2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）专题04 函数图像（解析版）

专题 04 函数图像 【母题来源一】【2020 年高考浙江卷】函数 y=xcosx+sinx 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【分析】 首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】 因为 ，则 ， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项 CD 错误； 且 时， ，据此可知选项 B 错误. 故选：A. 【名师点睛】 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象 的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函 数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． x π= ( ) cos sinf x x x x= + ( ) ( )cos sinf x x x x f x− = − − = − x π= cos sin 0y π π π π= + = − 1a ≠ 0 1a< < xy a= (0,1) 1 xy a = (0,1) 1log ( )2ay x= + 1( ,0)2 1a > xy a= (0,1) 1 xy a = (0,1) 1log ( )2ay x= + 1( ,02 ） a | |2 sin 2xy x=C． D． 【答案】D 【解析】令 ， 因为 ， 所以函数 为奇函数，排除选项 A，B； 因为 时， ，所以排除选项 C， 故选 D． 【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择．有关函数图象的识别 问题的常见题型及解题思路： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性． 【命题意图】 （1）考查函数图象的辨识与变换； （2）考查函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）考查运用数形结合思想分析与解决问题的能力． 【命题规律】 高考对函数图象的考查形式多样，命题角度主要有： （1）函数图象的变换； （2）函数图象的识别，即由函数的性质及解析式选择图象； | |( ) 2 sin 2xf x y x= = | | | |, ( ) 2 sin2( ) 2 sin2 ( )x xx f x x x f x−∈ − = − = − = −R | |( ) 2 sin 2xf x x= π( ,π)2x∈ ( ) 0f x < π( ,π)2（3）函数图象的应用，即由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、利用数形结合解决问题等，其重 点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现． 【答题模板】 解答此类题目，一般考虑如下四步： 第一步：确定图象的范围．即根据解析式，确定函数的定义域、值域，以确定图象的大体位置； 第二步：研究图象的对称性．根据函数的奇偶性，确定图象的对称性； 第三步：研究图象的变化趋势．根据函数单调性定义或导数，研究函数的单调性，明确图象的变化趋势． 第四步：研究图象上的特殊点．根据函数解析式，计算函数值，函数的特征点，排除不合要求的图象． 【方法总结】 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 图象关于 轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数 图象关于原点对称 判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ， 则函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法 ( )f x x ( ) ( )f x f x− = ( )f x y ( )f x x ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )f x− ( )f x ( ) 0( )f x f x− − = ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x − = ≠ ( )f x ( ) 0( )f x f x− + = ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x − = − ≠ ( )f x x−（2）图象法 （3）性质法 利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范 围相应地化简解析式，判断 与 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 3．函数单调性的定义 设 ， ． 若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数； 若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数． 4．判断函数单调性的方法 （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据 所给抽象关系式的特点，对 或 进行适当变形，进而比较出 与 的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简 单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． ( )f x ( )f x− 1 2, [ , ]x x a b∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x− >− 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− ( )f x [ ],a b ( ) ( )1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x− − < 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − 0b c− < 3 2 0a b c− + < ( )y f x= ( ) ( )2 2 x ax a b x b cf x e − + − + −′ = ( )y f x= ( )1f ′ − ( )1f ′ ( )0f ′ ( ) 2 x ax bx cf x e + += ( ) ( )2 2 x ax a b x b cf x e − + − + −′∴ =令 ， 由图象可知，函数 先减后增再减，则 ，可得 ，A 选项错误； ，则 ，则 ，D 选项错误； ，则 ，B 选项正确； ，则 ，C 选项错误. 