专题16 复数-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 16 复数 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 该专题考查复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的几何意义及四则运算，重点考查复数 的乘除运算。掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分 母实数化”的运用． 考向预测：单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查． 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是 a ,虚部是 b (i 是虚数单位). (2)复数的分类 (3)复数相等 a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d (a,b,c,d∈R). (4)共轭复数 a+bi 与 c+di 互为共轭复数⇔a=c 且 b=-d (a,b,c,d∈R). (5)复数的模 向量 的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作 或 ,即|z|=|a+bi| =r= (r≥0,a,b∈R). 2.复数的几何意义         ≠ =≠ = ∈+= ）非纯虚数（ ）纯虚数（）虚数（ ）实数（ ）（复数 0 00 0 , a ab b Rbabiaz OZ z bia + 22 ba + 必备知识(1)复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴、虚轴 在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 ,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数 . (3)复数的几何表示 复数 z=a+bi 复平面内的点 Z（a,b） 平面向量 . 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 (a,b,c,d∈R),则 (a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 ∈C,有 ， . (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 ∈C,有 ， ， . 【重要结论】复数运算中常用的结论： ①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i＝i；③1－i 1＋i＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)； ⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 n∈N,且 i4n+i4n＋1+i4n＋2+i4n＋3=0. 【易错警示】 OZ diczbiaz +=+= 21 , 321 ,, zzz 1221 zzzz +=+ )()( 321321 zzzzzz ++=++ 321 ,, zzz 1221 zzzz ⋅=⋅ )()( 321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅ 3121321 zzzzzzz ⋅+⋅=+⋅ ）（忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T1）若 z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】由题意可得： ，则 . 故 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. （2020 新课标Ⅰ卷·文科 T2）若 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T15）设复数 ， 满足 ， ，则 =__________. 2 ( )22 1 2z i i= + = ( )2 2 2 2 1 2z z i i− = − + = − 2 2 2 2z z− = − = 31 2i iz = + + | | =z 2 31+2 1+2 1z i i i i i= + = − = + 2 21 1 2z = + = 1z 2z 1 2| |=| |=2z z 1 2 3 iz z+ = + 1 2| |z z− 真题体验【答案】 【解析】方法一：设 ， ， ， ，又 ，所以 ， ， . 故答案为： . 方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , , 由已知 , ∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ， ∴ . 2 3 1 ,( , )z a bi a R b R= + ∈ ∈ 2 ,( , )z c di c R d R= + ∈ ∈ 1 2 ( ) 3z z a c b d i i∴ + = + + + = + 3 1 a c b d  + =∴ + = 1 2| |=| |=2z z 2 2 4a b+ = 2 2 4c d+ = 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) 4a c b d a c b d ac bd∴ + + + = + + + + + = 2ac bd∴ + = − 1 2 ( ) ( )z z a c b d i∴ − = − + − ( )2 2( ) ( ) 8 2a c b d ac bd= − + − = − + 8 4 2 3= + = 2 3 1 2z , z 1 2Z ,Z 1 2OP OZ OZ= +   1 23 1 2 OZ OZOP = + = = = 1 2OZ PZ 1 2,OPZ OPZ  1 2Z 120OZ∠ = ° 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1| | | | | | 2 | || | cos120 2 2 2 2 2 ( ) 122Z Z OZ OZ OZ OZ= + − ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ − = 1 2 1 2z 2 3z Z Z− = =【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是 一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 （2020 新课标Ⅱ卷·理科 T2）（1–i）4=（ ） A. –4 B. 4 C. –4i D. 4i 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 3、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T2）复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以复数 的虚部为 . 故选：D. 4 2 2 2 2 2(1 ) [(1 ) ] (1 2 ) ( 2 ) 4i i i i i− = − = − + = − = − 1 1 3i− 3 10 − 1 10 − 1 10 3 10 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 iz ii i i += = = +− − + 1 1 3z i = − 3 10【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. （2020 新课标Ⅲ卷·文科 T2）若 ，则 z=（ ） A. 1–i B. 1+i C. –i D. i 【答案】D 【解析】因 ，所以 . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T2） （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D 【解析】 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5、（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T2） =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 为 ( )1 1+ = −z i i 21 (1 ) 2 1 (1 )(1 ) 2 i i iz ii i i − − −= = = = −+ + − z i= 2 i 1 2i − =+ 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − (1 2 )(2 )i i+ + 4 5i+ 5i -5i 2 3i+ 2(1 2 )(2 ) 2 4 2 5i i i i i i+ + = + + + =故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 6、（2020 北京卷·T2）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 ， . 