考点 12 坐标系与参数方程
一、解答题
1．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（文））在直角坐标系 中，直线 ，圆
,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积．
【答案】(1) , ；(2) ．
【解析】（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为
（2）将 代入
得 得 ， 所以
因为 的半径为 1，则 的面积为
2．（2020·河北唐山高三二模（文））在直角坐标系 中，曲线 C： ，直线 l： .以
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 C 与直线的极坐标方程；
（2）已知 P 为曲线 C 上一点， 于 H，求 的最大值.
【答案】（1） ； （ ）:（2）1.
xOy 1; 2C x = −
( ) ( )2 2
2 : 1 2 1C x y− + − = x
1C 2C
3C ( )
4 R
πθ ρ= ∈ 2 3,C C ,M N 2C MN∆
cos 2ρ θ = − 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 1
2
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = −
2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
4
πθ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 22 2, 2ρ ρ= = 2MN =
2C 2C MN∆ 1 12 1 sin 452 2
× × × =
xOy ( )2 21 1x y− + = y x= −
PH l⊥ POHS
2cosρ α= 3
4
πθ = ρ ∈R【解析】（1）由 ， 得
曲线 C： ，即 ；
直线 l： （ ）.
（2）依题意，设 ， ，则 ，
所以 ，
，
因此
.
所以当 ，即 时， 取得最大值 1.
3．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ ， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的坐标方程为 ，若直线 与曲线 相切.
（1）求曲线 的极坐标方程；
cosx ρ α= siny ρ α=
2 2 cos 0ρ ρ α− = 2cosρ α=
3
4
πθ = ρ ∈R
( ),P ρ α
2 2
π πα− < < 2cosOP α=
cos 2cos cos4 4OH OP
π πα α α = ⋅ + = ⋅ +
sin 2cos sin4 4PH OP
π πα α α = ⋅ + = ⋅ +
1
2POHS OH PH= ⋅ ⋅△
22cos cos sin4 4
π πα α α = ⋅ + ⋅ +
2 2 2cos cos sinα α α= −
2
2 1 12 cos 4 8
α = − −
2cos 1α = 0α = POHS
xOy C
3 cos
1 sin
x r
y r
ϕ
ϕ
= + = +
0r > ϕ O x l
sin 13
πρ θ − = l C
C（2）在曲线 上取两点 、 于原点 构成 ，且满足 ，求面积 的最大值.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】（1）由题意可知将直线 的直角坐标方程为 ，
曲线 是圆心为 ，半径为 的圆，直线 与曲线 相切，可得： ；
可知曲线 的方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
即 .
（2）由（1）不妨设 ， ，
.
当 时， ，
面积的最大值为 .
4．（2020·四川省高三月考（文））已知曲线 的极坐标方程是 .以极点为原点，
极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
C M N O MON∆
6MON
π∠ = MON∆
4sin 3
πρ θ = + 2 3+
l 3 2y x= +
C ( )3,1 r l C 3 • 3 1 2
22r
− +
= =
C ( ) ( )2 23 1 4x y− + − =
∴ C 2 2 3 cos 2 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − =
4sin 3
πρ θ = +
( )1,M ρ θ 2 , 6N
πρ θ +
( )1 20, 0ρ ρ> >
2
1 2
1 1sin • 4sin •sin 2sin cos 2 3cos2 6 4 3 2MONS OM ON
π π πρ ρ θ θ θ θ θ∆
= = = + + = +
sin2 3cos2 3 2sin 2 33
πθ θ θ = + + = + +
12
πθ = 2 3MONS∆ ≤ +
MON∴∆ 2 3+
C 4sin 0ρ θ− =
x l ( )1,0M 3
4
π
C l（2）设直线 与曲线 交于 、 两点，求 .
【答案】（1） ， 为参数 ；（2） .
【解析】（1）由 得
整理得： .
直线 过点 ，倾斜角为 ，
得参数方程为： 为参数 ，
（2）设 、 两点对应得参数为 ，
把直线的参数方程代入曲线方程得： ，
整理得： ，
则 ，
所以 ，
则 .
5．（2020·全国高三其他（文））在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 的参数方程为
（ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
l C A B MA MB+
2 2( 2) 4x y+ − =
21 2 ,(
2
2
x t
t
y t
= −
=
) 3 2
4sin 0ρ θ− = 2 2 24 sin 0 4 0x y yρ ρ θ− = ⇒ + − =
2 2( 2) 4x y+ − =
l ( )1,0M 3
4
π
3 21 cos 14 2 ,(
3 2sin 4 2
x t t
t
y t t
π
π
= + = −
= =
)
A B 1 2,t t
2 22 2(1 ) ( 2) 42 2t t− + − =
2 3 2 1 0t t− + =
1 2 1 23 2, 1t t t t+ = =
1 20, 0t t> >
1 2 1 2| | | | 3 2MA MB t t t t+ = + = + =
xOy α l
2 ,
3
x tcos
y tsin
α
α
= + = +
t x C.
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角.
【答案】（1） ； （2） 或 .
