2021年中考数学一轮单元复习13轴对称与等腰三角形

1 轴对称与等腰三角形 一、选择题 1.下列图形是轴对称图形且有两条对称轴的是(　　) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2.将一张正方形纸片按如图 1，图 2 所示的方向对折，然后沿图 3 中的虚线剪裁得到图 4，将图 4 的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　 ） 3.下列说法正确的是（ ） A.如果图形甲和图形乙关于直线 MN 对称，则图形甲是轴对称图形 B.任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴 C.平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某条直线对称 D.如果△ABC 和△EFG 成轴对称，那么它们的面积一定相等 4.在 4×4 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形 中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小 正方形共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5.在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移 3 个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对 称点C的坐标是（ ） A.（﹣4，﹣2） B.（2，2） C.（﹣2，2） D.（2，﹣2） 6.下列说法正确的是（ ） A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形 B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形 D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形2 7.如下图是一个 的正方形，现要在中轴线 上找一点 ，使 最小，则 的 位置应选在（ ）点处． A.P B.Q C.R D.S 8.如图，已知 AB=AC，∠A=36°，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于 D，AC 于 M.以下结论： ①△BCD 是等腰三角形； ②射线 CD 是△ACB 的角平分线； ③△BCD 的周长 C△BCD=AB+BC； ④△ADM≌△BCD. 正确的有（　 ） A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 9.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠ EAC，则添加的条件不能为（ ） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 10.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N，有如下结论：①△ ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 二、填空题 11.．如图，四边形 ABCD 沿直线 l 对折后互相重合，如果 AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB=CD；③ AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上）3 12.点 P（5，﹣3）关于 x 轴对称的点 P′的坐标为　　　　　　. 13.如图是 4×4 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色．现在要从其余 13 个白色小方格 中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 14.如图，菱形 ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为　　　　　　． 15.如图，△ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是 R、S，若 AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP 垂直平分 RS. 其中正确结论的序号是　　　　　　（请将所有正确结论的序号都填上）. 16.如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E 是△ABC 内的两点，AE 是平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若 BD=5 cm，DE=3 cm，则 BC 的长是 cm． 三、作图题4 17.在边长为 1 的小正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上， （1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为 ； （2）将△ABC 向右平移 3 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）在（2）的条件下，A1 的坐标为 ； （4）求△ABC 的面积． 四、解答题 18.如图所示，已知在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数． 19.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交 ∠BCA的外角平分线于F． （1）求证：EO=FO；（2）若CE=4,CF=3,你还能得到那些结论？ 20.如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 AC 于 M. （1）若∠B=70°，则∠MNA 的度数是　　　　　　. （2）连接 NB，若 AB=8cm，△NBC 的周长是 14cm. ①求 BC 的长；5 ②在直线 MN 上是否存在 P，使由 P、B、C 构成的△PBC 的周长值最小？若存在，标出点 P 的位置并求△PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由. 21.如图，已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过 B、C 向过点 A 的直线作垂线，垂足分别 为点 E、F． （1）如图（1），过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF （2）如图（2），过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，试求 EF 的长． 22.如图，在等边三角形 ABC 中，点 M 是 BC 边上的任意一点（不与端点重合），连接 AM，以 AM 为边作等边三角形 AMN，连接 CN． （1）求∠ACN 的度数． （2）若点 M 在△ABC 的边 BC 的延长线上，其他条件不变，则∠ACN 的度数是否发生变化？ （直接写出结论即可）67 参考答案 1.答案为：A. 2.答案为：B. 3.D 4.C 5.D. 6.B 7.B 8.答案为：B 9.C 10.答案为：B. 11.答案为：①、②、④． 12.答案为：（5，3）. 13.答案为：4． 解：如图所示，有 4 个位置使之成为轴对称图形． 14.答案为：2 ． 15.答案为：①②③④. 16.答案为：8 17.解：（1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为：（2，2）；故答案为：（2，2）； （2）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （3）在（2）的条件下，A1 的坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）； （4）△ABC 的面积为：2×3﹣ ×2×2﹣ ×1×1﹣ ×1×3=2． 18.解：在△ABC 中，AB=AD=DC， ∵AB=AD，在三角形 ABD 中，∠B=∠ADB=（180°﹣26°）× =77°， 又∵AD=DC，在三角形 ADC 中，∴∠C= =77°× =38.5°． 19.解：（1）∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1=∠2， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠3，8 ∴∠2=∠3， ∴OE=OC，同理可得OF=OC， ∴OE=OF； （2）∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1=∠2， ∵CF是∠OCD的平分线， ∴∠4=∠5， ∴∠ECF=90°， 在Rt△ECF中，由勾股定理得EF= ． ∴OE=OF=OC=0.5EF=2.5． 20. (1) 50 (2) ①∵MN 垂直平分 AB.∴NB=NA，又∵△NBC 的周长是 14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm. ②当点 P 与点 N 重合时，由点 P、B、C 构成的△PBC 的周长值最小，最小值是 14cm. 21.（1）证明： ①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠FAC=90°，∴∠EBA=∠FAC， 在△AEB 与△CFA 中 ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ②∵△ABE≌△CAF，∴EA=FC，EB=FA，∴EF=AF+AE=BE+CF； （2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°∴∠EAB+∠EBA=90° ∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠FAC=90°∴∠EBA=∠FAC， 在△AEB 与△CFA 中 ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴EA=FC，EB=FA，∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7． 22.