2020中考数学压轴题揭秘专题14几何变换试题（附答案）

专题 14 几何变换问题 【考点 1】平移变换问题 【例 1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点 A（1，﹣2）向上平移 3 个单位长度，再向左 平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】A 【解析】 试题分析：已知将点 A（1，﹣2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，根据向 左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点 A′的横坐标为 1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即 A′的坐标为 （﹣1，1）．故选 A． 考点：坐标与图形变化-平移． 【变式 1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，将四边形 向下平移，再向 右平移得到四边形 ，已知 ，则点 坐标为（ ） xOy ABCD 1 1 1 1A B C D 1( 3,5), ( 4,3), (3,3)A B A− − 1BA． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 A 和 A1 的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形 ，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案． 【详解】 图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到 A1（3，3）得向右平移 3－（－3）＝6 个单位，向下平移 5－3＝2 个单位.所以 B（－4，3）平移后 B1（2，1）. 故选 B. 【点睛】 此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键 【变式 1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 （1）将 向上平移 4 个单位长度得到 ，请画出 ； （2）请画出与 关于 轴对称的 ； （3）请写出 的坐标． (1,2) (2,1) (1,4) (4,1) 1 1 1 1A B C D ABC∆ 2, 1 , 1,( ) ( )2 , 3, 3( )A B C− − − ABC∆ 1 1 1A B C∆ 1 1 1A B C∆ ABC∆ y 2 2 2A B C∆ 1 2A A、【答案】（1）如图所示： ，即为所求；见解析；（2）如图所示： ，即为所求；见解析； （3） ． 【解析】 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标. 【详解】 （1）如图所示： ，即为所求； （2）如图所示： ，即为所求； （3） ． 【点睛】 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键. 1 1 1A B C∆ 2 2 2A B C∆ 1 22,3 ,) , 1( ( )2A A − − 1 1 1A B C∆ 2 2 2A B C∆ 1 22,3 ,) , 1( ( )2A A − −【考点 2】轴对称变换问题（含折叠变换） 【例 2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形 中， ，点 分别在边 上，将四 边形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，当 时， 的值是_____． 【答案】 . 【解析】 【分析】 延长 交 于点 ，进而利用翻折变换的性质得出 ， ， ， ， ，再利用菱形的性质得出 ， ， ， 设 ， ，利用勾股定理得出 ，再根据三角函数进行计算即可解 答 【详解】 延长 交 于点 ， ∵将四边形 沿 翻折， ∴ ， ， ， ， ∵四边形 是菱形 ∴ ， ， ∵ ， ∴设 ， ， ABCD 4sin 5B = ,E F ,AD BC AEFB EF AB MN C MN BC⊥ AE AD 2 9 CM AD G AE ME= A EMC∠ = ∠ BF FN= B N∠ = ∠ AB MN= AB BC CD AD= = = B D∠ = ∠ 180A B °∠ + ∠ = 4CF x= 5FN x= 9BC x AB CD AD= = = = CM AD G AEFB EF AE ME= A EMC∠ = ∠ BF FN= B N∠ = ∠ AB MN= ABCD AB BC CD AD= = = B D∠ = ∠ 180A B °∠ + ∠ = 4sin sin5 CFB N FN = = = 4CF x= 5FN x=∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 故答案为： . 【点睛】 此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答 【变式 2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重 合，点 落在点 处，折痕为 ．求证： （1） ； （2） ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 2 2 3CN FN CF x= − = 9BC x AB CD AD= = = = 4sin sin5 GCB D CD = = = 36 5 xGC = ( ) 36x 665 5GM GC MN CN x x= − − = − = 180A B °∠ + ∠ = 180EMC EMG °∠ + ∠ = B EMG∠ = ∠ 4sin sin 5 EGB EMG EM = ∠ = = 3cos 5 GMEMG EM ∠ = = =2EM x 2AE x= 2 2 9 9 AE x AD x = = 2 9 ABCD A C D G EF ECB FCG∠ = ∠ EBC FGC∆ ≅ ∆【分析】 (1)依据平行四边形的性质，即可得到 ，由折叠可得， ，即可得到 ； (2)依据平行四边形的性质，即可得出 ， ，由折叠可得， ， ，即 可得到 ， ，进而得出 ． 【详解】 (1) 四边形 是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ， ， ； (2) 四边形 是平行四边形， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， 又 ， ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的 性质是解题的关键. 【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合），直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B’. （1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B’恰好在 AC 边上，则 AB’的长度为_____； （2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l//AC，则 BB’的长度为 ； （3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说 明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值. A BCD∠ = ∠ A ECG∠ = ∠ ECB FCG∠ = ∠ D B∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG= B G∠ = ∠ BC CG= EBC FGC∆ ≅ ∆  ABCD A BCD∴ = ∠ A ECG∠ = ∠ BCD ECG∴∠ = ∠ BCD ECF ECG ECF∴∠ − ∠ = ∠ − ∠ ECB FCG∴∠ = ∠  ABCD D B∴∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG= B G∴∠ = ∠ BC CG= ECB FCG∠ = ∠ ( )EBC FGC ASA∴∆ ≅ ∆【答案】（1）4；（2）5 ；（3）面积不变，S△ACB’= ；（4）24+4 【解析】 【分析】 (1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题； (2)如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 BB′交 PE 于 O，证明△PEB 是等边三角形，求出 OB 即可解决问 题； (3)如图 3 中，结论：面积不变，证明 B B′//AC 即可； (4)如图 4 中，当 PB′⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线 PB′交 AC 于点 E，求出 B′E 即可解决问题. 