝ ＝，且 ，
，
且
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键．
【变式 5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且
∠APD=∠B,
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若 AB=10，BC=12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到 ，即 AB•CD=CP•BP，由 AB=AC 即
可得到 AC•CD=CP•BP；
2BD AD CD⋅ ＝ 6 8CD AD＝ ， ＝
2 48BD∴ ＝
2 2 2 12BC BD CD∴ ＝ ﹣ ＝
2 2 2 28MC MB BC∴ +＝ ＝
2 7MC∴ ＝
/ /BM CD
MNB CND∴∆ ∆∽
2
3
BM MN
CD CN
∴ = = 2 7MC =
4 75MN∴ =
25
3
BP AB
CD CP
=（2）由 PD∥AB 可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形
的性质即可求出 BP 的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ ，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ ．
∵AB=10，BC=12，
∴ ，
∴BP= ．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性
质等知识，把证明 AC•CD=CP•BP 转化为证明 AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而
得到△BAP∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．
【变式 5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化
主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风
范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己
掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端 C
点处竖立一根标杆 CD，此时，小花测得标杆 CD 的影长 CE＝2 米，CD＝2 米；然后，小风从 C 点沿 BC 方向
走了 5.4 米，到达 G 处，在 G 处竖立标杆 FG，接着沿 BG 后退到点 M 处时，恰好看见紫云楼顶端 A，标杆顶
BP AB
CD CP
=
BA BP
BC BA
=
10
12 10
BP=
25
3端 F 在一条直线上，此时，小花测得 GM＝0.6 米，小风的眼睛到地面的距离 HM＝1.5 米，FG＝2 米．
如图②，已知 AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高 AB．
【答案】紫云楼的高 AB 为 39 米．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到 AB＝BC，过 H 作 HN⊥AB 于 N，交 FG 于 P，设 AB＝BC＝x，则 HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，
AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，
∴AB＝BC，
过 H 作 HN⊥AB 于 N，交 FG 于 P，
设 AB＝BC＝x，则 HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，
AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，
∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，
∴△ANH∽△FPH，
∴ ，即 ，
∴x＝39，
∴紫云楼的高 AB 为 39 米．
AN NH
PF PH
= 1.5 6
0.5 0.6
x x− +=【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
【考点 6】锐角三角函数及其应用
【例 6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD
的延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则 CD 的长度
是_____.
【答案】15﹣5 .
【解析】
【分析】
过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答
案.
【详解】
过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，
在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
3
3∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝ ＝5 ，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ，
故答案是：15﹣5 .
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
【变式 6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为
方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜坡
米，坡度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡
度为 ．求斜坡 的长．（结果保留根号）
【答案】斜坡 的长是 米．
【解析】
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得 的长，进而得到 的长，再根据锐角三角函数可以得到 的长，
最后用勾股定理即可求得 的长．
【详解】
∵ ， ，坡度为 ，
∴ ，
110 3 2
× 3
3
3
3
200AB = 1: 3 AB AE 20AC = AB CD
1: 4 CD
CD 80 17
AE CE ED
CD
90AEB = °∠ 200AB = 1: 3
1 3tan 33
ABE∠ = =∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
即 ，
解得， ，
∴ 米，
答：斜坡 的长是 米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结
合的思想解答．
【变式 6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A
的北偏西 方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10
海里．
（1）填空： 度， 度；
（2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）．
【答案】（1）30，45；（2）（5 －5）海里
【解析】
【分析】
30ABE∠ = °
1 1002AE AB= =
20AC =
80CE =
90CED∠ = ° CD 1: 4
1
4
CE
DE
=
80 1
4ED
=
320ED =
2 280 320 80 17CD = + =
CD 80 17
60° 15°
BAC∠ = C∠ =
3（1）由题意得： ， ，由三角形内角和定理即可得出
的度数；
（2）证出 是等腰直角三角形，得出 ，求出 ，由题意得出 ，
解得 即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ， ，
；
故答案为 30，45；
（2） ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得： ，
答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为 海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
【达标训练】
1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
90 60 30BAC ° ° °∠ = − = 90 15 105ABC ° ° °∠ = + = C∠
BCP∆ =BP PC 3PA BP= 3 10BP BP+ =
5 3 5BP = −
90 60 30BAC ° ° °∠ = − = 90 15 105ABC ° ° °∠ = + =
180 45C BAC ABC° °∴∠ = − ∠ − ∠ =
BP AC⊥
90BPA BPC °∴∠ = ∠ =
45C °∠ =
BCP∴∆
BP PC∴ =
30BAC °∠ =
3PA BP∴ =
PA PC AC+ =
3 10BP BP∴ + =
5 3 5BP = −
(5 3 5)−A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判
断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成
功找到三角形外心．
故选 C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已
知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
2．（2019·江苏中考真题）已知 n 正整数，若一个三角形的三边长分别是 n+2、n+8、3n，则满足条件的 n
的值有( )
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【答案】D
【解析】
【分析】
分 n+8 与 3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案.
