2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）专题05 三视图（解析版）

专题 05 三视图 【母题来源一】【2020 年高考浙江卷】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单 位：cm3）是（ ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为 1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2， 所以几何体的体积为： . 故选：A 【名师点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题. 7 3 14 3 1 1 1 1 72 1 1 2 1 2 23 2 2 3 3    × × × × + × × × = + =      【母题来源二】【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不 容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的 高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的， 其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3， 则该棱柱的体积为 . 故选 B. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积， 常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还 原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 【母题来源三】【2018 年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm3）是 A．2 B．4 侧视图 俯视图 正视图 2 211 2 6 4 6( 3 3) 6 1622 2 + +× + × × =C．6 D．8 【答案】C 【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形， 上、下底分别为 1，2，梯形的高为 2， 因此几何体的体积为 ， 故选 C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 【命题意图】 能够识别三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，进而求出该几何体的 表面积或体积． 【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，多为低档题，常见的命题角度：根据几何体的 三视图，求该几何体的表面积或体积，熟练掌握三视图还原为直观图的方法（应牢记：长对正，宽相等， 高平齐）及空间几何体的表面积与体积公式是关键． 【答题模板】 三视图问题的常见类型及解题策略： （1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结 合空间想象将三视图还原为实物图． （2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不 能看到的部分用虚线表示． （3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形 式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分 三视图是否符合. （4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成， 并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后 求出组合体的体积． 【方法总结】 1 (1 2) 2 2 62 × + × × =1．线条的规则 （1）能看见的轮廓线用实线表示； （2）不能看见的轮廓线用虚线表示. 2．常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画 法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′轴， 两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴使∠xOz=90°，且∠ yOz=90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确 定的平面表示水平平面. ③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段， 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为 ，即原图面积是直观图面积的 倍， ②直观图面积是原图面积的 倍. 4．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆锥（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆台（上、下底面半径分别为 r′，r，母线长为 l） 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 5．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 6．球的表面积和体积公式 设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其表面积公式为 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 . 2 2S S =′ 2 2 1 2= 42 2 2π底S r= 2π底S r= 2 2,π π上底 下底S r S r= ′ = 2π侧S rl= π侧S rl= ( )π侧S l r r= ′+ ( )2π表S r r l= + ( )π表S r r l= + ( )2 2π表S r r r l rl= ′ + + ′ + 24πR 34 π3 R7．球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为 ，则正方体的内切球半径是 ；正方体的外接球半径是 ；与正方体所 有棱相切的球的半径是 ． （2）若长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则长方体的外接球半径是 ． （3）若正四面体的棱长为 ，则正四面体的内切球半径是 ；正四面体的外接球半径是 ；与 正四面体所有棱相切的球的半径是 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 8．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 (S 为底面面积，h 为高)， (r 为底面半径，h 为高) 锥体 (S 为底面面积，h 为高)， (r 为底面半径，h 为高) 台体 (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)， (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高) 9．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 a 1 2 a 3 2 a 2 2 a a b h 2 2 21 2 a b h+ + a 6 12 a 6 4 a 2 4 a 柱体V Sh= 2π圆柱V r h= 1 3锥体V Sh= 21 3 π圆锥V r h= (1 3 )台体V S S S S h= ′+ ′ + ( )2 2 3 π1 圆台V h r r r r= ′ + ′ +10．