【详解】 (1) 如图 1，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=60°，AB=BC=CA=8， ∵PB=4， ∴PB′=PB=PA=4， ∵∠A=60°， ∴△APB′是等边三角形， ∴AB′=AP=4， 故答案为 4； (2)如图 2，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 B B′交 PE 于 O， 3 16 3 3∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°， ∴△PEB 是等边三角形， ∵PB=5，B、B′关于 PE 对称， ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴OB=PB·sin60°= ， ∴BB′=5 ， 故答案为 5 ； (3)如图 3，结论：面积不变. 过点 B 作 BE⊥AC 于 E， 则有 BE=AB·sin60°= ， ∴S△ABC= =16 ， ∵B、B′关于直线 l 对称， ∴BB′⊥直线 l， ∵直线 l⊥AC， ∴AC//BB′， 5 3 2 3 3 38 4 32 × = 1 1 8 4 32 2AC BE = × × 3∴S△ACB’=S△ABC=16 ； (4)如图 4，当 B′P⊥AC 时，△ACB′的面积最大， 设直线 PB′交 AC 于 E， 在 Rt△APE 中，PA=2，∠PAE=60°， ∴PE=PA·sin60°= ， ∴B′E=B′P+PE=6+ ， ∴S△ACB 最大值= ×(6+ )×8=24+4 . 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与 性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【考点 3】旋转变换问题 【例 3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现 如图 1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上. 填空:线段 AD,BE 之间的关系为 . (2)拓展探究 如图 2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断 AD,BE 的关系,并说明理由. (3)解决问题 如图 3,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点,PB=5,连接 AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AC,随着点 B 的位置的变化,直接写出 PC 的范围. 3 3 3 1 2 3 3【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3 ≤PC≤5+3 ． 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得 AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长 BE 交 AD 于点 F，由垂直 定义得 AD⊥BE． （2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°， AD⊥BE； （3）作AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当 P、E、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE； 当 P、E、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE，故 5-3 ≤BE≤5+3 . 【详解】 （1）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 1 中， ∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD， ∠ACB=∠ACD=90°， 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠EBC=∠CAD 2 2 2 2 AC BC ACD BCE CD CE  ∠ ∠  ＝ ＝ ＝延长 BE 交 AD 于点 F， ∵BC⊥AD， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即 AD⊥BE． ∴AD=BE，AD⊥BE． 故答案为 AD=BE，AD⊥BE． （2）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O． ∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE， 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE， ∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH=90°， AC BC ACD BCE CD CE  ∠ ∠  ＝ ＝ ＝∴∠OHB=90°， ∴AD⊥BE， ∴AD=BE，AD⊥BE． （3）如图 3 中，作 AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP， ∴PC=BE， 图 3-1 中，当 P、E、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-3 ， 图 3-2 中，当 P、E、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+3 ， ∴5-3 ≤BE≤5+3 ， 即 5-3 ≤PC≤5+3 ． 2 2 2 2 2 2【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思 想思考问题，属于中考压轴题． 【变式 3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 A(-4，4)， B(-1，1)，C(-1，4)． (1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1． (2)将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2． (3)求线段 AB 在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留 π) 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3) π. 