【详解】
∵n+2 E AB 1BE CF
AE AF
+ >
G ABC
∴ 1
2
DG
AG
=
EF BC
1
2
BE DG
AE AG
∴ = = 1
2
CF DG
AF AG
= =
1 1 12 2
BE CF
AE AF
+ = + =
A AN BC EF N FE CB M
BE BM
AE AN
= CF CM
AF AN
=
又
而 是 的中点，即
又
结论成立；
（3）（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ,
点 在 的延长线上时， ,
,则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【点睛】
本题考查了三角形的重心，相似三角形的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是通过三角形重心到
顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1 与相似比结合来解题，并合理作出辅助线来解题.
27．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图 1，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子
测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C，
连接 BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 CD∥AB 交 AP 的延长线于点 D，此
时测得 CD＝200 米，那么 A，B 间的距离是 米．
∴ BE CF BM CM BM CM
AE AF AN AN AN
++ = + =
BM CM BM CD DM+ = + +
D BC BD CD=
∴ 2BM CM BM BD DM DM DM DM+ = + + = + =
∴ 2BE CF DM
AE AF AN
+ =
1
2
DM DG
AN AG
= =
∴ 12 12
BE CF
AE AF
+ = × =
F C E AB BE AE=
F AC BE AE>
1BE
AE
∴ > 1BE CF
AE AF
+ >
E AB 1BE CF
AE AF
+ >
∴思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC＝BC，AE＝DE，且 AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点 A
顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋
转角为 α，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC，PE．
①如图 2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图 3，当 α＝90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当 α＝150°时，若 BC＝3，DE＝l，请直接写出 PC2 的值．
【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC＝PE，PC⊥PE，
见解析；③PC2＝ .
【解析】
【分析】
（1）由 CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC 即可证明△ABP≌△DCP，即可得 AB＝CD，即可解题．
（2）①延长 EP 交 BC 于 F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明 PC＝PE，PC
⊥PE．
②作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得 BF＝DE＝AE，再
证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明 PC＝PE，PC⊥PE．
③作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，过 E 点作 EH⊥AC 交 CA 延长线于 H 点，由旋转旋转可知，∠
CAE＝150°，DE 与 BC 所成夹角的锐角为 30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得 PC＝PE，PC⊥PE，再由已
知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝ ，即可求出
【详解】
（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP 和△DCP 中，
10 3 3
2
+
10 3 3+ 2 21 10 3 3
2 2PC EC
+= =，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200 米．
∴CD＝200 米，
故答案为：200．
（2）①PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图 1，延长 EP 交 BC 于 F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC 是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE．
②PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图 2，作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，
同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF＝DE，PE＝PF＝ ，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当 α＝90°时，∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC 和△EAC 中，
BP CP
APB DPC
B C
=
∠ = ∠
∠ = ∠
1
2 EF，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP＝ ．
③如解图 3，作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，过 E 点作 EH⊥AC 交 CA 延长线于 H 点，
当 α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE 与 BC 所成夹角的锐角为 30°，
∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（SAS），
同②△FCE 是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝ ，
在 Rt△AHE 中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝ ，AH＝ ，
又∵AC＝AB＝3，
∴CH＝3+ ，
∴EC2＝CH2+HE2＝
∴PC2＝
BF AE
CBE CAE
BC AC
=
∠ = ∠
=
1
2 EF
2
2 CE
1
2
3
2
3
2
10 3 3+
21 10 3 3
2 2EC
+=【点睛】
本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定
理和 30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．
28．（2019·湖北中考真题）在 中， ， ， 是 上一点，连接
（1）如图 1，若 ， 是 延长线上一点， 与 垂直，求证：
（2）过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交 于点 .
