专题 06 充分条件与必要条件
【母题来源一】【2020 年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”
是“m，n，l 两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【名师点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
【母题来源二】【2019 年高考浙江卷】若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，
则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选 A．
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值
, ,m n l
, ,m n l // //m n l , ,m n l
, ,m n l , ,m n A m l B n l C∩ = ∩ = ∩ = 2 ,m n α
,B m C nα α∈ ⊂ ∈ ⊂ 1 BC l α⊂ , ,m n l
, ,m n l , ,m n l
1 2
0, 0a > b > 2a b ab+ ≥
4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤
=1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b
4a b+ ≤ 4ab ≤法”，通过取 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果．
【母题来源三】【2018 年高考浙江卷】已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 ．
由 不能得出 与 内任一直线平行，
所以 是 的充分不必要条件．
故选 A．
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充
分条件．
（2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否
定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充分必要条件．
【命题意图】
高考对本部分内容的考查以能力为主，主要考查充 要条件的判断．
【命题规律】
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，常与函数、不等式、三角函数、向
量、立体几何、解析几何等知识点进行结合命题，难度不大．
【答题模板】
判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充分条件与必要条件、充分必要条
件的定义进行判断．
【方法总结】
1．充分条件与必要条件的概念
,a b
⊄ ⊂（1）若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；
（2）若 p⇒q 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（3）若 p q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（4） 若 p⇔q，则 p 是 q 的充分必要条件；
（5） 若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
2．充分、必要条件的判断方法
（1）命题判断法
设“若 p，则 q”为原命题，那么：
若原命题为真，逆命题为假时，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若原命题为假，逆命题为真时，则 p 是 q 的必要不充分条件；
若原命题与逆命题都为真时，则 p 是 q 的充分必要条件；
若原命题与逆命题都为假时，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
（2）集合判断法
从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，那么：
若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；
若 ，则 p 是 q 的必要不充分条件，或 q 是 p 的充分不必要条件；
若 A＝B，则 p 是 q 的充分必要条件；
若 ，且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
（3）等价转化法
利用 p⇒q 与 ，q⇒p 与 ，p⇔q 与 的等价关系．
3．根据条件求解参数范围的方法
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充分必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合
之间的关系列出关于参数的不等式（组）或（方程组）求解．
（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数
的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
/⇒
/⇒
/⇒ /⇒
①
②
③
④
①
② A B⊇
③
④ A B
q p¬ ⇒ ¬ p q¬ ⇒ ¬ q p¬ ⇔ ¬1．【浙江省绍兴市柯桥区 2020 届高三下学期 6 月高考适应性考试数学试题】已知 a， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质，进行判断即可.
【详解】解：若 ，此时 成立，而 不成立，
而 时，由不等式的性质，两边平方得， ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
【名师点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决此题的关键，属于基础题.
2．【浙江省精诚联盟 2020 届高三下学期适应性考试数学试题】已知数列 的项都是实数，则对于一切
，“数列 为递减数列”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】利用特例法证明充分性不成立；当 成立时，两边平方可得 ，则数
列 为递减数列成立，即必要性满足.
【详解】由题意可得：数列 的项都是实数，
当数列 为递减数列时，如：数列 的通项为 ，
此时 不成立，即充分性不满足；
当 成立时，有 ，
两边平方可得： 即有 ，
b R∈ 2 2a b>
| |a b>
2, 1a b= − = 2 2a b> | |a b>
| |a b> 2 2a b>
2 2a b> | |a b>
{ }na
n N +∈ { }na 1n n na a a+⋅ <
1n n na a a+⋅ < 1n na a +>
{ }na
{ }na
{ }na { }na na n= −
1n n na a a+⋅ <
1n n na a a+⋅ < 1 0n n na a a +⋅ >>
2
1n n na a a +⋅> 1n na a +>因此数列 为递减数列成立，
所以“数列 为递减数列”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
【名师点睛】本题考查了递减数列概念以及判断充分条件，必要条件，属于一般题.
3．【浙江省嘉兴市平湖市 2020 届高三下学期 5 月模拟考试数学试题】如果对于任意实数 ， 表示不
小于 的最小整数，例如 ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】通过给 取特值得到前者推不出后者，通过推导判断出后者可以推出前者，根据必要
不充分条件的定义判断出结论
【详解】由已知可得令 ，满足 ，
但 ， ， ，
而 时，必有
“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
【名师点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，说明一个命题不成立常用举反例的方法，考查利用充
分必要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件，属于基础题目.
4．【浙江省绍兴市嵊州市 2020 届高三下学期第二次适应性考试数学试题】设 ， 是空间中的两条直线，
则“ ， 是异面直线”是“ ， 不平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】根据空间两条直线的位置关系以及充分、必要条件的概念分析可得答案.
