专题04 解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 04 解三角形 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度： （1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余 弦定理以及三角函数公式的应用； （2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问 题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注； （3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点， 考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养。 考向预测： (1)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质． (2)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形． 1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有 ( 为 的外接圆的半径). 2、正弦定理的变形公式：① ， ， ； ② ， ， ；③ ；④ . C∆ΑΒ a b c Α Β C 2sin sin sin a b c RC = = =Α Β R C∆ΑΒ 2 sina R= Α 2 sinb R= Β 2 sinc R C= sin 2 a R Α = sin 2 b R Β = sin 2 cC R = : : sin :sin :sina b c C= Α Β RSinCSinBSinA cba 2=++ ++ 必备知识3、三角形面积公式： ． 4、余弦定理：在 中，有 ， 推论： ；变形： . 【重要结论】 1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C= . （2）三角形边角不等关系： . 2、诱导公式在 中的应用 （1） ； （2） ； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状 设 a 是三角形中最长的边，则 （1）若 ，则 是锐角三角形； （2）若 ，则 是直角三角形； （3）若 ，则 是钝角三角形； 或（1）若 ,则 是锐角三角形； （2）若 ,则 是直角三角形； （3）若 ,则 是钝角三角形； 1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac∆ΑΒ = Α = = Β C∆ΑΒ 2 2 2 2 cosa b c bc= + − Α 2 2 2 cos 2 b c a bc + −Α = Abcacb cos2222 =−+ π BABABAba coscossinsin ⇔∠>∠⇔> ABC∆ ( ) ( ) CBACBACBA tan)tan(;coscos;sinsin −=+−=+=+ 2sin2cos,2cos2sin CBACBA =+=+ 0222 >−+ acb ABC∆ 0222 =−+ acb ABC∆ 0222 −+ ACB ABC∆ 0sinsinsin 222 =−+ ACB ABC∆ 0sinsinsin 222   3 2PA mPB m PC = + −      3 2PD mPB m PCλ  = + −      3 2 mmPD PB PCλ λ  −  = +   0m ≠ 3 2m ≠ , ,B D C 3 2 1 mm λ λ  −  + = 3 2 λ = 9AP = 3AD = 4AB = 3AC = 90BAC∠ = ° 5BC = CD x= CDA θ∠ = 5BD x= − BDA π θ∠ = − 2 2 2 cos 2 6 AD CD AC x AD CD θ + −= =⋅ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 5 7cos 2 6 5 xAD BD AB AD BD x π θ − −+ −− = =⋅ − ( )cos cos 0θ π θ+ − =∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0 或 . 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 ． 三、解答题 1、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T17） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求 A； （2）若 BC=3，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由正弦定理可得： ， ， ， . （2）由余弦定理得： ， 即 . ( ) ( ) 25 7 06 6 5 xx x − −+ =− 18 5x = CD 18 5 0m = 3 2PA PC=  ,C D CD 0 3 2m = 3 2PA PB=  ,B D 12PA = 18 5 ( )0PA PDλ λ= >  ABC ABC 2 3 π 3 2 3+ 2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅ 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB + −∴ = = −⋅ ( )0,A π∈ 2 3A π∴ = 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB= + − ⋅ = + + ⋅ = ( )2 9AC AB AC AB+ − ⋅ =（当且仅当 时取等号）， ， 解得： （当且仅当 时取等号）， 周长 ， 周长的最大值为 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最 大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系 求得最值. 2、（2020 新课标Ⅰ卷·文科 T18） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°. （1）若 a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若 sinA+ sinC= ，求 C. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由余弦定理可得 ， 的面积 ； （2） ， ， 2 2 AC ABAC AB + ⋅ ≤    AC AB= ( ) ( ) ( )2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB + ∴ = + − ⋅ ≥ + − = +   2 3AC AB+ ≤ AC AB= ABC∴ 3 2 3L AC AB BC= + + ≤ + ABC∴ 3 2 3+ ABC 3 7 ABC 3 2 2 3 15° 2 2 2 228 2 cos150 7b a c ac c= = + − ⋅ ° = 2, 2 3,c a ABC∴ = = ∴△ 1 sin 32S ac B= = 30A C+ = ° sin 3sin sin(30 ) 3sinA C C C∴ + = ° − + 1 3 2cos sin sin( 30 )2 2 2C C C= + = + ° =， . 