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 7、（2020 江苏卷·T2）已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____. 【答案】3 【解析】∵复数 ∴ ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 8、（2020 天津卷·T10） 是虚数单位，复数 _________． 【答案】 【解析】 . 故答案为： . z (1,2) i z⋅ = 1 2i+ 2 i− + 1 2i− 2 i− − 1 2z i= + 2iz i∴ = − i (1 i)(2 i)z = + − ( )( )1 2z i i= + − 22 2 3z i i i i= − + − = + i 8 2 i i − =+ 3 2i− ( )( ) ( )( ) 8 28 15 10 3 22 2 2 5 i ii i ii i i − −− −= = = −+ + − 3 2i−【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 9、（2020 浙江卷·T2）已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 【答案】C 【解析】因为 为实数，所以 ， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 10、【2019 年高考北京卷理数】已知复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题 ，则 ，故选 D． 11、【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得 则 ．故选 C． 12、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 z=–3+2i，则在复平面内 对应的点位于（ ） ( 1) ( 2)a a i− + − 2 0 2a a− = ∴ =， 2 iz = + z z⋅ = 3 5 3 5 2 iz = + (2 i)(2 i) 5z z⋅ = + − = =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2 1( 1)x y+ =− 22 ( 1) 1yx + − = 22 ( +1) 1yx + = i, i ( 1)i,z x y z x y= + − = + − 2 2i ( 1) 1,z x y− = + − = 2 2( 1) 1x y+ − = zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由 得 则 对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选 C． 13、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】若 ，则 z=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ．故选 D． 14、【2019 年高考天津卷理数】 是虚数单位，则 的值为______________． 【答案】 【解析】 ． 15、【2019 年高考浙江卷】复数 （ 为虚数单位），则 =______________． 【答案】 【解析】由题可得 ． 16、【2019 年高考江苏卷】已知复数 的实部为 0，其中 为虚数单位，则实数 a 的值是 ______________． 3 2i,z = − + 3 2i,z = − − 3 2iz = − − (1 i) 2iz + = 1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+ ( ) ( 2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z −= = = ++ + − i 5| i i |1 − + 13 5 i (5 i)(1 i)| | | | | 2 3i | 131 i (1 i)(1 i) − − −= = − =+ + − 1 1 iz = + i | |z 2 2 1 1 2| | |1 i | 22 z = = =+ ( 2i)(1 i)a + + i【答案】 【解析】 ，令 ，解得 ． 17、(2018·全国卷Ⅰ，1)设 z＝1－i 1＋i＋2i，则|z|＝( ) A．0　　　 B．1 2　　　　 C．1　　　 D． 2 [解析]　∵ z＝1－i 1＋i＋2i＝ 1－i2 1＋i1－i＋2i＝ －2i 2 ＋2i＝i， ∴ |z|＝1.故选 C． 18、(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i 1－2i＝( ) A．－4 5－3 5i B．－4 5＋3 5i C．－3 5－4 5i D．－3 5＋4 5i [解析]　1＋2i 1－2i＝ 1＋2i2 1－2i1＋2i＝ 1－4＋4i 1－2i2＝ －3＋4i 5 ＝－3 5＋4 5i. 故选 D． 19、(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 [解析]　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选 B． 20、(2018·北京卷，2)在复平面内，复数 1 1－i的共轭复数对应的点位于( ) 2 2( 2i)(1 i) i 2i 2i 2 ( 2)ia a a a a+ + = + + + = − + + 2 0a − = 2a =A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　 1 1－i＝1 2＋i 2，其共轭复数为1 2－i 2，对应点位于第四象限． 故选 D． 21、(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝ . [解析]　6＋7i 1＋2i＝6＋7i1－2i 1＋2i1－2i＝20－5i 5 ＝4－i. 考点 复数的概念与运算 【典例】(1)已知复数 z1＝3＋i 1－i的实部为 a，复数 z2＝i(2＋i)的虚部为 b，复数 z＝b＋ai 的共轭复数在复平面 内的对应点在( ) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [分析]　先计算 z1、z2 求出 a、b，再由共轭复数的定义求得 z － ，最后写出对应点的坐标． [解析]　z1＝3＋i 1－i＝3＋i1＋i 1－i1＋i＝1＋2i， z2＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴a＝1，b＝2，∴z＝2＋i， ∴ z － ＝2－i 在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋yi|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 高频考点、热点题型强化[解析]　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2，故选 B． (3)设 i 是虚数单位，复数 z＝ 2i 1＋i，则|z|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 [解析]　|z|＝| 2i 1＋i |＝ 2 2 ＝ 2. 【备考策略】 1．解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形 分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组． 2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题 的关键． 【类比演练】1．设复数 z 满足1＋z 1－z＝i，则|z|＝( ) A．1　　　 B． 2　　　　 C． 3　　　 D．2 [解析]　因为1＋z 1－z＝i，所以 z＝ －1＋i 1＋i ＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝i，故|z|＝1. 2．若复数 z 满足 z 1－i＝1，其中 i 为虚数单位，则 z＝( ) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i [解析]　由 z 1－i＝i，得z＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i. 3．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)[解析]　由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以Error!，解得－3