专题 11 四边形问题
【典例分析】
【考点 1】多边形的内角和与外角和
【例 1】（2019·云南中考真题）一个十二边形的内角和等于( )
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式进行求解即可.
【详解】
多边形内角和公式为 ，其中 为多边形的边的条数，
∴十二边形内角和为 ，
故选 D.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
【变式 1-1】（2019·福建中考真题）已知正多边形的一个外角为 36°，则该正多边形的边数为( ).
2 180( )n − × ° n
(12 2) 180 1800− × ° = °A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和是 360°，正多边形的每个外角都是 36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
【变式 1-2】（2019·四川中考真题）如图，六边形 的内角都相等， ，则
_______°．
【答案】60°．
【解析】
【分析】
先根据多边形内角和公式 求出六边形的内角和，再除以 6 即可求出 的度数，由平行线的性
质可求出 的度数．
【详解】
解：在六边形 中，
，
，
∴ ，
∵ ，
ABCDEF / /AD BC DAB∠ =
( 2) 180n °− × BÐ
DAB∠
ABCDEF
(6 2) 180 720° °− × =
720 1206
°
°=
120B °∠ =
/ /AD BC∴ ，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线
的性质．
【考点 2】平行四边形的判定与性质的应用
【例 2】（2019·四川中考真题）如图， 中，对角线 、 相交于点 O， 交 于
点 E，连接 ，若 的周长为 28，则 的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵平行四边形的周长为 28，
∴
∵ ，
∴ 是线段 的中垂线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
【变式 2-1】（2018·山东中考真题）如图，在四边形 中， 是边 的中点，连接 并延长，交 的
180 60DAB B° °∠ = − ∠ =
ABCD AC BD OE BD⊥ AD
BE ABCD ABE∆
ABCD
OB OD= AB CD= AD BC=
14AB AD+ =
OE BD⊥
OE BD
BE ED=
ABE∆ 14AB BE AE AB AD= + + = + =延长线于点 ， .添加一个条件使四边形 为平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把 A、B、C、D 四个选项分别作为添加条件进行验证，D 为正确选项．添加 D 选项，即可证明△DEC≌△FEB，
从而进一步证明 DC＝BF＝AB，且 DC∥AB，则四边形 ABCD 是平行四边形.
【详解】
∵∠F＝∠CDE，
∴CD∥AF，
在△DEC 与△FEB 中，
，
∴△DEC≌△FEB（ASA），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形．
故选 D.
【点睛】
本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）如图，在▱ABCD 中，点 M，N 分别是边 AB，CD 的中点．
求证：AN=CM．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得 ， ，根据一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形，可得 .
【详解】
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵M，N 分别是 AB、CD 的中点，
∴CN= CD，AM= AB，
∵CN∥AM，
∴四边形 ANCM 为平行四边形，
∴AN=CM．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.
【变式 2-3】（2018·江苏中考真题）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F，连接
AC，DF．
（1）求证：四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由．
/ /AB CD AB CD=
AN CM=【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到 CD=FA，再根据 CD∥AF，即可得出四边形
ACDF 是平行四边形；
（2）先判定△CDE 是等腰直角三角形，可得 CD=DE，再根据 E 是 AD 的中点，可得 AD=2CD，依据 AD=BC，即
可得到 BC=2CD．
详解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF 平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E 是 AD 的中点，
∴AD=2CD，∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角
相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是
平行四边形达到上述目的．
【考点 3】矩形的判定与性质的应用
【例 3】（2019·内蒙古中考真题）如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点 ，
，垂足为点 ，且 平分 ，则 的长为_____.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得 AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得 AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求 AB 的长．
【详解】
解：∵四边形 是矩形
∴ ，
∵ 平分
∴ ，且 ， ，
∴ ≌ （ ）
∴ ，且
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
ABCD 8AD = AC BD O
AE BD⊥ E AE BAC∠ AB
8 3
3
ABCD
AO CO BO DO= = =
AE BAO∠
BAE EAO∠ = ∠ AE AE= AEB AEO∠ = ∠
ABE∆ AOE∆ ASA
AO AB= AO OB=
AO AB BO DO= = =
2BD AB=
2 2 2AD AB BD+ =
2 264 4AB AB+ =
8 3
3AB =故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
【变式 3-1】（2019·湖北中考真题）在 中， 分别是
的中点，连接
求证：四边形 是矩形；
请用无刻度的直尺在图中作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【分析】
首先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
连接 交于点 ，作射线 即可．
【详解】
证明： 分别是 的中点，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形
连接 交于点 ，作射线 ，射线 即为所求．
8 3
3
Rt ABC 90 30C A D E F∠ ° ∠ °＝ ， ＝ ， ， ，
AC AB BC， ， ED EF， ．
( )1 DEFC
( )2 ABC∠
( )1 DEFC
( )2 EC DF， O BO
( )1 D E F ， ， AC AB BC， ，
/ / / /DE FC EF CD∴ ， ，
∴ DEFC
90DCF∠ ° ＝ ，
∴ DEFC
( )2 EC DF， O BO BO【点睛】
本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识.
【变式 3-2】（2019·山东中考真题）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分
别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 时,四边形 EGCF 是矩形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出
BE=DF，由 SAS 证明△ABE≌△CDF 即可；
（2）证出 AB=OA，由等腰三角形的性质得出 AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出 EG∥CF，由三角形
中位线定理得出 OE∥CG，EF∥CG，得出四边形 EGCF 是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，
∴BE= OB，DF= OD，
∴BE=DF，
2AC AB=
1
2
1
2在△ABE 和△CDF 中，
（2）当 AC=2AB 时，四边形 EGCF 是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E 是 OB 的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE 是△ACG 的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形 EGCF 是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形 EGCF 是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题.
【考点 4】菱形判定与性质的应用
【例 4】（2019·辽宁中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，DC 的中点，若 BD＝4，EF＝3，
则菱形 ABCD 的周长为__．
AB CD
ABE CDF
BE DF
=
∠ = ∠
=
( )ABE CDF SAS ∴ ≅ 【答案】 .
【解析】
【分析】
连接 AC，利用三角形的中位线定理求得 AC 的长，从而利用菱形的性质求得 AO 和 BO 的长，利用勾股定理求
得边长后即可求得周长．
【详解】
解：如图，连接 AC，
∵E，F 分别是 AD，DC 的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形 ABCD 为矩形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，
∴AB＝ ，
∴周长为 ，
故答案为： ．
【点睛】
考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大．
【变式 4-1】（2019·广西中考真题）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，过点 作
于点 ，已知 BO=4，S 菱形 ABCD=24，则 ___．
4 13
2 2 13AO BO+ =
4 13
4 13
ABCD ,AC BD O A
AH BC⊥ H AH =【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求 ，再根据勾股定理求出 ，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出 是解题的
关键.