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于 基础题. 3、（2020 新课标Ⅱ卷·文科 T17）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 A； （2）若 ，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】（1）因为 ，所以 ， 即 ， 解得 ，又 ， 所以 ； （2）因为 ，所以 ， 即 ①， 又 ②， 将②代入①得， ， 即 ，而 ，解得 ， 0 30 , 30 30 60C C° < < ° ∴ ° < + ° < ° 30 45 , 15C C∴ + ° = ° ∴ = ° 2 5cos ( ) cos2 4A A π + + = 3 3b c a− = 3A π= 2 5cos cos2 4A A π + + =   2 5sin cos 4A A+ = 2 51 cos cos 4A A− + = 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= 3A π= 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 2 2 2b c a bc+ − = 3 3b c a− = ( )22 2 3b c b c bc+ − − = 2 22 2 5 0b c bc+ − = b c> 2b c=所以 ， 故 ， 即 是直角三角形． 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形 状，属于基础题． 4、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T17）同（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T17）在① ， ② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值； 若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】解法一： 由 可得： ， 不妨设 ， 则： ，即 . 选择条件①的解析： 据此可得： ， ，此时 . 选择条件②的解析： 据此可得： ， 3a c= 2 2 2b a c= + ABC 3ac = sin 3c A = 3=c b c ABC , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C π= sin 3sinA B= 3a b = ( )3 , 0a m b m m= = > 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m= + − = + − × × × = c m= 23 3 3ac m m m= × = = 1m∴ = 1c m= = 2 2 2 2 2 2 2 3 1cos 2 2 2 b c a m m mA bc m + − + −= = = −则： ，此时： ，则： . 选择条件③的解析： 可得 ， ， 与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵ , ∴ , ， ∴ ,∴ ,∴ ,∴ , 若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1; 若选②， ,则 , ; 若选③,与条件 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 5、（2020 北京卷·T17）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知， 求： 21 3sin 1 2 2A  = − − =   3sin 32c A m= × = 2 3c m= = 1c m b m = = c b= 3=c b ( )3 , ,6sinA sinB C B A C π π= = = − + ( )3sin 3sin 6sinA A C A π = + = +   ( ) 3 13sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA= + = + 3sinA cosA= − 3tanA = − 2 3A π= 6B C π= = 3ac = 3 3a b c= = 23 3c = 3csinA = 3 32 c = 2 3c = 3=c b ABC 11a b+ =（Ⅰ）a 的值： （Ⅱ） 和 的面积． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） , ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） , . 【解析】选择条件①（Ⅰ） （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） sinC ABC 17,cos 7c A= = − 1 9cos ,cos8 16A B= = 3sin 2C = 6 3S = 7sin 4C = 15 7 4S = 17,cos 7c A= = − ， 11a b+ = 2 2 2 2 2 2 12 cos (11 ) 7 2(11 ) 7 ( )7a b c bc A a a a= + − ∴ = − + − − ⋅ ⋅ − 8a∴ = 21 4 3cos (0, ) sin 1 cos7 7A A A Aπ= − ∈ ∴ = − = ， 8 7 3sinsin sin sin 24 3 7 a c CA C C = ∴ = ∴ = 1 1 3sin (11 8) 8 6 32 2 2S ba C= = − × × = 1 9cos ,cos , (0, )8 16A B A B π= = ∈ ，由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 6、（2020 江苏卷·T16）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由余弦定理得 ，所以 . 由正弦定理得 . . 2 23 7 5 7sin 1 cos ,sin 1 cos8 16A A B B∴ = − = = − = 11 6sin sin 3 7 5 7 8 16 a b a a aA B −= ∴ = ∴ = 3 7 9 5 7 1 7sin sin( ) sin cos sin cos 8 16 16 8 4C A B A B B A= + = + = × + × = 1 1 7 15 7sin (11 6) 62 2 4 4S ba C= = − × × = 3, 2, 45a c B= = = ° sinC 4cos 5ADC∠ = − tan DAC∠ 5sin 5C = 2tan 11DAC∠ = 2 2 2 22 cos 9 2 2 3 2 52b a c ac B= + − = + − × × × = 5b = sin 5sinsin sin 5 c b c BCC B b = ⇒ = =（2）由于 ， ，所以 . 由于 ，所以 ，所以 . 所以 . 由于 ，所以 . 