故选：B． 【名师点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，解答的关键在于利用导数符号与函数单调性 之间的关系解题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 2．【浙江省宁波市鄞州中学 2020 届高三下学期高考冲刺考试数学试题】函数 的图象大 致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性排除 A，B,再利用函数值正负判断 C 即可 【详解】函数 ，定义域为 关于原点对称，又 ，故函数为 奇函数，当 时， 故选：C 【名师点睛】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，一般从定义域， 奇偶性及函数值正负几方面考虑，属于简单题 ( ) ( )2 2g x ax a b x b c= − + − + − ( )y f x= 0a− < 0a > ( )1 0f ′ − < ( )1 3 2 0g a b c− = − + − < 3 2 0a b c− + > ( )1 0f ′ > ( )1 0g a c= − > ( )0 0f ′ > ( )0 0g b c= − > 1( ) ( )lnf x x xx = + 1( ) ( )lnf x x xx = + { }0x x ≠ ( ) ( )f x f x− = − 1x > ( ) 0f x >3 ．【浙 江 省 名 校 新 高 考 研 究 联 盟 (Z20 联 盟 )2020 届 高 三 下 学 期 第 三 次 联 考 数 学 试 题 】 函 数 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】先判断出 为奇函数,从而排除 C，D 选项，再当 时， ，则 可得 ，则可判断出 ，从而排除 A，得出答案. 【详解】由 可得 ，所以 为奇函数,从而排除 C，D 选项. 又当 时， ，则可得 又 为减函数，所以 ， 即当 时， ，从而排除 A． 故选：B 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查三角函数值的大小比较，考查指数函数的单调性，函数图像的 识别，属于中档题. 4．【浙江省杭州市两校 2020 届高三下学期第二次联考数学试题】函数 的图像可能是（ ） ( ) sin( ) cos( )4 41 1( ) ( )2 2 x x f x π π+ += − ( )f x 0 4x π< < 4 4 2x π π π< + < sin cos4 4x x π π   + > +       ( ) 0f x < ( ) ( ) ( )2 2sin( ) cos( ) sin cos cos sin4 4 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2=x x x x x x f x π π+ + + −= − − ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin x cos sin2 21 1( ) ( )2 2 x x x f fx x − +− = − = − ( )f x 0 4x π< < 4 4 2x π π π< + < sin cos4 4x x π π   + > +       1 2 x y  =    sin( ) cos( )4 41 1( ) ( )2 2 x x π π+ +< 0 4x π< < ( ) 0f x < ( ) ( ) ( )2 1 sin 2 ,f x x x xπ π= + −  A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除 A、B 选项，再由函数在 上的符号即可判断. 【详解】 ， 是奇函数，排除 A、B 选项； 当 时， ， ，所以 ，排除 C 选 D． 故选：D 【名师点睛】本题考查函数图象的判别，利用函数的奇偶性、周期性及单调性进行选项排除，属于基础题. 5．【浙江省温州市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性测试数学试题】定义在 R 上的函数 的导函数为 ，且 ，则 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】先分析 的图象，根据单调性确定导数值的符号，再根据 ，确定 的符号，核对图象看是否符合, 对选项逐一分析可得答案. 【详解】由 ，则 ，对选项逐一分析， 对 A： ，故 时， ，而图中 ，A 错误； ,2 π π     ( ) ( ) ( )2 1 sin 2f x x x f x− = − + = − ( )f x\ ,2x π π ∈   ( )2 ,2x π π∈ sin2 [ 1,0)x∈ − ( ) ( )2 1 sin 2 0f x x x= + < ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 0xf x xf′ + = ( )f x 0x < ( ) ( )f x xf x′ = − ( )f x ( ) ( ) 0xf x xf′ + = ( ) ( )f x xf x′ = − ( ) 0f x′ < 0x < ( ) 0f x < ( ) 0f x >对 B：当 时， ，故 ，而图中 ，B 错误； 对 C：当 时， ，故 ，而图中有部分 ，C 错误； 对 D: 当 时， ，故 符合，当 时， ，故 符合，D 正确. 故选：D 【名师点睛】本题考查了函数单调性与导数值符号的关系，根据单调性确定导数值符号，从而确定函数值 的符号是解决问题的关键. 6．【2020 年浙江省名校高考仿真训练卷（一）】函数 的大致图象是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和利用导数得出其单调性，即可得出答案. 