【变式 4-2】（2019·浙江中考真题）如图，矩形 的顶点 ， 分别在菱形 的边 ，
上，顶点 、 在菱形 的对角线 上.
24
5
AC BC
ABCD
4 ,BO DO AO CO= = = AC BD⊥
8BD =
1 242ABCDS AC BD= × =菱形
6AC =
1 32OC AC= =
2 2 5BC OB OC= + =
24ABCDS BC AH= × =菱形
24
5AH =
24
5
BC
EFGH E G ABCD AD BC
F H ABCD BD
（1）求证： ；
（2）若 为 中点， ，求菱形 的周长。
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到 EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，
得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接 EG，根据菱形的性质得到 AD=BC，AD∥BC，求得 AE=BG，AE∥BG，得到四边形 ABGE 是平行四边形，
得到 AB=EG，于是得到结论．
【详解】
（1）∵四边形 EFGH 是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接 EG，
BG DE=
E AD 2FH = ABCD∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E 为 AD 中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形 ABGE 是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形 ABCD 的周长=8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
【变式 4-3】（2019·辽宁中考真题）如图，BD 是▱ABCD 的对角线，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 D
为圆心，大于 BD 的长为半径作弧，两弧相交于 E，F 两点；②作直线 EF，分别交 AD，BC 于点 M，N，连
接 BM，DN．若 BD＝8，MN＝6，则▱ABCD 的边 BC 上的高为___．
【答案】 .
【解析】
【分析】
1
2
24
5由作法得 MN 垂直平分 BD，则 MB=MD，NB=ND，再证明△BMN 为等腰三角形得到 BM=BN，则可判断四边形 BMDN
为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出 BN=5，然后利用面积法计算 的边 BC 上的高．
【详解】
由作法得 MN 垂直平分 BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而 MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而 BD⊥MN，
∴△BMN 为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形 BMDN 为菱形，
∴ ，
设▱ABCD 的边 BC 上的高为 h，
∵ ，
∴ ，
即▱ABCD 的边 BC 上的高为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知
ABCD
2 23 4 5BN +＝ ＝
2MN BD BN h ＝
6 8 24
2 5 5h
×
×＝ ＝
24
5
24
5线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
【考点 5】正方形的判定与性质的应用
【例 5】（2019·上海中考真题）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是＝_______.
【答案】
【解析】
【分析】
正方形的面积公式：S=a ，所以 a= ，求出这个正方形的边长，即可解答．
【详解】
设正方形的边长为 a，则有
a2=3
∴边长为 a=
故答案为
【点睛】
此题考查正方形的面积，掌握运算公式是解题关键
【变式 5-1】（2019·山东中考真题）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ，
，则四边形 的周长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接 交 于点 ，则可证得 ， ，可证四边形 为平行四边形，且
，可证得四边形 为菱形；根据勾股定理计算 的长，可得结论．
【详解】
如图，连接 交 于点 ，
3
2 S
3
3
E F ABCD AC 8AC =
2AE CF= = BEDF
8 5
BD AC O OE OF= OD OB= BEDF
BD EF⊥ BEDF DE
BD AC O∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，且 ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ， ，
由勾股定理得： ，
∴四边形 的周长 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解
题的关键．
【变式 5-2】（2019·湖北中考真题）如图①，等腰直角三角形 的直角顶点 为正方形 的中心，
点 ， 分别在 和 上，现将 绕点 逆时针旋转 角 ，连接 ， （如
图②）．
（1）在图②中， ；（用含 的式子表示）
（2）在图②中猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
ABCD
BD AC⊥ OD OB OA OC= = =
2AE CF= =
OA AE OC CF− = − OE OF=
BEDF BD EF⊥
BEDF
DE DF BE BF= = =
8AC BD= = 8 4 22OE OF
−= = =
2 2 2 24 2 2 5DE OD OE= + = + =
BEDF 4 4 2 5 8 5DE= = × =
8 5
OEF O ABCD
C D OE OF OEF∆ O α ( )0 90α° < < ° AF DE
AOF∠ = α
AF DE【答案】（1） ；（2） ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图②，利用旋转得 ，再利用四边形 为正方形，求出∠AOD，从而求出
∠AOF;
（2）如图②，利用四边形 为正方形，得到 ， ，又因为 为
等腰三角形，所以 OF=OE,再证明 即可.
【详解】
解：（1）如图②，
绕点 逆时针旋转 角，
，
四边形 为正方形，
，
；
故答案为 ；
（2） ．
理由如下：
如图②， 四边形 为正方形，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在 和 中
90 α°− AF DE=
DOF COE α∠ = ∠ = ABCD
ABCD 90AOD COD∠ = ∠ = ° OA OD= OEF∆
AOF DOE∆ ∆≌
OEF∆ O α
DOF COE α∴∠ = ∠ =
ABCD
90AOD∴∠ = °
90AOF α∴∠ = °−
90 α°−
AF DE=
ABCD
90AOD COD∴∠ = ∠ = ° OA OD=
DOF COE α∠ = ∠ =
AOF DOE∴∠ = ∠
OEF∆
OF OE∴ =
AOF∆ DOE∆，
，
．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
【达标训练】
一、单选题
1．（2019·辽宁中考真题）如图，某人从点 A 出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后又向右转 60°，
按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了（ ）
A．24m B．32m C．40m D．48m
【答案】D
【解析】
【分析】
从 A 点出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后又向右转 60°，…，这样一直走下去，他第一次回到出
发点 A 时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为 360°，判断多边形的边数，再求路程．
【详解】
解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n，
则 60n＝360，解得 n＝6，
故他第一次回到出发点 A 时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．
2．（2019·贵州中考真题）如图，已知矩形 一条直线将该矩形 分割成两个多边形（含三角
形），若这两个多边形的内角和分别为 和 则 不可能是（ ）.
ABCD， ABCD
M N， M N+
AO DO
AOF DOE
OF OE
=
∠ = ∠
=
( )AOF DOE SAS∴∆ ∆≌
AF DE∴ =A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
360° 540° 720° 630°故选 D．
3．（2019·四川中考真题）四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列四组条件中，一定能判定
四边形 为平行四边形的是( )
A． B． ，
C． ， D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.