【解析】 【分析】 (1)根据关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标，然后描点即可； 9 2(2)利用网格特点和旋转的性质画出 A、C 的对应点 A2、C2 即可； (3)线段 AB 在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：(1)如图，△AlB1C1 为所作. (2)如图，△A2BC2 为所作； (3)AB= =3 ， 所以线段 AB 在旋转过程中扫过的图形面积= = π． 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可 以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考 查了扇形面积公式． 【变式 3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在 中， ， ，D 是 BC 的中 点． 小明对图①进行了如下探究：在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB．将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转 ， 点 B 的对应点是点 E，连接 BE，得到 ．小明发现，随着点 P 在线段 AD 上位置的变化，点 E 的位置也 在变化，点 E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在直线 AD 的右侧．请你帮助小明继续探 2 23 3+ 2 290 π (3 2) 360 ⋅ ⋅ 9 2 ABC∆ 3AB AC= = 100BAC °∠ = 80° BPE∆究，并解答下列问题： （1）当点 E 在直线 AD 上时，如图②所示． ① ；②连接 CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是 ． （2）请在图③中画出 ，使点 E 在直线 AD 的右侧，连接 CE．试判断直线 CE 与直线 AB 的位置关系， 并说明理由． （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值． 【答案】（1）①50 ；② ；（2） ；（3）AE 的最小值 ． 【解析】 【分析】 （1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明 ， ，推出 即可． （2）如图③中，以 P 为圆心，PB 为半径作⊙P．利用圆周角定理证明 即可解决问 题． （3）因为点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动，所以当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小， 此时 AE 的最小值 ． 【详解】 （1）①如图②中， ∵ ， ， ∴ ， ②结论： ． 理由：∵ ， ， ∴ ， BEP∠ = BPE∆ ° EC AB∥ AB EC∥ 3 40ABC °∠ = 40ECB °∠ = ABC ECB∠ = ∠ 1 402BCE BPE °∠ = ∠ = 3AB= = 80BPE °∠ = PB PE= 50PEB PBE °∠ = ∠ = AB EC∥ AB AC= BD DC= AD BC⊥∴ ， ∴ ， ∵AE 垂直平分线段 BC， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为 50， ． （2）如图③中，以 P 为圆心，PB 为半径作⊙P． ∵AD 垂直平分线段 BC， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （3）如图④中，作 于 H， 90BDE °∠ = 90 50 40EBD ° ° °∠ = − = EB EC= 40ECB EBC °∠ = ∠ = AB AC= 100BAC °∠ = 40ABC ACB °∠ = ∠ = ABC ECB∠ = ∠ AB EC∥ AB EC∥ PB PC= 1 402BCE BPE °∠ = ∠ = 40ABC °∠ = AB EC∥ AH CE⊥∵点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动， ∴当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小，此时 AE 的最小值 ． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 【考点 4】位似变换问题 【例 4】（2019·广西中考真题）如图， 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，若点 ， ， 则 的面积为__． 【答案】18． 【解析】 【分析】 根据 ， 的坐标得到位似比，继而得到 A、C 对应点的坐标，再用 所在的矩形的 面积减去顶点处的三角形面积即可求得答案. 3AB= = ABC∆ ' ' 'A B C∆ O ( ) ( )2,2 , 3,4A B ( )6,1C ( )' 6,8B ' ' 'A B C∆ ( )3,4B ( )' 6,8B ' ' 'A B C∆【详解】 ∵ 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形， 若点 ， ， ∴位似比为： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为： ， 故答案为：18． 【点睛】 本题考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式 4-1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．以原点 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到 ，则点 的对应点 的坐标是__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】 根据位似图形的中心和位似比例即可得到点 A 的对应点 C. 【详解】 解：以原点 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 或 ，即 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】 本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 【变式 4-2】（2018·四川中考真题）如图， 在方格纸中. ABC∆ ' ' 'A B C∆ O ( )3,4B ( )' 6,8B 3 1=6 2 ( )2,2A ( )6,1C ( ) ( )' 4,4 , ' 12,2A C ' ' 'A B C∆ 1 1 16 8 2 4 6 6 2 8 182 2 2 × − × × − × × − × × = ABO ( ) ( ) ( )2,4 , 4,0 , 0,0A B O− − O 1 2 CDO A C ( )1,2− ( )1, 2− O 1 2 A ( )2,4− C 1 12 ,2 2( 4 )− × × 1 12 ,2 2( 4 )× − × ( )1,2− ( )1, 2− ( )1,2− ( )1, 2− ABC∆（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 ， ，并求出 点坐标； （2）以原点 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将 放大，画出放大后的图形 ； （3）计算 的面积 . 【答案】（1）作图见解析； .（2）作图见解析；（3）16. 【解析】 分析：（1）直接利用 A，C 点坐标得出原点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'； （3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可． 详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）； （2）如图：△A'B'C'即为所求； （3）S△A'B'C'= ×4×8=16． 