【详解】函数 的定义域为 ，所以函数 为偶函数，函数图象关 于 轴对称，排除 A，D； ，令 ， ，故函数 在 上单调递增 由 可知，当 时， ，函数 单调递增，排除 B，只有 C 选项中的图象符合. 故选：C 【名师点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的图象可以从定义域、值域、增减性、奇偶性、图象 经过的特殊点等方面判断，属于中档题. 7．【浙江省稽阳联谊学校 2020 届高三下学期 5 月联考数学试题】已知函数 f（x）=ax+b 的图象如图所示， 0x < ( ) 0f x′ < ( ) 0f x < ( ) 0f x > 0x < ( ) 0f x′ > ( ) 0f x > ( ) 0f x < 0x < ( ) 0f x′ > ( ) 0f x > 0x > ( ) 0f x′ < ( ) 0f x > ( )f x 21( ) cos2f x x x= + 21( ) cos2f x x x= + R 21( ) ( )2f x x− = − 21cos( ) cos ( )2x x x f x+ − = + = 21( ) cos2f x x x= + y ( ) sinf x x x′ = − ( ) sing x x x= − ( ) 1 cos 0g x x′ = − ≥ ( )g x R (0) 0 sin 0 0g = − = 0x > ( ) sin 0f x x x′ = − > 21( ) cos2f x x x= +则函数 h(x)=loga(﹣x+b) 的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】先由一次函数的图象得 0＜a＜1，﹣1＜b＜0，结合对数函数的单调性可排除 B、C，结合 h(0) 无意义可排除 A，即可得解. 【详解】由函数 f (x)=ax+b 的图象可知，0＜a＜1，﹣1＜b＜0， 所以函数 y=logax 单调递减，所以函数 h(x)=loga(﹣x+b)单调递增，故排除 B、C； 因为﹣1＜b＜0，所以 h(0)=logab 无意义，可排除 A． 故选：D． 【名师点睛】本题考查了对数函数图象的识别，考查了对数函数性质的应用，属于基础题. 8．【2020 届浙江省杭州市上学期高三年级期末教学质量检测（一模)数学试题】下列不可能是函数 的图象的是( ) A． B． ( ) ( )( )2 2a x xx a Zf x −= + ∈C． D． 【答案】C 【解析】【分析】对 取特殊值，代入分析函数 的定义域、奇偶性以及单调性，利用排除法即可得答案. 【详解】当 时， ，偶函数，在 上单调递增，图像如选项 A 所示； 当 时， ，奇函数， ，在 上，当 时， ， ，此时 ，当 时， ，此时 ，故 先减后增，图像如选项 B 所示； 当 时， ，为偶函数， ，同样 在 上先减后增，图像如选项 D 所示， 故选：C． 【名师点睛】本题考查函数图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，是中档题. 9．【广西贵港市 2020 届高三毕业班第四次高考模拟理科数学试题】如图，点 P 在以 为直径的半圆 弧上，点 P 沿着 BA 运动，记 ．将点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 ，则 的图象大致为（ ） A． B． a ( )f x 0a = ( ) ( )( )2 2 0x xf x x−= + ≠ ( )0, ∞+ 1a = − ( ) ( )2 2 0 x x xf x x −+= ≠ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ln 2 2 ' 2 0 x x x x f x x xx − −− − + = ≠ ( )0, ∞+ 0x → ( )2 2 ln 2 0x x x−− → ( )2 2x x−+ → +∞ ( )' 0f x < x → +∞ ( ) ( )2 2 ln 2 2 2 2 ln 2 2x x x x x xx x− −− − + → − ( )' 0f x > ( )f x 2a = − ( ) ( )2 2 2 0 x x xf x x −+= ≠ ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 ln 2 2 ' 2 0 x x x x f x x xx − −− − + = ≠ ( )f x ( )0, ∞+ 2AB = BAP x∠ = ( )f x ( )y f x=C． D． 【答案】D 【解析】【分析】由题意可知 ，进而可得 ， 再根据三角函数的性质，即可得到答案. 【详解】由题意可知， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 . 所以函数 图象大致为 D． 故选：D． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题属于中档 题． 10．【贵州省普通高等学校招生 2019-2020 学年高三适应性测试理科数学试题】函数 的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B cos , 2 n2 siPA PBx x= = ( ) 2 2 sin( ) 04 2y f x x x π π = = + ∈  ， ， cos , 2 n2 siPA PBx x= = 2 2 2 2 sin( ) 04 2cos sinPA PB xx x x π π  + = + = + ∈     ， ， ( ) 2 2 sin( ) 04 2y f x x x π π = = + ∈  ， ， 3 4 4 4x π π π + ∈  ， 2 2 sin( ) 2,2 24x π  + ∈  ( )y f x= ( )( ) 2 2 sin cosx xf x x x−= −【解析】【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果. 【详解】因为 ，所以 是偶函数，排除选项 A； 当 ，排除选项 D； 当 ，排除选项 C； 故选：B． 【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方 法，侧重考查直观想象的核心素养. ( ) ( ) ( )( ) 2 2 sin cos ( )x xf x x x f x−− = − − − = ( )f x (0, ), ( ) 02x f x π∈ > ( , ), ( ) 02x f x 3π∈ π >