【详解】
A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；
B. ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
C. ， ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，
故错误；
D. 对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，
故选 B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
4．（2019·湖北中考真题）若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式 求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的 ，依此可
以求出多边形的一个外角．
ABCD AC BD O
ABCD
/ /AD BC OA OC= OB OD=
/ /AD BC AB DC= AC BD⊥
OA OC= OB OD=
/ /AD BC AB DC=
540°
45° 60° 72° 90°
( )2 180n − • ° 360°【详解】
正多边形的内角和是 ，
多边形的边数为
多边形的外角和都是 ，
多边形的每个外角
故选 ．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适
中．
5．（2019·山东中考真题）如图，在平行四边形 中， 、 是 上两点， ，连接 、
、 、 ，添加一个条件，使四边形 是矩形，这个条件是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可知： ， ，再证明 即可证明四边形 是平行四
边形．
【详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵对角线 上的两点 、 满足 ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
540°
∴ 540 180 2 5°÷ °+ ＝ ，
360°
∴ 360 5 72÷ °＝ ＝ ．
C
ABCD M N BD BM DN= AM
MC CN NA AMCN
1
2OM AC= MB MO= BD AC⊥ AMB CND∠ = ∠
OA OC= OB OD= OM ON= AMCN
ABCD
OA OC= OB OD=
BD M N BM DN=
OB BM OD DN− = − OM ON=
AMCN
1
2OM AC=
MN AC=∴四边形 是矩形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（2019·湖北中考真题）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，已知∠ADE=65°，
则∠CFE 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质可得 DE//BC，EF//AB，根据平行线的性质求出∠CFE 的度数即可.
【详解】
∵点 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∵∠ADE=65°，
∴∠CFE=∠ADE=65°，
故选 B.
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质及平行线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
熟练掌握相关性质是解题关键.
7．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 中， ， 是对角线， 分别
是 的中点，连接 ，则四边形 的形状是（ ）
AMCN
ABCD AB CD= ,AC BD , , ,E F G H
, , ,AD BD BC AC , , ,EF FG GH HE EFGHA．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理可得， 平行且等于 的一半， 平行且等于 的一半，根据等量代换
和平行于同一条直线的两直线平行，得到 和 平行且相等，所以 为平行四边形，又因为
等于 的一半且 ，所以得到所证四边形的邻边 与 相等，所以四边形 为菱形．
【详解】
解：∵ 分别是 的中点，
∴在 中， 为 的中位线，所以 且 ；同理 且 ，
同理可得 ，
则 且 ，
∴四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，
∴四边形 为菱形．
故选：C．
【点睛】
此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．
8．（2019·贵州中考真题）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H 分别是
AB、BD、CD、AC 的中点，则四边形 EFGH 的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
EH CD FG CD
EH FG EFGH EF
AB AB CD= EH EF EFGH
, , ,E F G H , , ,AD BD BC AC
ADC∆ EH ADC∆ / /EH CD 1
2EH CD= / /FG CD 1
2FG CD=
1
2EF AB=
//EH FG EH FG=
EFGH AB CD= EF EH=
EFGH【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH＝FG＝
BC，EF＝GH＝ AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝ ，
∵E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，
∴EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，
∴四边形 EFGH 的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形 EFGH 的周长＝7+5＝12.
故选 A.
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出 BC 的值
9．（2019·广东中考真题）已知菱形 ， 是动点，边长为 4， ，则下
列结论正确的有几个（ ）
① ； ② 为等边三角形
③ ④若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
ABCD ,E F , 120BE AF BAD= ∠ = °
BEC AFC∆ ∆≌ ECF∆
AGE AFC∠ = ∠ 1AF = 1
3
GF
GE
=①易证△ABC 为等边三角形，得 AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件 BE=AF 可证△BEC≌△AFC；②得 FC=EC，∠
FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC 则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG
和△FCG∽△ACF 即可得出结论.
【详解】
在四边形 是菱形中，
∵ ，
∴
∵
∴
∴△ABC 为等边三角形，
∴
又 ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴∠FCE=∠ACB=60°,
∴ 为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，
又∵∠CEF=∠CAB=60°,
∴∠BEC=∠AGE，
由①得，∠AFC=∠BEC，
∴∠AGE=∠AFC，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG∽△FCG，
∴ ，
∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，
∴△ACF∽△FCG，
∴
ABCD
120BAD∠ = °
60= °∠DAC
60B∠ = °
B DAC∠ = ∠
AC BC=
BE AF=
BEC AFC∆ ∆≌
FC EC= FCA ECB∠ = ∠
ECF∆
GE GC
AE FC
=
FC AF
GC GF
=∴
∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3，
∴ ，故④正确.
故选 D.
【点睛】
本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与
性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
10．（2019·内蒙古中考真题）如图，在 中， ，依据尺规作图的痕迹，计算 的
度数是（ ）
A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果.
【详解】
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由作法得 垂直平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
GF AF
GE AE
=
1
3
GF
GE
=
ABCD 47 42BDC ° ′∠ = α
ABCD
/ /AB CD
47 42ABD BDC ° ′∠ = ∠ =
EF BD BE ABD∠
EF BD⊥ 1 23 512ABE DBE ABD ° ′∠ = ∠ = ∠ =
90BEF EBD °∠ + ∠ =∴ ，
∴ 的度数是 66°9′．
故选：D．
【点睛】
考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键.
11．（2019·广西中考真题）如图，在 中， 分别是 的中点，点 在 延长线上，添
加一个条件使四边形 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理得到 ，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】
∵在 中， 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
A、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
B、根据 可以判定 ，即 ，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”
得到四边形 为平行四边形，故本选项正确．
90 23 51 66 9BEF ° ° ° ° ′∠ = − =
α
ABC∆ ,D E ,AB BC F DE
ADFC
B F∠ = ∠ B BCF∠ = ∠ AC CF= AD CF=
1DE AC DE AC2
= ，
ABC∆ ,D E ,AB BC
DE ABC∆
1
2DE AC∕ ∕
B F∠ = ∠ AC DF∕ ∕ ADFC
B BCF∠ = ∠ CF AB∕ ∕ CF AD∕ ∕
ADFCC、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
D、根据 不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且
等于第三边的一半．
12．（2019·山东中考真题）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，AE、
AF 分别交 BD 于 M、N，连按 EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当 AE＝AF 时， ＝2﹣ ，③BE+DF＝
EF，④存在点 E、F，使得 NF＞DF，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①如图 1，证明△AMN∽△BME 和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判
断；
②先证明 CE=CF，假设正方形边长为 1，设 CE=x，则 BE=1-x，表示 AC 的长为 AO+OC 可作判断；
③如图 3，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则 EF=EH=BE+BH=BE+DF，
可作判断；
④在△ADN 中根据比较对角的大小来比较边的大小．
【详解】
①如图 1，
AC CF= AC DF∕ ∕ ADFC
,AD CF FD AC= ∕ ∕ ADFC
BE
EC 2∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴ ，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN 是等腰直角三角形，
∴AN＝EN，
故①正确；
②在△ABE 和△ADF 中，
∵ ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为 1，设 CE＝x，则 BE＝1﹣x，
如图 2，连接 AC，交 EF 于 H，
AM MN
BM EM
=
AB AD
ABE ADF 90
AE AF
°
=
∠ = ∠ =
=∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC 是 EF 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF 中，OC＝ EF＝ x，
△EAF 中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝ ＝AO+OC，
∴1+ x＝ ，
x＝2﹣ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
故②不正确；
③如图 3，
1
2
2
2
2
2
2 2
2
BE
EC
1 (2 2)
2 2
− −
−
( 2 1)(2 2)
2
− + 2
2∴将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH，则 AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E 三点共线，
在△AEF 和△AEH 中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，
故③正确；
④△ADN 中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，
∠FDN＝45°，
∴DF＞FN，
故存在点 E、F，使得 NF＞DF，
故④不正确；
故选 B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性
质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形.