点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的 一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关 键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 一、单选题 (2,3)A (6,2)C B O ABC∆ ' ' 'A B C∆ ' ' 'A B C∆ S (2,1)B 1 21．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 y 轴对称，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据点关于 y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案. 【详解】 A，B 关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选 B 【点睛】 本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称. 2．（2019·辽宁中考真题）如图，点 P（8，6）在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将△ABC 缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为（　　） A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4） 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于 k 或−k，进而结合已知得出答案． 【详解】 ∵点 P（8，6）在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的 ，得到 △A′B′C′， ∴点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为：（4，3）． 故选：A． 【点睛】 ( ), 2A m ( )3,b n 3m = 2n = 3m = − 2n = 2m = 3n = 2m = − 3n = 1 2 1 2此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 3．（2019·湖南中考真题）如图，将 绕点 逆时针旋转 70°到 的位置，若 ， 则 （　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据旋转角定义可以知道 ，而 ，然后根据图形即可求出 ． 【详解】 解：∵ 绕点 逆时针旋转 70°到 的位置， ∴ ， 而 ， ∴ 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. OAB∆ O OCD∆ 40AOB∠ =  AOD∠ = 70BOD∠ =  40AOB∠ =  AOD∠ OAB∆ O OCD∆ 70BOD °∠ = 40AOB °∠ = 70 40 30AOD∠ = − =  【详解】 A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180°后，能与原图形 重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A(1,2)，B(3,3)．作菱形 OABC 关于 y 轴的对称图形 OA′B′C′，再作图形 OA′B′C′关于点 O 的中心对称图形 OA″B″C″，则点 C 的 对应点 C″的坐标是（ ） A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1) 【答案】A 【解析】 【分析】 先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可. 【详解】 如图，. 故选 A. 【点睛】 本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心 对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经 过对称中心，并且被对称中心平分. 6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度后得到的点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直角坐标系的坐标平移即可求解. 【详解】 一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加 4，故选 A 【点睛】 此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点. 7．（2019·湖南中考真题）点 关于原点的对称点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 ( )'' 2 1C −， ( )2,3− 4 ( )2,3 ( )6,3− ( )2,7− ( )2, 1− − ( 1, 2)− ( 1, 2)- - (1, 2)− (1, 2) (2, 1)−坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反 数． 【详解】 根据中心对称的性质，得点 关于原点的对称点的坐标为 ． 故选 B． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 8．（2019·湖南中考真题）如图，以点 O 为位似中心，把 放大为原图形的 2 倍得到 ，以下 说法中错误的是（ ） A． B．点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】 ∵以点 O 为位似中心，把 放大为原图形的 2 倍得到 ， ∴ ，点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上， ， ， ∴C 选项错误，符合题意． 故选 C． 【点睛】 此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键． 9．（2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 ( ),P x y ( ),x y− − ( )1,2− ( )1, 2− ABC A'B'C' ABC A'B'C' ∽ AO : AA' 1: 2= AB A'B' ABC A'B'C' ABC A'B'C' ∽ AB A'B' AO : AA' 1:3=B．将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则 CD 的长度是（　　） A．2 B．1 C．4 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质结合 A 点坐标可直接得出点 C 的坐标，即可得出答案． 【详解】∵点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图 形的 ，得到△COD， ∴C（1，2），则 CD 的长度是 2， 故选 A． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关 键． 10．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到 ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 D，则 k 的值是 （　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】 【分析】 作 轴于 证明 ≌ ，推出 ， ，求出点 坐标，再利 1 2 5 1 2 A B C′ ′ ′∆ ky x = A B′ 'A H y⊥ .H AOB ( )'BHA AAS OA BH= 'OB A H= 'A用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题． 