考点18 平面向量的概念及其线性运算-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过

考点 18 平面向量的概念及其线性运算 考点解读 平面向量也是高考的必考点，平面向量的线性运算是其中一个重要的考向，复习时，我们要重点掌握： 1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量； 向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量 或 ； 模 或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于 0 的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 表示 非零向量 的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫共线向量 与 共线可记 为 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 AB a | |AB | |a 0 e a | | a a a b λ=a b 0 =a b = −a b 0 01．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 2．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 λ，使得 .λ=b a【注】限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性． 考向一 平面向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小. 典例 1 下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．模为 0 的向量与任意向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】B 【解析】对于 A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，∴A 错误； 对于 B，模为 0 的向量为零向量，零向量和任一向量平行，∴B 正确； 对于 C，共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，∴C 错误； 对于 D，例如零向量，与它的相反向量相等，∴D 错误. 故选 B． 1．下列命题中正确的是( ) | | a a | | a aA．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 与 可能共线 D．若 ，则 一定不与 共线 考向二 向量的线性运算 平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三 角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. 典例 2 若 、 、 、 是平面内任意四点，给出下列式子： ① ，② ，③ ． 其中正确的有 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】B 【解析】① 的等价式是 = ，左边= + ，右边= + ， 不一定相等； ② 的等价式是 = ，左边=右边= ，故正确； ③ 的等价式是 = + ，左边=右边= ，故正确. 所以正确的有 2 个，故选 B． | |a b | =| a b=  a b≠  a b≠  | |a b | =| a b a b≠  a b A B C D AB CD BC DA+ = +    AC BD BC AD+ = +    AC BD DC AB− = +    AB CD BC DA+ = +    AB DA−  BC − CD AB AD BC DC AC BD BC AD+ = +    AC − AD BC − BD DC AC BD DC AB− = +    AC AB−  BD DC BC【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键． 2．在 中， ，则 =（ ） A． B． C． D． 典例 3 如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 ____________. 【答案】2 【解析】由平行四边形法则，得 ，故 λ=2. 3．如图，已知 中， 为 的中点， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 考向三 共线向量定理的应用 ABC 1 2BD DC=  AD 1 3 4 4 +AB AC  2 1+3 3AB AC  1 2+3 3AB AC  1 2 3 3AB AC−  ABCD AC BD O AB AD AOλ+ =   λ = 2AB AD AC AO+ = =    ABC∆ D AB 1 3AE AC=  DE AB BCλ µ= +   λ µ+ = 5 6 − 1 6 − 1 6 5 6共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量 a，b，若存在实数 λ，使 a=λb，则 a 与 b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使 ，则 A，B，C 三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 典例 4 已知两个非零向量 a 与 b 不共线. （1）若퐴퐵=a+b,퐵퐶=2a+8b,퐶퐷=3(a−b),求证:A,B,D 三点共线; （2）试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【解析】（1）∵퐴퐵=a+b,퐵퐶=2a+8b,퐶퐷=3(a−b), ∴퐵퐷 = 퐵퐶+퐶퐷=2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5퐴퐵, ∴퐴퐵,퐵퐷共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. （2）∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ,使得 ka+b=λ(a+kb), ∴(k−λ)a=(λk−1)b. ∵a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k−λ=λk−1=0, ∴k2−1=0, ∴k=1 或−1. 【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线. 对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出 ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一 条件,列出方程组,解出参数. 4．已知 是不共线的非零向量， ， ， ，则四边形 是 （ ） AB ACλ=  ,a b  2AB a b= +  3BC a b= −  2 3CD a b= −  ABCDA．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 1．设 是向量，“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列四式不能化简为 的是（ ） A． B． C． D． 3．已知 、 是平面向量，下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．零向量与任何非零向量都不共线 4．如图所示，在正훥퐴퐵퐶中，퐷,퐸,퐹均为所在边的中点，则以下向量和퐸퐷相等的是（ ） A．퐸퐹 B．퐵퐸 C．퐹퐵 D．퐹퐶 5．在四边形 中，若 ，则（ ） A．四边形 一定是平行四边形 B．四边形 一定是菱形 C．四边形 一定是正方形 D．四边形 一定是矩形 6．已知向量 ， 不共线， = + ， =2 -（λ-1） ，若 ∥ ，则（ ） ,a b  a a b= +   0b = AD MB AD BM+ −   ( ) ( )AD MB BC CM+ + +    ( )AB CD BC+ +   OC OA CD− +   a b 1a b= =  a b=  a b 