1
24 圆
一、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
A.长度相等的两条弧是等弧
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 直径是同一个圆中最长的弦
D. 过三点能确定一个圆
2.如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且 BC 平分∠ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点
E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF=FD
3.如图，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4.如图所示，点 A，B，C 在圆 O 上，∠A=64°，则∠BOC 的度数是（ ）
A.26° B.116° C.128° D.154°
5.如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ）
A.20° B.40° C.50° D.80°2
6.如图，已知⊙O 是△ABD 外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等
于( )
A.116° B.64° C.58° D.32°
7.有四个命题，其中正确的命题是( )
①经过三点一定可以作一个圆；
②任意一个三角形有且只有一外接圆；
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.②③
8.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=8,BC=10,AC=6,D 是弧 AB 中点,连接 CD 交 AB 于点 E,则 DE：CE 等
于（ ）
A.2：5 B.1：3 C.2：7 D.1：4
9.如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 的长分别为
（ ）
A.2， B.2 ，π C. ， D.2 ，
10.如 图 ,圆 锥 底 面 半 径 为 rcm,母 线 长 为 10cm,其 侧 面 展 开 图 是 圆 心 角 为 216° 的
扇 形 ， 则 r 的 值 为 （ ）
3
A.3 B.6 C.3π D.6π
二、填空题
11.在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于
12. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为
的直径，弦 AB⊥CD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”。（1 尺=10 寸）则 CD=____________
13.如图 24127，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠AOD=30°，则∠BCD 的度数是________．
14.如图，A，B，C 是⊙O 上三点，已知∠ACB=α，则∠AOB= ．（用含α的式子表示）
15.如图，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= （填度数）．
16.如图，△ABC 的三个顶点都 在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度）的格
点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′、C′仍落在格点上，则图中阴
影部分的面积约是 ．（结果用π的代数式表示）
三、解答题4
17.如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D。已知：
AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
18.已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 CD，求证：AC=BD.
19.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
20.如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，
过点 C 作直线 MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线 MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．5
21.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D．以 AB 上某一点 O 为圆
心作⊙O，使⊙O 经过点 A 和点 D．
（1）判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AC=3，∠B=30°．
①求⊙O 的半径；
②设⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部分的图形
面积．（结果保留根号和π）
22.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1 时，求MN的长．6
参考答案
1.C
2.答案为：C.
3.D
4.C
5.D
6.D
7.答案为：D
8.B
9.D
10.A
11.答案：6
12.答案为：2 尺 6 寸
13.答案为：105°
14.答案为：360°﹣2α．
15.答案为：130°．
16.答案为：
17.答案：（1）略 （2）13.
18.略
19.证明：（1）在⊙O中，∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵ = ，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，7
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
20.解：
（1）MN 是⊙O 切线．
理由：连接 OC．∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN 是⊙O 切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在 RT△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO= OC=2，BC=2
∴S 阴=S 扇形 OAC﹣S△OAC= ﹣ = ﹣4 ．
21.【解答】解：（1）直线 BC 与⊙O 相切；连结 OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即 OD⊥BC．
又∵直线 BC 过半径 OD 的外端，∴直线 BC 与⊙O 相切．
（2）设 OA=OD=r，在 Rt△BDO 中，∠B=30°，∴OB=2r，
在 Rt△ACB 中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得 r=2．
（3）在 Rt△ACB 中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴ ．
∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=2
S△BOD= ×OD•BD=3 ，∴所求图形面积为 ．8
22.【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN= = ．
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