【详解】 解：作 轴于 ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化 旋转等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． A H y′ ⊥ H 90AOB A HB ABA∠ = ∠ ′ = ∠ ′ = ° 90ABO A BH∠ + ∠ ′ = ° 90ABO BAO∠ + ∠ = ° BAO A BH∠ = ∠ ′ BA BA= ′ ( )AOB BHA AAS′ ≌ OA BH= OB A H= ′ A ( )2,0− B ( )0,6 2OA = 6OB = 2BH OA= = 6A H OB′ = = 4OH = ( )6,4A′ BD A D= ′ ( )3,5D ky x = D 15k = -11．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这 条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形， 是其中 4 个小正方形 的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部 分，则剪痕的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得 EM=DN，利用勾股定理即可求得． 【详解】 如图， 为剪痕，过点 作 于 . ∵ 将该图形分成了面积相等的两部分， ∴ 经过正方形 对角线的交点， ∴ . 易证 ， ∴ ， 而 ， ∴ . 在 中， . 故选：D. 【点睛】 本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． P P 2 2 5 3 5 2 10 EF F FG EM⊥ G EF EF ABCD ,AF CN BF DN= = PME PDN∆ ∆≌ EM DN= AF MG= 1EG EM MG DN AF DN CN DC= + = + = + = = Rt FGE∆ 2 2 2 23 1 10FG EGEF + = + ==12．（2019·湖北中考真题）如图，矩形 中， 与 相交于点 ， ，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，连接 交 于点 ，且 ，在 边上有一点 ，使得 的值最小，此时 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设 BD 与 AF 交于点 M．设 AB=a，AD= a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE 都是等边三角形，利用折叠 的性质得到 BM 垂直平分 AF，BF=AB=a，DF=DA= a．解直角△BGM，求出 BM，再表示 DM，由 △ADM∽△GBM，求出 a=2 ，再证明 CF=CD=2 ．作 B 点关于 AD 的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E 与 AD 交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出 B（3，2 ），B′（3，-2 ），E （0， ），利用待定系数法求出直线B′E 的解析式，得到 H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出 BH=4，进而求出 = ． 【详解】 如图，设 BD 与 AF 交于点 M．设 AB=a，AD= a， ABCD AC BD E : 3 :1AD AB = ABD△ BD A F AF BC G 2BG = AD H BH EH+ BH CF = 3 2 2 3 3 6 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 4 2 3 BH CF = 2 3 3 3∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，tan∠ABD= ， ∴BD=AC= =2a，∠ABD=60°， ∴△ABE、△CDE 都是等边三角形， ∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a， ∵将△ABD 沿 BD 折叠，点 A 的对应点为 F， ∴BM 垂直平分 AF，BF=AB=a，DF=DA= a， 在△BGM 中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2， ∴GM= BG=1，BM= GM= ， ∴DM=BD-BM=2a- ， ∵矩形 ABCD 中，BC∥AD， ∴△ADM∽△GBM， ∴ ，即 ， ∴a=2 ， ∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2 ，AD=BC=6，BD=AC=4 ， 易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°， ∴△ADF 是等边三角形， ∵AC 平分∠DAF， 3 1 AD AB = 2 2AB AD+ 3 1 2 3 3 3 AD DM BG BM = 3 2 3 2 3 a a −= 3 3 3∴AC 垂直平分 DF， ∴CF=CD=2 ， 作 B 点关于 AD 的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E 与 AD 交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，值最小． 如图，建立平面直角坐标系， 则 A（3，0），B（3，2 ），B′（3，-2 ），E（0， ）， 易求直线 B′E 的解析式为 y=- x+ ， ∴H（1，0）， ∴BH= =4， ∴ = ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形 的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较 强，有一定难度．分别求出 BH、CF 的长是解题的关键． 13．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 ，那么点 的 坐标是( ) 3 3 3 3 3 3 2 2(3 1) (2 3 0)− + − 4 2 3 BH CF = 2 3 3 45° 1 1 1OA B C 2019 2019 2019OA B C 2019AA． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据旋转的性质分别求出点 A1、A2、A3、…的坐标，继而发现 8 次为一个循环，用 2019 除以 8，看余数即 可求得答案. 【详解】 四边形 OABC 是正方形，且 ， ， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 后得到正方形 ， ∴点 A1 的横坐标为 1 ，点 A1 的纵坐标为 1 ， ， 继续旋转则 ， ，A4(0，-1)，A5 ，A6(-1，0)，A7 ， A8(0，1)，A9 ，……， 发现是 8 次一循环，所以 …余 3， 点 的坐标为 ， 故选 A． 2 2,2 2  −    (1,0) 2 2,2 2  − −    (0, 1)−  OA 1= ( )A 0,1∴  45° 1 1 1OA B C 2sin 45 2 × ° = 2cos45 2 × ° = 1 2 2A ,2 2  ∴     ( )2A 1,0 3 2 2A ,2 2  −    2 2,2 2  − −    2 2,2 2  −    2 2,2 2       2019 8 252÷ = ∴ 2019A 2 2,2 2  −   【点睛】 本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关 键. 14．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点 A 逆时针旋转 α(0