①如图 2，若 ，求证：
②如图 3，若 是 的中点，直接写出 的值（用含 的式子表示）
ABC∆ 90ABC∠ = ° AB nBC
= M BC AM
1n = N AB CN AM BM BN=
B BP AM⊥ P CP AB Q
1n = CP BM
PQ BQ
=
M BC tan BPQ∠ n【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】
(1)延长 交 于点 ，证明 即可得；
(2)①过点 作 交 的延长线于点 ，由(1)，得 ，再根据平行线分线段成比例定理
即可得到结论；
②过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D，延长 AM 交 CD 于点 H，先证明△BPM≌△CHM，从而可得 BP=CH，
PM=HM，再证明△ABM∽△BPM，得到 ，在 Rt△PCH 中，由 tan∠PCH= 可得 tan∠
BPQ= ，继而根据 BC=2BM， 即可求得答案.
【详解】
(1)延长 交 于点 ，
∵ 与 垂直， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
1
n
AM CN H ABM CBN∆ ≅ ∆
C CD BP AB D BM BD=
PM BM
PB AB
= PH
CH
2BM
AB
AB nBC
=
AM CN H
AM CN 90ABC∠ = °
90BAM N∠ + ∠ = ° 90BCN N∠ + ∠ = °
BAM BCN∠ = ∠
1n = 90ABC∠ = °
AB BC= ABC CBN∠ = ∠
ABM CBN∆ ≅ ∆
BM BN=(2)①过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ，∴ 与 垂直，
由(1)，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ；
②过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D，延长 AM 交 CD 于点 H，
∴∠PCH=∠BPQ，
∵ ，∴ ⊥ ，
∴∠BPM=∠CHM=90°，
又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，
∴△BPM≌△CHM，
∴BP=CH，PM=HM，
∴PH=2PM，
∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，
∴△ABM∽△BPM，
∴ ，
在 Rt△PCH 中，tan∠PCH= ，
∴tan∠BPQ= ，
又∵BC=2BM， ，
∴tan∠BPQ= .
C CD BP AB D
BP AM⊥ AM CD
BM BD=
CD BP
CP DB
PQ BQ
= CP BM
PQ BQ
=
BP AM⊥ AM CD
PM BM
PB AB
=
PH
CH
2 2PH PM BM
CH PB AB
= =
AB nBC
=
1BC
AB n
=【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握
和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
29．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不
重合），直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B’.
（1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B’恰好在 AC 边上，则 AB’的长度为_____；
（2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l//AC，则 BB’的长度为 ；
（3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说
明理由；若不变化，求出面积；
（4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.
【答案】（1）4；（2）5 ；（3）面积不变，S△ACB’= ；（4）24+4
【解析】
【分析】
(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；
(2)如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 BB′交 PE 于 O，证明△PEB 是等边三角形，求出 OB 即可解决问
题；
(3)如图 3 中，结论：面积不变，证明 B B′//AC 即可；
(4)如图 4 中，当 PB′⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线 PB′交 AC 于点 E，求出 B′E 即可解决问题.
【详解】
(1)如图 1，∵△ABC 为等边三角形，
3 16 3 3∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，
∵PB=4，
∴PB′=PB=PA=4，
∵∠A=60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′=AP=4，
故答案为 4；
(2)如图 2，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 B B′交 PE 于 O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB 是等边三角形，
∵PB=5，B、B′关于 PE 对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴OB=PB·sin60°= ，
∴BB′=5 ，
故答案为 5 ；
(3)如图 3，结论：面积不变.
