2021年中考数学一轮单元复习27相似与相似三角形

1 相似与相似三角形 一、选择题 1.若 a:b:c=3:5:7,且 3a+2b-4c=9,则 a+b+c 的值等于（ ） A.-3 B.-5　　 C.-7　　 D.-15 2.下列说法中正确的是（ ） A.两个平行四边形一定相似 B.两个菱形一定相似 C.两个矩形一定相似 D.两个等腰直角三角形一定相似 3.如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别在 AD 和 BC 上，AB∥EF∥DC，且 DE=3，DA=5，CF=4，则 FB 等于（　　） A. B. C.5 D.6 4.下列说法中正确的是（ ） A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似 5.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AE⊥EF. 下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③3CF=CD；④S△ABE=4S△ECF． 正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 7.下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是（　　）2 A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D． = 8.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别 与 AC、BC 相切于点 D、E，则 AD 为（ ） A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 9.如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，则位似中心的坐标为（ ） A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（3，3） 10.如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已 知 S△AEF=4. 则下列结论：①AF：FD=1：2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是 （　　） A.①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题 11.如图，已知：l1∥l2∥l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则 AC= . 12.若 ，则 =__________.3 13.如图，四边形木框 ABCD 在灯泡 O 发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OA：AA′=1：2，则四边形 ABCD 的面积：四边形 A′B′C′D′的面积为　 　． 14.如图，△ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2， 2）．以点 B 为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1 与△ABC 位似，且位似比为 2：1， 点 A1 的坐标是 ． 15.如图，在△ABC 中，点 E，F 分别在 AB，AC 上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件 是　　 （写出一个即可） 16.如图，Rt△AOB 中，∠AOB=90°，顶点 A，B 分别在反比例函数 y= (x＞0)与 y= (x＜0)的 图象上，则 tan∠BAO 的值为　 　． 三、作图题 17.已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网 格中，每个小正方形的边长是 1 个单位长度．4 （1）画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； （2）以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△A2B2C2 与△ABC 的位似比为 2：1，并直接写出点 A2 的坐标． 四、解答题 18.已知 = = ，且 x+y﹣z=6，求 x、y、z 的值. 19.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4． (1)求AD的长． (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比． 20.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED，4DF=DC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长． 21.如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长 BF 交 CD 的延长线于点 G． （1）若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF•EG；5 （2）若 DG=DC，BE=6，求 EF 的长． 22.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD， 过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△ABD∽△DCP； （3）当 AB=5cm，AC=12cm 时，求线段 CP 的长．6 参考答案 1.D 2.D 3.答案为：B； 4.C 5.答案为：B. 6.答案为：B 7.答案为：D． 8.答案为：B. 9.C 10.答案为：D. 11.答案为：15； 12.答案为：1.5. 13.答案为：1：9． 14.答案为：（﹣3，2）． 15.答案为：EF∥BC（写出一个即可）； 16.答案为： ． 17.解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2 坐标（﹣2，﹣2）． 18.解：∵ = = ，∴设 x=2k，y=3k，z=4k， ∴2k+3k﹣4k=6， 解得 k=6， 所以，x=12，y=18，z=24. 19.解： (1)由已知，得MN=AB，MD= AD= BC． ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴ AD2=AB2， ∴由AB=4 得，AD=4 (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 . 20.（1）证明：∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED，∴ ，∵DF= DC，∴ ，7 ∴ ，∴△ABE∽△DEF； （2）解： ∵ABCD 为正方形，∴ED∥BG，∴ ， 又∵DF= DC，正方形的边长为 4，∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10． 21.解： （1）∵AB∥CG，∴∠ABF=∠G， 又∵∠ABF=∠ACF，∴∠ECF=∠G， 又∵∠CEF=∠CEG，∴△ECF∽△EGC， ∴ ，即 CE2=EF•EG； （2）∵平行四边形 ABCD 中，AB=CD， 又∵DG=DC， ∴AB=CD=DG，∴AB：CG=1：2， ∵AB∥CG，∴ ，即 ， ∴EG=12，BG=18， ∵AB∥DG，∴ ，∴BF= BG=9， ∴EF=BF﹣BE=9﹣6=3．8 22.解： （1）如图，连接 OD， ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°， ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD， ∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°， ∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD， ∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线； （2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P， ∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°， ∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP， （3）∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°， 在 Rt△ABC 中，BC=13cm， ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD， 在 Rt△BCD 中，BD2+CD2=BC2， ∴BC=CD= BC= ， ∵△ABD∽△DCP，∴ ，∴ ， ∴CP=16.9cm．