必记结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 1．【浙江省杭州市高级中学 2020 届高三下学期仿真模拟考试数学试题】如图，在矩形 中， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所得三棱锥 正视图和俯视图如图，则三 棱锥 侧视图的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，并求得侧视图面 积. 【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面 平面 . 过 作 交 于 ，过 作 交 于 .根据面面垂直的性质定理可知 平面 ， 平面 .则 . ABCD =2 =3AB BC， BD ABCD AC A BCD− A BCD− 6 13 18 13 2 13 3 13 ABD ⊥ BCD A AE BD⊥ BD E C CF BD⊥ BD F AE ⊥ BCD CF ⊥ ABD AE CF⊥由于四边形 是矩形， ，所以三棱锥 的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如 下图所示，其中两条直角边的长度分别等于 ， 由于 ，所以 ， 则 . 所以侧视图的面积为 . 故选：B 【名师点睛】本小题主要考查求几何体的侧视图的面积，属于中档题. 2．【浙江省杭州市学军中学等五校 2020 届高三下学期联考数学试题】某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的最短的棱与最长的棱长度之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】作出几何体的直观图，计算出各条棱的棱长，由此可求得结果. 【详解】作出几何体的直观图如下图所示，由题意可知，该几何体为四棱锥 ， ABCD AE CF= A BCD− ,AE CF 2 22 3 13BD = + = 1 1 6 2 2 13 AB ADAB AD BD AE AE BD ×× × = × × ⇒ = = 6 13 AE CF= = 1 6 6 18 2 1313 13 × × = 2 2 2 3 2 4 1 3 P ABCD−且平面 平面 ，过点 在平面 内作 ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 由三视图中的数据可得 ， ， ， ， ， 由勾股定理可得 ，同理可得 ， ， ， ， ， 所以，四棱锥 最短的棱长为 ，最长的棱长为 ， 因此，该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是 . 故选：B. 【名师点睛】本题考查利用三视图计算四棱锥的棱长，根据三视图还原几何体是解答的关键，考查空间想 象能力，属于中等题. 3．【2020 届浙江省绍兴市高三下学期 4 月第一次高考模拟考试数学试题】底面是正方形且侧棱长都相等的 四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( ) A． B．8 C． D． 【答案】C PCD ⊥ ABCD P PCD PO CD⊥  PCD  ABCD CD= PO ⊂ PCD PO∴ ⊥ ABCD 1PO = 2OC = 1OD = 2AD BC= = 3AB CD= = 2 2 5PC PO OC= + = 2PD = 5OA = 2 2OB = 6PA = 3PB = P ABCD− 2PD = 3AB CD PB= = = 2 3 4 3 4 3 3 8 3【解析】【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2，求出四棱锥的 底面积和高，计算它的体积. 【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2, 画出图形，如图所示； 所以该四棱锥的底面积为 ，高为 ； 所以该四棱锥的体积是 . 故选：C. 【名师点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题． 4．【浙江省临海市、乐清市、新昌县 2020 届高三下学期选考模拟考试数学试题】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体 的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示： 22 4S = = 2 22 1 3h = − = 1 1 4 34 33 3 3V Sh= = × × = 2 4 4 2 12可知几何体为直三棱柱 中截去三棱锥 所形成， 结合三视图中的数据可知，几何体的体积为 . 故选：B. 【名师点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能 力，属于基础题. 5．【浙江省宁波市鄞州中学 2020 届高三下学期高考冲刺考试数学试题】冶铁技术在我国已有悠久的历史， 据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸 成一个铁球，则铁球的半径是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】 根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体 ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体 ，设球半径为 ，则 ， 故选：D. 1 1 1ABC A B C− 1 1 1A A B C− 2 21 1 12 3 2 3 42 3 2V = × × − × × × = 3 222 ( )π⋅ 3 22( )π 3 2 π 3 1 π ABCD ABCD R 3 31 1 4 12 2 23 2 3V R Rπ π= × × × × = ⇒ =【名师点睛】 本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别 能力，属于中档题. 6．【浙江省金丽衢十二校 2020 届高三下学期第二次联考数学试题】已知某几何体的三视图如图所示，则这 个几何体的体积为（ ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】【分析】将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案. 【详解】解：将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱， 所以 . 故选：A. 2 3 1 1 2 2 22V Sh= = × × × =【名师点睛】本题考查由三视图求体积，根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键. 7．【浙江省绍兴市诸暨市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性考试数学试题】 一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图，且高为 ， ∴该三棱锥的体积 ， 故选：C． 【名师点睛】本题主要考查由三视图还原几何体并求几何体的体积，属于基础题． 6 6 1 3 1 2 3 2 3 1 1 11 3 33 2 2V = × × × × =8．