【详解】若 是异面直线，根据异面直线的定义可知 不共面，所以 不平行；
若 不平行，则 可能异面，也可能相交，
{ }na
{ }na 1n n na a a+⋅ <
x x< >
x 1.5 2< >= 1.6 1< − >= − 1x y− < x y< >=< >
x y，
1.8 0.9x y= =， 1x y− <
1.8 2< >= 0.9 1< >= x y< >≠< >
x y< >=< > 1x y− <
∴ 1x y− < x y< >=< >
a b
a b a b
,a b ,a b ,a b
,a b ,a b所以“ ， 是异面直线”是“ ， 不平行”的充分不必要条件.
故选：A
【名师点睛】本题考查了空间两条直线的位置关系，考查了充分、必要条件的概念，属于基础题.
5．【浙江省绍兴市上虞区 2020 届高三下学期第二次教学质量调测数学试题】设 ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】 ，
解得 或 ，
故“ ”推不出“ ”，
反之“ ”可得出“ ”，
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
【名师点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，同时考查了分式不等式的解法，属于基础题.
6．【浙江省临海市、乐清市、新昌县 2020 届高三下学期选考模拟考试数学试题】在 中，角 、 、
所对的边分别是 、 、 ，则“ ”是“ 为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性： ，得 ，可得 ，
则 ，即 ， ， .
所以， 为等腰三角形，即充分性成立；
a b a b
x∈R 1 1x
<
1x >
( )1 1 11 1 0 0 1 0x x xx x x
−< ⇒ − < ⇒ < ⇒ − >
1x > 0x <
1 1x
< 1x >
1x > 1 1x
<
1 1x
< 1x >
ABC A B
C a b c sin sin sin
a b c
B C A
+= + ABC
sin sin sin
a b c
B C A
+= +
a b c
b c a
+= +
2 2a ac b bc+ = +
2 2 0a b ac bc− + − = ( )( ) 0a b a b c− + + = 0a b c+ + > a b∴ =
ABC必要性：若 为等腰三角形，则 或 ，那么等式 不一定成立，即必要
性不成立.
综上所述，“ ”是“ 为等腰三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
【名师点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查推理能力，属于
中等题.
7．【浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020 届高三下学期第三次联考数学试题】已知数列 满足
， ，则“ ”是“对任意 ，都有 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】构造函数 ，利用导数分析函数的单调性，并得出当 时，
；当 时， ，利用特殊值法以及逻辑推证法，结合充分条件、必要条件
的定义判断即可.
【详解】构造函数 ，则 ，所以，函数 在 上是减函数.
则当 时， ；当 时， .
取 ，则 ， ，
所以，“ ” “对任意 ，都有 ”，
若对任意的 ， ，则 ，即 ，即 ， .
所以，“对任意 ，都有 ” “ ”.
因此，“ ”是“对任意 ，都有 ”的必要不充分条件.
故选：B.
【名师点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及导数的应用，考查推理能力，属于中等题.
8．【浙江省杭州市两校 2020 届高三下学期第二次联考数学试题】设 则 是 的
（ ）
ABC a c= b c=
sin sin sin
a b c
B C A
+= +
sin sin sin
a b c
B C A
+= + ABC
{ }na
1 sinn na a+ = *Nn∈ 1 0a ≥ *n∈N 1n na a+ ≤
( ) sinf x x x= − 0x >
( ) ( )0 0f x f< = 0x < ( ) ( )0f x f>
( ) sinf x x x= − ( ) cos 1 0f x x′ = − ≤ ( )y f x= R
0x > ( ) ( )0 0f x f< = 0x < ( ) ( )0 0f x f> =
1
3
2a
π= 2 1sin 1a a= = − 3 2 2sin sin1 1a a a= = − > − =
1 0a ≥ ⇒ *n∈N 1n na a+ ≤
*n∈N 1n na a+ ≤ 2 1a a≤ 1 1sin a a≤ ( )1 0f a ≤ 1 0a∴ ≥
*n∈N 1n na a+ ≤ ⇒ 1 0a ≥
1 0a ≥ *n∈N 1n na a+ ≤
,a R∈ “ ”1 1a − < 2 3aa 21 41m< <
,a b∈R
( )2 21 1”“ − +a b
2 2
14 3 ”“ +a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】根据 和 的几何意义分析即可得解.
【详解】 表示点 到 的距离小于等于 1 的区域，
表示椭圆 及其内部区域，椭圆右焦点坐标 ，
根据椭圆性质可得，椭圆上的点到焦点距离的最小值为 2-1=1，
所以 表示的区域被 表示的区域全覆盖.
所以已知 ，则 是 的充分不必要条件.
故选：A
【名师点睛】此题考查充分条件与必要条件的判断，关键在于熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法.
11．【浙江省温州市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性测试数学试题】已知直线 ，圆 C：
则“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案.