二、填空题
13．（2019·四川中考真题）已知一个多边形的每一个内角都等于 108°，则这个多边形的边数
是 ．
【答案】5
AE AE
FAE HAE
AF AH
=
∠ = ∠
=【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于 108°，∴每一个外角为 72°．
∵多边形的外角和为 360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5．
14．（2019·辽宁中考真题）如图，在矩形 ABCD 中， ， ，点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位
长度的速度沿 AD 向点 D 运动，同时点 F 从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动，当点 E
到达点 D 时，点 E，F 同时停止运动．连接 BE，EF，设点 E 运动的时间为 t，若 是以 BE 为底的等腰
三角形，则 t 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点 E 作 于 G，可得 ， ，由勾股定理可求 t 的值．
【详解】
如图，过点 E 作 于 G，
∴四边形 ABGE 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
5AD = 3AB =
BEF
5 7
4
±
EG BC⊥ 3AB EG= = 2AE BG t= =
EG BC⊥
3AB EG= = 2AE BG t= =
5BF EF t= = − | 2 (5 ) | | 3 5 |FG t t t= − − = −
2 2 2EF FG EG= +
2 2(5 ) (3 5) 9t t− = − +
5 7
4t
±=
5 7
4
±【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
15．（2019·四川中考真题）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点， 的周长
是 8，则 的周长为_____．
【答案】16 ．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得 ，进而可得 OE 是 的中位线，由三角形中位线定理得出
，再根据平行四边形的性质可得 ，从而可得 的周长 的周长 ．
【详解】
解：∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，
，
∴O 为 BD 中点，
∵点 E 是 AB 的中点，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
的周长为 8，
的周长是 16，
故答案为 16．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：①边：
平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平
BEO∆
BCD∆
1
2BO DO BD＝ ＝ ABC∆
2BC OE＝ AB CD＝ BCD∆ BEO∆＝ 2×
1 22BO DO BD BD OB∴ ＝ ＝ ， ＝
2 2AB BE BC OE∴ ＝ ， ＝ ，
AB CD∴ ＝ ，
2CD BE∴ ＝ ．
BEO∆
8OB OE BE∴ + + ＝ ，
2 2 2 2 16BD BC CD OB OE BE OB OE BE∴ + + + + + +＝ ＝（ ）＝ ，
BCD∴∆分．
16．（2019·江苏中考真题）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正
方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN.若 AB=7，BE=5，则 MN=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
连接 FC，根据三角形中位线定理可得 FC=2MN，继而根据四边形 ABCD，四边形 EFGB 是正方形，推导得出 G、
B、C 三点共线，然后再根据勾股定理可求得 FC 的长，继而可求得答案.
【详解】
连接 FC，∵M、N 分别是 DC、DF 的中点，
∴FC=2MN，
∵四边形 ABCD，四边形 EFGB 是正方形，
∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，FG=BE=5，BC=AB=7，
∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°，
即 G、B、C 三点共线，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴FC= =13，
∴MN= ，
故答案为： .
13
2
2 2FG GC+
13
2
13
2【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用
相关知识是解题的关键.
17．（2019·天津中考真题）如图，正方形纸片 的边长为 12， 是边 上一点，连接 ．折叠
该纸片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上．若 ，则
的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得出 AE 的长，然后根据折叠的性质可得 BF 垂直平分 AG，再根据 ,求出 AM
的长，从而得出 AG,继而得出 GE 的长
【详解】
解：在正方形 中，∠BAD=∠D = ，
∴∠BAM+∠FAM=
在 Rt 中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF 垂直平分 AG，
∴AM=MG，∠AMB=
ABCD E CD AE
A AE G B BF F AD 5DE = GE
49
13
ABM ~ ADE
ABCD 090
090
ADE 2 2 2 2+ 1DE 2 31 5= = + =A ADE
ABF GBF≅
090∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM= , ∴AG=
∴GE=5-
【点睛】
本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关
的知识是解题的关键
18．（2019·湖南中考真题）如图所示，过正五边形 的顶点 作一条射线与其内角 的角平分
线相交于点 ，且 ，则 _____度．
【答案】66
【解析】
【分析】
首先根据正五边形的性质得到 度，然后根据角平分线的定义得到 度，再利用三角
形内角和定理得到 的度数．
【详解】
解：∵五边形 为正五边形，
∴ 度，
∵ 是 的角平分线，
∴ 度，
∵ ，
∴ ．
故答案为：66．
090
ABM ~ ADE
AM AB
DE AE
= 12
5 13
AM =
60
13
120
13
120 49
13 13
=
ABCDE B EAB∠
P 60ABP∠ = ° APB∠ =
108EAB∠ = 54PAB∠ =
APB∠
ABCDE
108EAB∠ =
AP EAB∠
54PAB∠ =
60ABP∠ = °
180 60 54 66APB∠ = °− °− ° = °【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
19．（2019·山东中考真题）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示），然后轻轻拉紧、压
平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ．图中， ____度．
【答案】36°.
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
， 是等腰三角形，
度．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道 n 边形的内角和为：180°
（n﹣2）．
20．（2019·江苏中考真题）如图，正方形 的边长为 4， 为 上一点，且 ， 为 边
上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析可知，点 为主动点， 为从动点，所以以点 为旋转中心构造全等关系，得到点 的运动轨
ABCDE BAC∠ =
(5 2) 180 1085ABC
− × °∠ = = ° ABC∆
36BAC BCA∴∠ = ∠ =
ABCD E BC 1BE = F AB
EF EF EFG∆ CG CG
5
2
F G E G迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 最小值．
【详解】
由题意可知，点 是主动点，点 是从动点，点 在线段上运动，点 也一定在直线轨迹上运动
将 绕点 旋转 ，使 与 重合，得到 ，
从而可知 为等边三角形，点 在垂直于 的直线 上，
作 ，则 即为 的最小值，
作 ，可知四边形 为矩形，
则 .