【浙江省温州市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性测试数学试题】 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图是两个同心圆，且小圆的内接四边形是正方形，则该几 何体的体积等于（ ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】由几何体的三视图可得，几何体是一圆台挖了一个内接正四棱柱，用圆台的体积减去正四 棱柱的体积即可求得答案. 【详解】圆台的体积为 ，设正四棱柱的底面边长为 ， 则 ，得 ，则正四棱柱的体积 ， 故几何体的体积为 . 故选：C 【名师点睛】本题考查了三视图的理解和圆台、正四棱柱的体积公式，还考察了空间想象能力. 9．【浙江省稽阳联谊学校 2020 届高三下学期 5 月联考数学试题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的 体积等于（ ） 3cm 112 83 π − 112 163 π − 28 83 π − 28 163 π − 1V 2 21 ( 1 2 4 ) 43 π π π π= ⋅ + ⋅ + ⋅ × 28 3 π= a 2 2a = 2a = 2 2 2 4 8V = × = 1 2V V− = 28 83 π −A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为 2，高为 4，再 由圆柱体积减去圆锥体积求解. 【详解】由三视图还原几何体如图， 该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为 2，高为 4. 则该几何体的体积 V . 故选：A. 【名师点睛】本题考查了根据三视图求体积，还原几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间 想象能力. 10．【2020 届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是( ) 32 3 π 1664 3 π− 64 16π− 16 3 π 2 21 322 4 2 43 3 ππ π= × × − × × =A．35 B．40 C． D．48 【答案】B 【解析】【分析】 由三视图还原出几何体的直观图，可知几何体为四棱柱，再利用棱柱的体积公式，结合题给数据，即可求 出几何体的体积. 【详解】 解：由题给的三视图可得，该几何体为如下图： 即为直四棱柱 ， ， ， 则底面 的面积为： ， 棱柱的高： ， 该几何体的体积为： . 故选：B. 【名师点睛】 本题考查由三视图求几何体的体积，涉及棱柱的体积公式，画出几何体的直观图是解题的关键. 11．【2020 届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积为（ ） 40 2 ABFE DCGH− 4, 1AB EF= = 4BF BC= = ABFE ( )1 4 4 102S + ×= = 4h BC= = 10 4 40V Sh= = × =A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【分析】如图所示，几何体为三棱锥和三棱柱的组合体，计算体积得到答案. 【详解】如图所示：几何体为三棱锥和三棱柱的组合体， 则 . 故选：A. 【名师点睛】本题考查了根据三视图求体积，还原几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间 想象能力. 7 6 5 4 4 3 5 3 1 2 1 1 1 71 1 2 1 1 12 3 2 6V V V= + = × × × + × × × × =12．【2020 届浙江省台州市温岭中学高三下学期 3 月模拟测试数学试题】如图，某多面体的三视图中正视图、 侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥， 底面 ，且 ，底面 为直角梯形， ， ， ， ，再由棱锥体积公式求解. 【详解】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥， 底面 ，且 ， 底面 为直角梯形， ， ， ， ， 该多面体的体积 . 故选：B. 【名师点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题. 13．【浙江省之江教育评价联盟 2019-2020 学年高三第二次联考数学试题】已知某空间几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积是（ ） 2 3 1 2 3 PA ⊥ ABCD 1PA = ABCD AB AD⊥ / /AD BC 2AB AD= = 1BC = PA ⊥ ABCD 1PA = ABCD AB AD⊥ / /AD BC 2AB AD= = 1BC = ∴ ( )1 1 1 2 2 1 13 2V = × + × × =A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 所以 . 故选：C. 【名师点睛】本题考查由三视图还原几何体之间的直观图和棱锥的体积公式，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力． 14．【浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020 届高三下学期第三次联考数学试题】某四棱锥的三视图如 图所示，则它的体积为_______，表面积为_______ 32 3 16 3 1 2 4 23V × × ×＝ 16 3 ＝【答案】 【解析】【分析】根据三视图可知，该四棱锥是底面为等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱，截去一个同底 等高的的三棱锥所得部分，其体积利用三棱柱的体积减去截去三棱锥的体积求解.表面积根据各面的形状， 利用三视图提供的数据，求得各面的面积再求和. 【详解】由三视图可知，该四棱锥是底面为等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱，截去一个同底等高的的 三棱锥所得部分，如图所示： 所以该四棱锥 P-ABCD 的体积为： ， 在矩形 ABCD 中，AB=2，BC= ，所以 S 矩形 ABCD= ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ， 所以 ， 所以该四棱锥 P-ABCD 表面积为： S= S 矩形 ABCD ， 故答案为：① ；② 【名师点睛】本题主要考查三视图的应用求几何体的体积和表面积，还考查了空间想象和运算求解的能力， 属于中档题. 15．【浙江省杭州市两校 2020 届高三下学期第二次联考数学试题】某几何体的三视图如图所示，则其体积 为________，外接球的表面积为________ 2 3 4 2 2+ 1 1 1 21 1 2 1 1 22 3 2 3V = × × × − × × × × = 2 2 2AB BC× = Rt PDC 1, 2PC DC= = 1 12Rt PDCS PC DC= × =  Rt PAB 1, 2PB AB= = 1 12Rt PABCS PB AB= × =  Rt PBC 1, 1PB PC= = 1 1 2 2Rt PABCS PB PC= × =  PAD△ 2 2 2 25, 5, 2PA PB AB PD PC DC AD= + = = + = = 2 21 1 3 2 2 2PADS AD PD AD = × − =   Rt PDCS+ +  Rt PABCS +  Rt PABCS +  4 2 2PADS = +  2 3 4 2 2+【答案】 【解析】【分析】 根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥，把它放在棱长为 2 的正方体中，即可求得结果. 