所以 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 7、（2020 天津卷·T16）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 4cos 5ADC∠ = − ,2ADC π π ∠ ∈   2 3sin 1 cos 5ADC ADC∠ = − ∠ = ,2ADC π π ∠ ∈   0, 2C π ∈   2 2 5cos 1 sin 5C C= − = ( )sin sinDAC DACπ∠ = − ∠ ( )sin ADC C= ∠ + ∠ sin cos cos sinADC C ADC C= ∠ ⋅ + ∠ ⋅ 3 2 5 4 5 2 5 5 5 5 5 25  = × + − × =   0, 2DAC π ∠ ∈   2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC∠ = − ∠ = sin 2tan cos 11 DACDAC DAC ∠∠ = =∠ ABC , ,A B C , ,a b c 2 2, 5, 13a b c= = = C sin A sin 2 4A π +  【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得 ， 又因为 ，所以 ； （Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ； （Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 ， 进而 ， 所以 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学 运算能力，是一道容易题. 8、（2020 浙江卷·T18）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ． （I）求角 B 的大小； （II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围． 4C π = 2 13sin 13A = 17 2sin 2 4 26A π + =   ABC 2 2, 5, 13a b c= = = 2 2 2 8 25 13 2cos 2 22 2 2 5 a b cC ab + − + −= = = × × (0, )C π∈ 4C π = ABC 4C π = 2 2, 13a c= = 22 2sin 2sin 13 a CA c × = = = 2 13 13 a c< A 2 13sin 13A = 2cos 1 sinA A= − = 3 13 13 212 5sin2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A= = = − = 12 2 5 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2A A A π π π+ = + = × + × = 17 2 26 2 sin 3 0b A a− =【答案】（I） ；（II） 【解析】（I）由 结合正弦定理可得： △ABC 为锐角三角形，故 . （II）结合(1)的结论有： . 由 可得： ， ， 则 ， . 即 的取值范围是 . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值 也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于 某个角的函数，利用函数思想求最值. 3B π= 3 1 3,2 2  +   2 sin 3b A a= 32sin sin 3sin , sin 2B A A B= ∴ = 3B π= 1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A π + + = + + −   1 3 1cos cos sin2 2 2A A A= − + + 3 1 1sin cos2 2 2A A= + + 1sin 6 2A π = + +   20 3 2 0 2 A A ππ π  < − 1，故 t＝x－1＋0.75 x－1＋2≥2＋ 3， 当且仅当 x＝1＋ 3 2 时取等号，此时取最小值 2＋ 3. 一、选择题 1、已知△ABC 的外接圆半径为 R，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 asinBcosC＋3 2csinC＝2 R，则△ ABC 面积的最大值为( ) A．2 5 　B．4 5　 　C．2 5 5 　 D．12 5 [解析]　∵asinBcosC＋3 2csinC＝2 R， ∴ab 2 cosC＋3 4c2＝2，可得 a2＋b2－c2 4 ＋3 4c2＝2， 即 a2＋b2＋2c2＝8，故 a2＋b2＝8－2c2， 又∵S＝1 2absinC， ∴S2＝1 4a2b2(1－cos2C)＝1 4a2b2－ (8－3c2)2 16 ≤ (a2＋b2)2 16 － (8－3c2)2 16 ＝－ 5 16c4＋c2， ∴a＝b 且 c2＝8 5时，△ABC 的面积的最大值为2 5 5 . 2、若三角形 ABC 中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 强化训练C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0， ∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A 为直角． 3．钝角三角形 ABC 的面积是1 2，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝( ) A．5 B． 5 C．2 D．1 [解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S△ABC＝1 2acsinB＝1 2· 2·1·sinB＝ 1 2， ∴sinB＝ 2 2 ，∴B＝π 4或3π 4 . 当 B＝π 4时， 经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B＝3π 4 ，根据余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得 b＝ 5，故选 B． 4．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cosA＝ 3 2 ，且 b0)米，依题设 AB＝AC－0.5 ＝(t－0.5)米， 在△ABC 中，由余弦定理得： AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°， 即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得： t＝x2－0.25 x－1 (x>1)， 即 t＝x－1＋0.75 x－1＋2， 因为 x>1，故 t＝x－1＋0.75 x－1＋2≥2＋ 3， 当且仅当 x＝1＋ 3 2 时取等号，此时取最小值 2＋ 3. 三、解答题 1、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 sin2B－C 2 ＋sinBsin＝3 4. (1)求角 A． (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． [解析]　(1)由已知，化简得1－cos(B－C) 2 ＋sinBsinC＝3 4， 1－cosBcosC－sinBsinC 2 ＋sinBsinC＝3 4， 整理得 cosBcosC－sinBsinC＝－1 2，即 cos(B＋C)＝－1 2， 由于 0