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点 的运动轨迹，是本
题的关键．
21．（2019·湖北中考真题）如图，在 中， 、 是对角线 上两点， ，
， ，则 的大小为___________
【答案】21°.
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边中线的性质得 DE＝AE＝EF，进而可得 DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE
CG
F G F G
EFB∆ E 60° EF EG EFB EHG∆ ≅ ∆
EBH∆ G HE HN
CM HN⊥ CM CG
EP CM⊥ HEPM
1 3 512 2 2CM MP CP HE EC= + = + = + =
5
2
G
ABCD E F AC AE EF CD= =
90ADF∠ = ° 63BCD∠ = ° ADE∠＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答
案.
【详解】
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又 AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21°.
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质等，
正确把握相关性质是解题的关键.
22．（2019·吉林中考真题）如图，在四边形 中， ．若将 沿 折叠,点
与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
ABCD 10,AB BD AD= ⊥ BCD∆ BD C
AB E BCDE根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 DE=BE= AB=5，再根据折叠的性质，即可得到四边形 BCDE 的
周长为 5×4=20．
【详解】
解：∵BD⊥AD，点 E 是 AB 的中点，
∴DE=BE= AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形 BCDE 的周长为 5×4=20，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
23．（2019·湖北中考真题）如图，已知菱形 的对角线 交于点 为 的中点，若
，则菱形的周长为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相平分可得 ，然后求出 是 的中位线，再根据三角形的中位线平
行于第三边并且等于第三边的一半求出 ，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【详解】
四边形 是菱形，
点 是 的中点，
是 的中位线，
，
1
2
1
2
ABCD ,AC BD ,O E BC
3OE =
BO DO= OE BCD∆
CD
ABCD
,AB BC CD AD BO DO∴ = = = =
E BC
∴ OE BCD∆
2 2 3 6CD OE∴ = = × =菱形 的周长 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
24．（2019·贵州中考真题）如图，平行四边形纸片 ABCD 的边 AB，BC 的长分别是 10cm 和 7.5cm，将其四
个角向内对折后，点 B 与点 C 重合于点 C'，点 A 与点 D 重合于点 A′．四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，
其顶点分别在平行四边形 ABCD 的四条边上，则 EF＝__cm．
【答案】10．
【解析】
【分析】
先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形 EHFG 是矩形，再证明△FCH≌△EAG，可得 CF=AE=FC'，
可知 EF=AB，即可得结论．
【详解】
如图中，
由翻折可知：∠CHF＝∠FHC'，∠BHE＝∠EHC'，
∴∠FHE＝∠FHC'+∠EHC' （∠CHC'+∠BHC'）＝90°，
同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°，
∴四边形 EHFG 是矩形．
∴FH＝EG，FH∥EG，
∴∠HFC'＝∠FEG，
∵∠CFH＝∠HFC'，∠AEG＝∠GEA'，
∴∠CFH＝∠AEG，
∴ ABCD 4 6 24= × =
24
1
2
=∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC＝AD，
由翻折得：CH＝C'H＝BH BC，AG＝A'G＝DG AD，
∴CH＝AG，
∴△HCF≌△GAE（AAS），
∴CF＝AE，
∴EF＝FC'+EC'＝AE+BE＝AB＝10cm，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2019·山东中考真题）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ，
，则四边形 的周长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接 交 于点 ，则可证得 ， ，可证四边形 为平行四边形，且
，可证得四边形 为菱形；根据勾股定理计算 的长，可得结论．
【详解】
如图，连接 交 于点 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
1
2
= 1
2
=
E F ABCD AC 8AC =
2AE CF= = BEDF
8 5
BD AC O OE OF= OD OB= BEDF
BD EF⊥ BEDF DE
BD AC O
ABCD
BD AC⊥ OD OB OA OC= = =
2AE CF= =
OA AE OC CF− = − OE OF=∴四边形 为平行四边形，且 ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ， ，
由勾股定理得： ，
∴四边形 的周长 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解
题的关键．
26．（2019·内蒙古中考真题）如图，在 中， 为斜边 的中点，连接
，点 是 边上的动点（不与点 重合），过点 作 交 延长线交于点 ，连接
，下列结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③ 和 一定相似；
④若 ，则 ．
其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
BEDF BD EF⊥
BEDF
DE DF BE BF= = =
8AC BD= = 8 4 22OE OF
−= = =
2 2 2 24 2 2 5DE OD OE= + = + =
BEDF 4 4 2 5 8 5DE= = × =
8 5
Rt ABC∆ 90 , 3,ABC BC D°∠ = = AC
BD F BC B C、 B BE BD⊥ DF E
CE
BF CF= 2 2 2CE AD DE+ =
, 4BDE BAC AB∠ = ∠ = 15
8CE =
ABD∆ CBE∆
30 , 90A BCE° °∠ = ∠ = 21DE =【答案】①②④
【解析】
【分析】
①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 AD=BD，由 BF=CF，BD=CD 得 DE 是 BC 的垂直平分线，得
BE=CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；②证明△ABC∽△DBE，求得 BE，再证明 DE∥AB，
得 DE 垂直平分 BC，得 CE=BE，便可判断结论的正误；③证明∠ABD=∠CBE，再证明 BE 与 BC 或 BC 与 BE 两
边的比不一定等于 AB 与 BD 的比，便可判断结论正误；④先求出 AC，进而得 BD，再在 Rt△BCE 中，求得
BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．
【详解】
解：① 为斜边 的中点，
，
，
，
，
，
故①正确；
② ，
，
，
90 ,ABC D°∠ = AC
AD BD CD∴ = =
AF CF=
BF CF∴ =
DE BC∴ ⊥
BE CE∴ =
BE BD⊥
2 2 2BD BE DE∴ + =
2 2 2CE AD DE∴ + =
4, 3AB BC= =
2 2 5AC AB BC∴ = + =
5
2BD AD CD∴ = = =，
，
，
即 ．
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
，
，
故②正确；
③ ，
，
，
但随着 点运动， 的长度会改变，而
或 不一定等于 ，
和 不一定相似，
故③错误；
④ ，
, 90A BDE ABC DBE °∠ = ∠ ∠ = ∠ =
~ABC DBE∴∆ ∆
AB BC
DB BE
∴ =
4 3
5
2
BE
=
15
8BE∴ =
AD BD=
A ABD∴∠ = ∠
,A BDE BDC A ABD∠ = ∠ ∠ = ∠ + ∠
A CDE∴∠ = ∠
/ /DE AB∴
DE BC∴ ⊥
BD CD=
DE∴ BC
BE CE∴ =
15
8CE∴ =
90ABC DBE °∠ = ∠ =
ABD CBE∴∠ = ∠
5
52
4 8
BD
AB
= =
F BE 3, 3
BEBC =
3
BE∴ 3
BE
5
8
ABD∴∆ CBE∆
,30 3A BC°∠ = =，
，
，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角
形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解
题．
三、解答题
27．（2019·山东中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G，H 在对角线 AC 上，AG＝
CH，直线 GH 绕点 O 逆时针旋转 α 角，与边 AB、CD 分别相交于点 E、F（点 E 不与点 A、B 重合）．
（1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求 AE 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．
【解析】
【分析】
（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得 EO＝FO，且 GO＝HO，可证四边形 EHFG 是平行四边形；
（2）由题意可得 EF 垂直平分 AC，可得 AE＝CE，由勾股定理可求 AE 的长．
【详解】
证明：（1）∵对角线 AC 的中点为 O
30 ,A ABD CBE °∴∠ = ∠ = ∠ = 2 6AC BC= =
1 32BD AC∴ = =
3, 90BC BCE °= ∠ =
2 3cos30B BCE °∴ = =
2 2 21E BDD BE∴ = + =∴AO＝CO，且 AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形 ABCD 是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且 CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且 GO＝HO
∴四边形 EHFG 是平行四边形；
（2）如图，连接 CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且 AO＝CO
∴EF 是 AC 的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在 Rt△BCE 中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运用.