【详解】 根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥 ，把它放在棱长为 2 的正方体中，如图所示： 其体积为 ，其外接球与正方体的外接球相同， 所以外接球半径为 ， 所以外接球的表面积为 . 故答案为： ； . 【名师点睛】 本题考查了由三视图还原直观图，考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，属于基础题. 16．【2020 届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题一个四面体的三视图如图所示（单位 cm），则该四面体体积（单位 cm3）为______，外接球的表面积（单位 cm2）为______. 3 12π A BCD− 1 1 42 2 23 2 3 × × × × = 2 2 21 2 2 2 32R = + + = 24 12S Rπ π= = 3 12π【答案】 【解析】【分析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体 ，将其放置在长方体 中，所以几何体的体积为 . 四面体 的外接球即长方体 的外接球，外接球的直径为 ，所以外接球的表面积为 . 故答案为：（1） ；（2） . 【名师点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题. 17．【2020 届浙江省嘉兴市高三下学期 5 月教学测试数学试题】某几何体的三视图如图所示（单位： ）， 6 34π 1A BCD− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1 4 3 3 63 3 2BCDS AA∆× × = × × × × = 1A BCD− 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2 2 1 4 3 3 34AC = + + = 2 21 14 342 AC ACπ π π × = × =   6 34π cm则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有___个，该几何体的体积是___ ． 【答案】3 2 【解析】【分析】根据三视图，可知该几何体为四棱锥 ，由此可判断此几何体的所有侧面中， 直角三角形的个数，利用椎体的体积公式即可求得该几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥 ， ， 为直角三角形， 平面 ， 平面 ， ， 为直角三角形， ， 为直角三角形， ， ， ， 三边不满足勾股定理， 不是直角三角形， 所以，此几何体的所有侧面中，直角三角形共有 3 个. . 故答案为：3；2. 3cm 1D AECD− 1D AECD−  1AD D D⊥ ∴ 1ADD  AB ⊥ 1 1ADD A 1AD ⊂ 1 1ADD A ∴ 1AE AD⊥ ∴ 1ADD  1CD D D⊥ ∴ 1CDD 4 1 5CE = + = 1 4 4 2 2CD = + = 1 1 4 4 3D E = + + = 1D EC△ ∴ 1D EC△ ( ) 1 1 11 2 2 2 23 2D AECDV − = × + × × × =【名师点睛】本题考查的是由三视图还原几何体以及求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的 形状，属于基础题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐， 宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽 是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 18．【浙江省杭州市 2018 届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题】一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是________，表面积是________． 【答案】 【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几 何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的 表面积． 详解：由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为 ，表面积为 ，故答案为 和 . 【名师点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状及熟 记几何体的体积及表面积公式. 19．【2020 届浙江省金华十校高三下学期 4 月模拟考试数学试题】一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的表面积是_____，体积是_____． 14 3 π ( )6 6 13 π+ + 3 21 4 1 1 142 2 34 3 2 3 3V π π π= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ( )2 2 2 21 1 1 1 14 2 2 4 3 2 2 3 2 6 6 134 2 2 2 2S π π π π= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = + + 14 3 π ( )6 6 13 π+ +【答案】16+6 6 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，该三棱柱的底面为直角边长为 2，2 的直角三角形，高为 3， 所以该几何体的表面积为： ． 该几何体的体积为： ． 故答案为： ， ． 【名师点睛】本题考查了三视图的识别及三棱柱的体积和表面积的求解，属于基础题. 20．【2020 届浙江省温州市普通高中高三下学期 4 月高考适应性测试数学试题】某几何体的三视图如图所 示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）为________，最长棱的长度（单位： ）为________. 【答案】 【解析】【分析】根据三视图可得原几何体（如图所示），根据三视图中的数据可求三棱锥的体积及最长棱 的长度. 【详解】由三视图可得几何体如图所示： 由三视图可得 为直角三角形， ， 平面 . 边 上的高为 ， ，棱锥的高为 ， 2 12 3 2 3 2 2 3 2 2 2 16 6 22S = × + × + × + × × × = + 1 2 2 3 62V = × × × = 16 6 2+ 6故体积为 , 因为 平面 ，故 ，而 ， ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ， 因为 平面 ，故 ， 所以三棱锥最长棱为 ，且 . 故答案为：（1） ；（2） . 【名师点睛】本题考查三视图、三棱锥的体积以及最长棱的计算，复原几何体时要注意三视图中的点线的 关系与几何体中点线面的关系的对应，本题属于基础题. 21．【2020 届浙江省台州市高三下学期 4 月教学质量评估数学试题】某几何体的三视图如图所示（单位： ），则它的体积是______. 【答案】 【解析】【分析】由三视图可知，原几何体为四棱锥,根据锥体的体积公式可求出答案. 【详解】由三视图可知，原几何体为如图所示的四棱锥. 将该四棱锥补成三棱柱，则该三棱柱为正三棱柱 过点 作 交 于点 ，则由正三棱柱的性质可得 平面 则 所以 cm 9 3 2 B BO AC⊥ AC O BO ⊥ 1ACC D 3 3 2BO = 1 1 2 4 3 3 9 3= 33 3 2 2 2V Sh += × × × =故答案为： 【名师点睛】本题考查根据三视图求原几何体的体积问题，属于中档题. 9 3 2