过点 B 作 BE⊥AC 于 E，
则有 BE=AB·sin60°= ，
∴S△ABC= =16 ，
∵B、B′关于直线 l 对称，
∴BB′⊥直线 l，
∵直线 l⊥AC，
∴AC//BB′，
∴S△ACB’=S△ABC=16 ；
(4)如图 4，当 B′P⊥AC 时，△ACB′的面积最大，
5 3
2
3
3
38 4 32
× =
1 1 8 4 32 2AC BE = × × 3
3设直线 PB′交 AC 于 E，
在 Rt△APE 中，PA=2，∠PAE=60°，
∴PE=PA·sin60°= ，
∴B′E=B′P+PE=6+ ，
∴S△ACB 最大值= ×(6+ )×8=24+4 .
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与
性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
30．（2019·四川中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高
1.5 米的测角仪 AF 测得古树顶端 H 的仰角 为 ，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 FH 上，再向前走 10
米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角 为 ，点 A、B、C 三点在同一水平线上．
3
3
1
2 3 3
HFE∠ 45°
GED∠ 60°（1）求古树 BH 的高；（2）求教学楼 CG 的高．（参考数据： ）
【答案】（1）古树 BH 的高为 11.5 米；（2）教学楼 CG 的高约为 25 米．
【解析】
【分析】
（1）由 知 ，据此得 ；
（2）设 米，则 米，由 知 ，据此得 ，解
之求得 x 的值，代入 计算可得．
【详解】
解：（1）在 中， ，
∴古树的高为 11.5 米；
（2）在 中， ，
，
设 米，则 米，
在 中， ，
，
，
解得： ，
答：教学楼 CG 的高约为 25 米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题，属于中考常考题型．
31．（2019·江苏中考真题）如图， 中， ， ， ．
2 1.4, 3 1.7= =
45HFE∠ °＝ 10HE EF＝ ＝ 1.5 10 11.5BH BE HE+ +＝ ＝ ＝
DE x＝ 3DG x＝ 45GFD∠ °＝ GD DF EF DE+＝ ＝ 3 10x x+＝
3 1.5CG DG DC x+ +＝ ＝
Rt EFH∆ 90 45HEF HFE∠ ° ∠ °＝ ， ＝
10HE EF∴ ＝ ＝ ，
1.5 10 11.5BH BE HE∴ + +＝ ＝ ＝ ，
Rt EDG∆ 60GED∠ °＝
60 3DG DEtan DE∴ °＝ ＝
DE x＝ 3DG x＝
Rt GFD∆ 90 45GDF GFD∠ ° ∠ °＝ ， ＝
GD DF EF DE∴ +＝ ＝
3 10x x∴ +＝
5 3 5x +＝
3 1.5 3 5 3 5 1.5 16.5 5 3 25CG DG DC x∴ + + + + + ≈＝ ＝ ＝ （ ） ＝ ，
ABC∆ 90C = ∠ 4AC = 8BC =（1）用直尺和圆规作 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）分别以 ， 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ， ，作直线 即可．
（2）设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图直线 即为所求．
（2）∵ 垂直平分线段 ，∴ ，
设 ，在 中，
∵ ，∴ ，
解得 ，∴ ．
【点睛】
本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
32．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 ，
连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 FG 的长．
AB
BC D BD
5BD =
A B 1
2 AB M N MN
AD BD x= = Rt ACD∆
MN
MN AB DA DB=
DA DB x= = Rt ACD∆
2 2 2AD AC CD= + ( )22 24 8x x= + −
5x = 5BD =
BE AB=
BF CF=
6BC = 4DG =【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2.
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质可得 ， ，进而得 ，根据相似三角形的性质即可
求得答案；
(2)由平行四边形的性质可得 ，进而可得 ，根据相似三角形的性质即可求得答案.
【详解】
(1) 四边形 ABCD 是平行四边形，
， ，
，
∴ ，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
；
(2) 四边形 ABCD 是平行四边形，
，
，
，即 ，
解得， ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是
解题的关键.