28．（2019·湖南中考真题）如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA(不包括端点)上
运动，且满足 ， ．
(1)求证： ；
(2)试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形 EFGH 的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．
AE CG= AH CF=
AEH CGF∆ ≅ ∆【答案】(1)证明见解析；(2)四边形 EFGH 是平行四边形，理由见解析；(3)四边形 EFGH 的周长一半大于或
者等于矩形 ABCD 一条对角线长度，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理 SAS 证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得 FE=HG，即可得四边形 EFGH 是平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长度．
【详解】
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ．
∴在 与 中， ，
∴ ；
(2)∵由(1)知， ，则 ，同理证得 ，则
，
∴四边形 EFGH 是平行四边形；
(3) 四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长度．
理由如下：作 G 关于 BC 的对称点 G′，连接 EG′，可得 EG′的长度就是 EF+FG 的最小值．
连接 AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
A C∠ = ∠
AEH∆ CGF∆
AE CG
A C
AH CF
=
∠ = ∠
=
(SAS)AEH CGF∆ ≅ ∆
(SAS)AEH CGF∆ ≅ ∆ EH GF= (SAS)EBF GDH∆ ≅ ∆
EF GH=∴四边形 AEG′C 为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长度．
【点睛】
考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
29．（2019·江苏中考真题）如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点 处， 与
相交于点 ．
（1）连接 ，则 与 的位置关系是 ；（2） 与 相等吗？证明你的结论．
【答案】（1） ；（2） 与 相等，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据 ， ，即可得到 ，再根据三角形内角和定理，即可得到
，进而得出 ；
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到 ，进而得出 ．
【详解】
解：（1）连接 ，
在平行四边形 中，
， ，
把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点 处.
， ，
，
.
，
.
ABCD BD C C′ BC′ AD
E
AC′ AC′ BD EB ED
/ /AC BD′ EB ED
AD C B′= ED EB= AE C E′=
EAC EC A EBD EDB′ ′∠ = ∠ = ∠ = ∠ / /AC BD′
EDB EBD∠ = ∠ BE DE=
AC′
ABCD
AD BC= ADB CBD∠ = ∠
ABCD BD C C′
∴ 'AD BC= 'CBD C BD∠ =
∴ 'ADB C BD∠ = ∠
∴ ED EB=
∴ AE C E′=
∴ EAC EC A EBD EDB′ ′∠ = ∠ = ∠ = ∠，
故答案为 ；
（2） 与 相等．
由折叠可得， ，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
30．（2019·江苏中考真题）如图，四边形 中， ，点 、 分别在 上， ，
过点 、 分别作 的垂线，垂足为 、 ．
（1）求证： ；（2）连接 ，线段 与 是否互相平分？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）线段 与 互相平分，见解析.
【解析】
【分析】
（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH，由 AAS
即可得出△AGE≌△CHF；
（2）连接 AH、CG，由全等三角形的性质得出 AG=CH，证出四边形 AHCG 是平行四边形，即可得出结论．
∴ / /AC BD′
/ /AC BD′
EB ED
CBD C BD′∠ = ∠
/ /AD BC
∴ ADB CBD∠ = ∠
∴ EDB EBD∠ = ∠
∴ BE DE=
ABCD AD BC∥ E F ,AD BC AE CF=
A C EF G H
AGE CHF∆ ≅ ∆ AC GH AC
GH AC【详解】
（1）证明： ， ，
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中， ，
；
（2）线段 与 互相平分，理由如下：
连接 、 ，如图所示：
由（1）得： ，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
∴线段 与 互相平分．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的
判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
31．（2017·山东中考真题）如图，在▱ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以
点 B、F 为圆心，大于 BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则
所得四边形 ABEF 是菱形．
AG EF⊥ CH EF⊥
90G H∴∠ = ∠ = ° AG CH∥
AD BC∵ ∥
DEF BFE∴∠ = ∠
AEG DEF∠ = ∠ CFH BFE∠ = ∠
AEG CFH∴∠ = ∠
AGE∆ CHF∆
G H
AEG CFH
AE CF
∠ = ∠
∠ = ∠
=
( )AGE CHF AAS∴∆ ≅ ∆
GH AC
AH CG
AGE CHF∆ ≅ ∆
AG CH∴ =
AG CH ∥
AHCG
GH AC
1
2（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 ABEF 是菱形；
（2）若菱形 ABEF 的周长为 16，AE=4 ，求∠C 的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）60°．
【解析】
试题分析：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE 平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四边形 ABCD 为平行
四边形，可得 BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质
可得 AB＝BE，即可得 BE＝AF，所以四边形 ABEF 为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即
可判定四边形 ABEF 为菱形；（2）连接 BF，已知四边形 ABEF 为菱形，根据菱形的性质可得 BF 与 AE 互相垂
直平分，∠BAE＝∠FAE，OA＝ AE＝ ．再由菱形 ABEF 的周长为 16，可得 AF＝4．所以 cos∠OAF＝
＝ ．即可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行线的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°．
试题解析：
（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE 平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．
∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形 ABEF 为平行四边形．
∴四边形 ABEF 为菱形．
（2）连接 BF，
∵四边形 ABEF 为菱形，∴BF 与 AE 互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．
∴OA＝ AE＝ ．∵菱形 ABEF 的周长为 16，∴AF＝4．
∴cos∠OAF＝ ＝ ．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．
3∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．
32．（2019·山东中考真题）如图， 是菱形 的对角线， ，（1）请用尺规作图法，
作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）45°．
【解析】
【分析】
（1）分别以 A、B 为圆心，大于 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF 计算即可；
【详解】
（1）如图所示，直线 EF 即为所求；
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF 垂直平分线段 AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
BD ABCD 75CBD∠ = °
AB EF E AD F
BF DBF∠
1
2 AB
1
2
=本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
33．（2019·湖北中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的
垂线，分别交 AD、BC 于点 E、F，连接 AF、CE.试判断四边形 AECF 的形状，并证明.