【详解】圆 的方程可化为 ，其圆心坐标为 ，半径为 ，
当 时，直线 ，圆心到直线的距离 ,此时，直线 与圆 相切，故充分性成立；
当直线 与圆 相切时，圆心到直线的距离 ，所以 ,故必要性不成立，
所以，“ ”是“直线 与圆 相切”的充分不必要条件．
故选：A.
【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，同时考查直线与圆的位置关系中相切关系的转化，
( )2 21 1”“ − +a b
2 2
14 3 ”“ +a b
( )2 21 1”“ − +a b ( ),a b ( )1,0
2 2
14 3 ”“ +a b
2 2
14 3
x y+ = ( )1,0
( )2 21 1”“ − +a b
2 2
14 3 ”“ +a b
,a b∈R ( )2 21 1”“ − +a b
2 2
14 3 ”“ +a b
: 0l ax by b+ − =
2 2 2 0,x y x+ − = 0a = l C
C 2 2( 1) 1x y− + = (1,0) 1r =
0a = : 1l y = 1d r= = l C
l C 2 2
| | 1a bd
a b
−= =
+ 0ab =
0a = l C属于基础题.
12．【浙江省稽阳联谊学校 2020 届高三下学期 5 月联考数学试题】设 a＞0，b＞0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】a+b≥2 可知 ，而 ，可得 a2+b2≥2.反之不成立，可以通过举
反例说明.
【详解】∵a+b≥2
所以 ，
又因为 ，
∴a2+b2≥2.，故充分.
反之不成立，例如 a ，b＝0.，故不必要.
∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.
故选：A.
【名师点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．【2020 届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题】已知 中角 、 、 所对
的边分别是 ，则“ ”是“ 为等边三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可.
【详解】当 时,满足 三边关系与 ,但 不为等边三角形.
当 为等边三角形时, 成立.
( )2
22
a b+ ≥ ( )2
2 2
2
a ba b
++ ≥
( )2
22
a b+ ≥
( )2
2 2
2
a ba b
++ ≥
3=
ABC A B C
, ,a b c 2 2 22a b c+ = ABC
5 23, 4, 2a b c= = = ABC 2 2 22a b c+ = ABC
ABC 2 2 22a b c+ =故“ ”是“ 为等边三角形”的必要不充分条件.
故选：B
【名师点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.
属于基础题.
14．【2020 届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题】若 a，b∈R.则“关于 x 的方程 有
两个不等实数根”是“a >|b|+1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】若已知关于 的方程 有两个不等实数根，由根的判别式得出 ，由于
， ，可取 ，进行验算即可判断不能推出 ，反之已知 ，则 ，
利用 ，可得出 ，则 ，可知能推出方程 有两个不等实数根，最后根
据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得出答案.
【详解】解：由题可知， ， ，
若已知关于 的方程 有两个不等实数根，
则 ，即 ，
取 时满足 ，即 ，则方程 有两个不等实数根，
但此时 ，故充分条件不成立；
反之，若已知 ，即 ，则 ，
由于 ，即 ，
所以 ，则有 ，即 ，则方程 有两个不等实数根，
故必要条件成立；
所以“关于 的方程 有两个不等实数根”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【名师点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程根和判别式的关系是解题的关键.
2 2 22a b c+ = ABC
2 0x ax b− + =
x 2 0x ax b− + = 2 4a b>
a b R∈ 0, 1a b= = − 1a b> + 1a b> + 4 4 4a b− >
( )22 0a − ≥ 2 4a b> > 0∆ 2 0x ax b− + =
a b R∈
x 2 0x ax b− + =
2 4 0a b∆ = − > 2 4a b>
0, 1a b= = − 2 4a b> > 0∆ 2 0x ax b− + =
1a b< +
1a b> + 1a b− > 4 4 4a b− >
( )22 0a − ≥ 2 4 4a a≥ −
2 4a b> 2 4a b> > 0∆ 2 0x ax b− + =
x 2 0x ax b− + = 1a b> +15 ．【2020 届浙江省台州市高三下学期 4 月教学质量评估数学试题】已知 ， ，则“ ” 是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】【分析】由函数 在 上是单调递增函数，则 可得答案.
【详解】由函数 在 上是单调递增函数，
所以
即当 时， 成立，反之当 时， 成立
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
【名师点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题.
16 ．【 2020 届 浙 江 省 杭 州 市 高 三 下 学 期 教 学 质 量 检 测 数 学 试 题 】 “ ” 是 “ 函 数
的最小值等于 2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【解析】【分析】利用绝对值三角不等式得到充分性，取 时也满足得到不必要，得到答案.
【详解】当 时， ，当 时等号成立，充分性；
当 时， ，当 时等号成立，不必要；
故选：A.
【名师点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
17．【2020 届浙江省嘉兴市高三下学期 5 月教学测试数学试题】已知 ，则“ ”是“直线
和直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
a b∈R 3 3a b<
3 3a b<
33 ，xy y x== R 3 33 3a b aa b b⇔ <
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