【解析】（1）因为直线 的参数方程为 （ 为参数），
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
因为 ，
因为 ，所以 ．
所以 的直角坐标方程为 ．
（2）解法 1：曲线 的直角坐标方程为 ，
将直线 的参数方程代入曲线 的方程整理，得 ．
因为 ，可设该方程的两个根为 ， ，
则 ， ．
所以 ．
整理得 ，
2 2 cos 8ρ ρ θ= +
l C
l C A B 4 2AB = l
2 2 2 8 0x y x+ − − =
6
π
2
π
l
2 cos
3 sin
x t
y t
α
α
= + = +
t
= 2
πα l 2x =
2
πα ≠ l ( )3 tan 2y xα− = −
2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + =
2 2 cos 8ρ ρ θ= + 2 2 2 8x y x+ = +
C 2 2 2 8 0x y x+ − − =
C 2 2 2 8 0x y x+ − − =
l C ( )2 2 3sin 2cos 5 0t tα α+ + − =
( )2
2 3sin 2cos 20 0α α∆ = + + > 1t 2t
( )1 2 2 3sin 2cost t α α+ = − + ( )2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 (4cos ) 4 5 2 6MN t t t t t t α= − = + − = − × − =
( )2
1 2 1 2 1 24AB t t t t t t= − = + − ( ) 2
2 3sin 2cos 20 4 2α α = − + + =
( )2
3sin cos 3α α+ =故 ．
因为 ，所以 或 ，
解得 或
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
解法 2：直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，
故圆心 到直线 的距离 ．
①当 时，直线 的直角坐标方程为 ，符合题意．
②当 时，直线 的方程为 ．
所以 ，整理得 ．
解得 ．
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
6．（2020·山西迎泽高三二模（文））己知曲线 C 的极坐标方程是 ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标
系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参
数）．
( I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
( II)若直线，与曲线 c 相交于 A、B 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角 a 的值．
2sin 36
πα + = ±
0 α π≤ <
6 3
π πα + = 2
6 3
π πα + =
6
πα =
2
πα =
l 6
π
2
π
l C A B 4 2AB =
( )1,0C l ( )2
9 2 2 1d = − =
2
πα = l 2x =
0, ,2 2
π πα π ∈ ∪ l tan 3 2tan 0x yα α− + − =
2
tan 0 3 2tan
1
1 tan
d
α α
α
− + −
= =
+
23 tan 1 tanα α− = +
6
πα =
l 6
π
2
π
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= +
=
14【答案】（Ⅰ） ；(Ⅱ) 或 ．
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用普通方程和极坐标方程的转化公式进行求解；(Ⅱ)将直线的参数坐标代入圆的方程，得
到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义进行求解．
试题解析：（I）由 得：
（II）将 代入圆的方程得 ，
化简得 .
设 、 两点对应的参数分别为 、 ,则 ,
,
∴ ,故 ,即 或 .
7．（2020·陕西新城高三月考（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ 为参数）；在以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方
程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与曲线 ， 的交点分别为 （ 异于原点），当斜率
时，求 的取值范围.
【答案】（1） 的极坐标方程为 ； 的直角坐标方程为 ；（2） .
2 2( 2) 4x y− + =
4
πα = 3
4
π
4cosρ θ= 2 2( 2) 4x y− + =
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= +
=
2 2( cos 1) ( sin ) 4t tα α− + =
2 2 cos 3 0t t α− − =
1 2
1 2
2cos
3
t t
t t
α+ =
= −
( )2 2
1 2 1 2 1 2| | 4 4cos 12 14AB t t t t t t α∴ = − = + − = + =
24cos 2α = 2cos 2
α = ±
4
πα = 3
4
π
xOy 1C
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α O x 2C
2cos sinρ θ θ=
1C 2C
( 0)l y kx x ≥： ＝ 1C 2C A B， A B， (1, 3k ∈
·OA OB
1C 2cosρ θ= 2C 2x y= (2,2 3【解析】
【分析】
（1）由 ，利用平方关系可得 的普通方程，再将 代入普通方程中化简求得极
坐标方程；曲线 的极坐标方程 可化为 ，将 代入上式即可
得解；
（2）分别联立射线 与曲线 ， 的极坐标方程，求出 两点的极坐标，进而得出
的取值范围．
【详解】
（1）曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，将 代入并化简得曲线
的极坐标方程为 ，
由 两边同时乘 ，得 ，结合 得曲线 的直角坐标方程为
；
（2）设射线 的倾斜角为 ，则射线的极坐标方程为 ，且 .
联立 得 ，
联立 得 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
= 1C cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2C 2cos sinρ θ θ= 2 2cos sinρ θ ρ θ= cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
( 0)l y kx x ≥： ＝ 1C 2C A B，
·OA OB
1C 2 2( 1) 1x y− + = 2 22 0x x y− + = cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C 2cosρ θ=
2cos sinρ θ θ= ρ 2 2cos sinρ θ ρ θ= cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C
2x y=
( 0)l y kx x ≥： ＝ ϕ θ ϕ= (1, 3k tanϕ = ∈
2cosρ θ
θ ϕ
=
= 2AOA cosρ ϕ= =
2cos sinρ θ θ
θ ϕ
=
= 2
sin
cosBOB
ϕρ ϕ= =
(2
sin· 2 2 2cos 2,2 3A BOA OB cos tan k
ϕρ ρ ϕ ϕϕ⋅ = = ∈ = ⋅ = ·OA OB (2,2 38．（2020·四川省绵阳高三开学考试（文））在平面直角坐标系 ，曲线 ，曲线
（ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）射线 分别交 ， 于 ， 两点，求 的最大值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 ， ， ，分别代入所求方程，即可得答案；
（2）射线 l 分别与 ， 联立，可求得点 ， 所对应的极径 的表达式，即可得 的表达
式，利用三角函数的性质，即可求得结果.
【详解】
（1）因为 ， ， ，
所以 的极坐标方程为 ，
因为 的普通方程为 ，
即 ，对应极坐标方程为 .
（2）因为射线 ，则 ，
xoy 1 : 4 0C x y+ − =
2
cos: 1 sin
xC y
θ
θ
=
= +
θ O x
1C 2C
: 0,0 2l a a
πθ ρ = ≥ <
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