【答案】四边形 AECF 为菱形；证明见解析.
【解析】
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，由 O 是 AC 中点可得 AO=CO，利用 AAS 可证明△AOE≌△COF，可得
AE=CF，根据中垂线的性质可得 AF=CF，AE=CE，进而可证明 AF=CF=AE=CE，即可得四边形 AECF 为菱形.
【详解】
四边形 AECF 为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O 是 AC 中点，
∴AO=CO，
在△AOE 和△COF 中 ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形 AECF 为菱形.
1 2
AOE COF
AO CO
∠ = ∠
∠ = ∠
=【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质及菱形的判定，熟练掌握判定定
理及性质是解题关键.
34．（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点
落在点 处，折痕为 ．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)依据平行四边形的性质，即可得到 ，由折叠可得， ，即可得到
；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 ， ，由折叠可得， ， ，即
可得到 ， ，进而得出 ．
【详解】
(1) 四边形 是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
，
ABCD A C D
G EF
ECB FCG∠ = ∠
EBC FGC∆ ≅ ∆
A BCD∠ = ∠ A ECG∠ = ∠
ECB FCG∠ = ∠
D B∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG=
B G∠ = ∠ BC CG= EBC FGC∆ ≅ ∆
ABCD
A BCD∴ = ∠
A ECG∠ = ∠
BCD ECG∴∠ = ∠
BCD ECF ECG ECF∴∠ − ∠ = ∠ − ∠；
(2) 四边形 是平行四边形，
， ，
由折叠可得， ， ，
， ，
又 ，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的
性质是解题的关键.
35．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°，点 E 在射线 AC 上（不包括点 A 和
点 C），过点 E 的直线 GH 交直线 AD 于点 G，交直线 BC 于点 H，且 GH∥DC，点 F 在 BC 的延长线上，CF＝AG，
连接 ED，EF，DF．
（1）如图 1，当点 E 在线段 AC 上时，
①判断△AEG 的形状，并说明理由．
②求证：△DEF 是等边三角形．
（2）如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上时，△DEF 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，
请说明理由．
【答案】（1）①△AEG 是等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）△DEF 是等边三角形；理由见解
析；
【解析】
【分析】
（1）①由菱形的性质得出 AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，由平行线的性质得
出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝60°，得出∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，即可得
出△AEG 是等边三角形；
ECB FCG∴∠ = ∠
ABCD
D B∴∠ = ∠ AD BC=
D G∠ = ∠ AD CG=
B G∴∠ = ∠ BC CG=
ECB FCG∠ = ∠
( )EBC FGC ASA∴∆ ≅ ∆
1
2②由等边三角形的性质得出 AG＝AE，由已知得出 AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，得出∠
DCF＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出 DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得
出△DEF 是等边三角形；
（2）同（1）①得：△AEG 是等边三角形，得出 AG＝AE，由已知得出 AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠
BAD＝120°，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出 DE＝DF，∠
ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF 是等边三角形．
【详解】
（1）①解：△AEG 是等边三角形；理由如下：
∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∵GH∥DC，
∴∠AGE＝∠ADC＝60°，
∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，
∴△AEG 是等边三角形；
②证明：∵△AEG 是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠DCF＝60°＝∠CAD，
在△AED 和△CFD 中， ，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，
1
2
1
2
AD CD
EAD FCD
AE CF
=
∠ = ∠
=∴∠CDF+∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形；
（2）解：△DEF 是等边三角形；理由如下：
同（1）①得：△AEG 是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∴∠FCD＝60°＝∠CAD，
在△AED 和△CFD 中， ，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，
∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行
线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
36．（2019·广西中考真题）如图 1，在正方形 中，点 是 边上的一个动点（点 与点 不
重合），连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图 2，当点 运动到 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，分别交 于点 ，求 的
值．
1
2
AD CD
EAD FCD
AE CF
=
∠ = ∠
=
ABCD E AB E ,A B
CE B BF CE⊥ G AD F
ABF BCE∆ ∆≌
E AB DG DC DG=
C CM DG⊥ H ,AD BF ,M N MN
NH【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先判断出 ，再由四边形 是正方形，得出 ，
，即可得出结论；
（2）过点 作 于 ，设 ，先求出 ，进而得出
，再求出 ， ，再判断出 ，进而判断出
，即可得出结论；
（3）先求出 ，再求出 ，再判断出 ，求出 ，再用勾股定
理求出 ，最后判断出 ，得出 ，即可得出结论.
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图 2，过点 作 于 ，
5
4
MN
NH
=
90GCB CBG∠ + ∠ = ° ABCD 90CBE A∠ = ° = ∠
BC AB=
D DQ CE⊥ Q 2AB CD BC a= = = 1
2EA EB AB a= = =
5CE a= 2 5
5BG a= 4 5
5CG a= ( )CQD BGC AAS≅
GQ CQ=
8
5CH a= 6
5DH a= CHD DHM
9
10HM a=
4
5GH a= NGH GCH
2 2
5
HGHN aCH
= =
BF CE⊥
90CGB∠ = °
90GCB CBG∠ + ∠ = °
ABCD
90 ,CBE A BC AB∠ = ° = ∠ =
90FBA CBG∠ + ∠ = °
GCB FBA∠ = ∠
( )ABF BCE ASA∆ ∆≌
D DQ CE⊥ Q设 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据面积相等，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图 3，过点 作 于 ，
2AB CD BC a= = =
E AB
1
2EA EB AB a= = =
5CE a=
Rt CEB∆ BG CE CB EB⋅ = ⋅
2 5
5BG a=
2 2 4 5
5CG CB BG a= − =
90 , 90DCE BCE CBF BCE∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = °
DCE CBF∠ = ∠
, 90CD BC CQD CGB= ∠ = ∠ = °
( )CQD BGC AAS∆ ∆≌
2 5
5CQ BG a= =
2 5
5GQ CG CQ a CQ= − = =
, 90DQ DQ CQD GQD= ∠ = ∠ = °
( )DGQ DCQ SAS∆ ∆≌
CD GD=
D DQ CE⊥ Q，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
1 1
2 2CDGS CG DQ CH DG∆ = ⋅ = ⋅
8
5
CG DQCH aDG
⋅= =
Rt CHD∆ 2CD a=
2 2 6
5DH CD CH a= − =
90 , 90MDH HDC HCD HDC∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = °
MDH HCD∠ = ∠
CHD DHM∆ ∆∽
3
4
DH HM
H DHC
= =
9
10HM a=
Rt CHG∆ 4 5 8,5 5CG a CH a= =
2 2 4
5GH CG CH a= − =
90 , 90NGH CGH HCG CGH∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = °
NGH HCG∠ = ∠
NGH GCH∆ ∆∽
HN HG
HG CH
=
2 2
5
HGHN aCH
= =
1
2MN HM HN a= − =∴
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断
出 是解本题的关键.