AD CD AD BC= ΔEBF ΔEAD∽
AD CD ΔFGC ΔDGA∽
AD CD∴ AD BC=
ΔEBF ΔEAD∴ ∽
BF BE
AD EA
=
BF 1
AD 2
∴ =
1 1BF AD BC2 2
∴ = =
BF CF∴ =
AD CD∴
ΔFGC ΔDGA∴ ∽
FG FC
DG AD
∴ = FG 1
4 2
=
FG 2=33．（2019·吉林中考真题）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 与地面的距离 为 ，
花洒 的长为 ，与墙壁的夹角 为 43°．求花洒顶端 到地面的距离 （结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ）
【答案】 约为 。
【解析】
【分析】
过 C 作 CF⊥AB 于 F，于是得到∠AFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 ，则 ，
在 中， ，
∵ ，
∴
，
∴
，
A AB 170cm
AC 30cm CAD∠ C CE 1cm
0sin 43 0.68= 0cos43 0.73= 0tan 43 0.93=
CE 192cm
C CF AB⊥ F 090AFC∠ =
Rt ACF∆ 030, 43AC CAF= ∠ =
cos AFCAF AC
∠ =
cosAF AC CAF= ∠
030 cos43= ×
30 0.73 21.9= × =
CE BF AB AF= = +
( )170 21.9 191.9 192 cm= + = ≈因此，花洒顶端 到地面的距离 约为 。
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题
型．
34．（2019·陕西中考真题）如图，点 A，E，F 在直线 l 上，AE=BF，AC//BD，且 AC=BD，求证：CF=DE
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
利用 SAS 证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得.
【详解】
∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBE，
又 AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE(SAS)，
∴CF＝DE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.
35．（2019·辽宁中考真题）如图，A，B 两市相距 150km，国家级风景区中心 C 位于 A 市北偏东 方向上，
位于 B 市北偏西 方向上．已知风景区是以点 C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发
展，有关部门计划修建连接 A，B 两市的高速公路，高速公路 AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参
考数据： ）
C CE 192cm
60°
45°
3 1.73≈【答案】高速公路 AB 不穿过风景区．
【解析】
【分析】
过点 C 作 于点 H，设 ，则 ， ，结合 ，可得出关
于 t 的一元一次方程，解之即可得出 t 的值，将其与 50 进行比较即可得出结论．
【详解】
高速公路 AB 不穿过风景区．
过点 C 作 于点 H，如图所示．
根据题意，得： ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴高速公路 AB 不穿过风景区．
CH AB⊥ CH tkm= BH tkm= 3AH tkm= 150AB km=
CH AB⊥
30CAB °∠ = 45CBA °∠ =
Rt CHB
tan 1CHCBH HB
∠ = =
CH BH=
BH tkm= CH tkm=
Rt CAH
3tan 3
CHCAH AH
∠ = =
3AH tkm=
150AB km=
3 150t t+ =
75 3 75 75 1.73 75 54.75t = − ≈ × − =
54.75 50>【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形用 CH 的长表示出 AH，BH 的长是解题的关
键．
36．（2019·重庆中考真题）如图，在 中， ， 于点 D．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 E 在边 AB 上， 交 AD 的延长线于点 F．求证： ．
【答案】（1）48°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和即可得到
；
（2）根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 ，等量代换得到
，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵ ， 于点 D，
∴ ， ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ， 于点 D，
∴ ，
ABC∆ AB AC= AD BC⊥
42C °∠ = BAD∠
EF AC AE FE=
BAD CAD∠ = ∠
90 42 48BAD CAD ° ° °∠ = ∠ = − =
BAD CAD∠ = ∠ F CAD∠ = ∠
BAD F∠ = ∠
AB AC= AD BC⊥
BAD CAD∠ = ∠ 90ADC °∠ =
42C °∠ =
90 42 48BAD CAD ° ° °∠ = ∠ = − =
AB AC= AD BC⊥
BAD CAD∠ = ∠∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
EF AC
F CAD∠ = ∠
BAD F∠ = ∠
AE FE=
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