37．（2019·四川中考真题）如图 1，在正方形 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图 2，连接 、 ，求证： 平分 ；
(3)如图 3，连接 交 于点 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】
(1)由正方形性质得出 ， ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得 ，
利用 可证得 ，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分线的定义得出
，利用 可证得 得出 ，由直角三角形斜边中线的
性质得出 ，根据角的和差关系可得 ，即可得出结论；(3)连接 ，由正
方形的性质得出 ， ， ，推出 ，根据角的和差关
系可得 ，利用 可证得 ，得出 ，推出
，即可证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
【详解】
(1)∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
1
52
2 4
5
aMN
NH a
= =
DGQ DCQ≅
ABCD AE CAB∠ BC E C
CF AE⊥ AE G AB F
BE BF=
BG BD BG DBF∠
DG AC M AE
DM
2AE
DM
=
90ABC∠ = AB BC= EAB FCB∠ = ∠
ASA ABE CBF∆ ≅ ∆
22.5CAG FAG∠ = ∠ = ASA AGC AGF∆ ≅ ∆ CG GF=
GB GC GF= = DBG GBF∠ = ∠ BG
DC AB= 45DCA ACB∠ = ∠ = 90DCB∠ = 2AC DC=
DCG ABG∠ = ∠ SAS DCG ABG∆ ≅ ∆ 22.5CDG GAB∠ = ∠ =
CDG CAG∠ = ∠
ABCD
90ABC∠ = AB BC=∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ .
(2)证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 .
(3)解：连接 ，如图 3 所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
90EAB AEB∠ + ∠ =
AG CF⊥
90FCB CEG∠ + ∠ =
AEB CEG∠ = ∠
EAB FCB∠ = ∠
ABE∆ CBF∆
90
EAB FCB
AB BC
ABE CBF
∠ = ∠
=
∠ = ∠ =
( )ABE CBF ASA∆ ≅ ∆
BE BF=
ABCD
45ABD CAB∠ = ∠ =
AE CAB∠
22.5CAG FAG∠ = ∠ =
AGC∆ AGF∆
90
CAG FAG
AG AG
AGC AGF
∠ = ∠
=
∠ = ∠ =
( )AGC AGF ASA∆ ≅ ∆
CG GF=
90CBF∠ =
GB GC GF= =
90 90GBF GFB FCB GAF∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ 90 22.5 67.5= − =
180DBG ABD GBF∠ = − ∠ − ∠ 180 45 67.5 67.5= − − =
DBG GBF∠ = ∠
BG DBF∠
BG
ABCD
DC AB= 45DCA ACB∠ = ∠ = 90DCB∠ =
2AC DC=∵ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =22.5°，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的
判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，
熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
38．（2019·江苏中考真题）如图，线段 ，射线 ， 为射线 上一点，以 为边作
正方形 ，且点 、 与点 在 两侧，在线段 上取一点 ，使 ，直线
与线段 相交于点 （点 与点 、 不重合）．
DCG DCB BCF DCB GAF∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ 90 22.5 112.5= + =
180 180 67.5 112.5ABG GBF∠ = − ∠ = − =
DCG ABG∠ = ∠
DCG∆ ABG∆
DC AB
DCG ABG
CG BG
=
∠ = ∠
=
( )DCG ABG SAS∆ ≅ ∆
22.5CDG GAB∠ = ∠ =
CDG CAG∠ = ∠
45DCM ACE∠ = ∠ =
DCM ACE∆ ∆
2AE AC
DM DC
= =
8AB = BG AB⊥ P BG AP
APCD C D B AP DP E EAP BAP∠ = ∠ CE
AB F F A B（1）求证： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）求 的周长．
【答案】（1）详见解析；（2） ，理由详见解析；（3）16.
【解析】
【分析】
（1）四边形 正方形，则 平分 ， ， ，即可求解；
（2） ，则 ，而 ，则 ，又
，则 即可求解；
（3）证明 ，则 ， ，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形 正方形，
∴ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）如图，过点 作 ．
∵ ， ，∴ ，
AEP CEP∆ ≅ ∆
CF AB
AEF∆
CF AB⊥
APCD DP APC∠ PC PA= 45APD CPD∠ = ∠ =
AEP CEP∆ ≅ ∆ EAP ECP∠ = ∠ EAP BAP∠ = ∠ BAP FCP∠ = ∠
90FCP CMP∠ + ∠ = 90AMF PAB∠ + ∠ =
( )PCN APB AAS∆ ≅ ∆ CN PB BF= = PN AB=
APCD
DP APC∠ PC PA=
45APD CPD∠ = ∠ =
( )AEP CEP SAS∆ ≅ ∆
CF AB⊥
AEP CEP∆ ≅ ∆ EAP ECP∠ = ∠
EAP BAP∠ = ∠ BAP FCP∠ = ∠
90FCP CMP∠ + ∠ = AMF CMP∠ = ∠
90AMF PAB∠ + ∠ =
90AFM∠ = CF AB⊥
C CN PB⊥
CF AB⊥ BG AB⊥ FC BN∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴
．
【点睛】
本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明
，是本题的关键．
39．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是正方形，连接 AC，将 绕点 A 逆时针旋转 α 得
，连接 CF，O 为 CF 的中点，连接 OE，OD．
（1）如图 1，当 时，请直接写出 OE 与 OD 的关系（不用证明）．
（2）如图 2，当 时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当 时，若 ，请直接写出点 O 经过的路径长．
【答案】（1） ， ，理由见解析；（2）当 时，（1）中的结论成立，理由见
CPN PCF EAP PAB∠ = ∠ = ∠ = ∠
AP CP= ( )PCN APB AAS∆ ≅ ∆
CN PB BF= = PN AB=
AEP CEP∆ ≅ ∆ AE CE=
AE EF AF+ +
CE EF AF= + +
BN AF= +
PN PB AF= + +
AB CN AF= + +
AB BF AF= + +
2AB=
16=
( )PCN APB AAS∆ ≅ ∆
ABC△
AEF
45α °=
45 90α° °< <
360α °= 4 2AB =
OE OD= OE OD⊥ 45 90α° °<
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