易错点02 常用逻辑用语-备战2021年高考数学（理）一轮复习易错题

易错点 02 常用逻辑用语 易错点 1：混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念. 命题 p 的否定是否定命题所作的判断. 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论. 易错点 2：分不清四种命题的关系 原命题：若 p 则 q;逆命题：若 q 则 p;否命题：若¬p 则¬q;逆否命题：若¬q 则¬p. 此外，原命题与逆否命题、否命题与逆命题同真同假. 易错点 3：充分条件、必要条件颠倒致误 对于两个条件 A 和 B. 如果 A B 成立，则 A 是 B 的充分条件.B 是 A 的必要条件; 如果 B A 成立，则 A 是 B 的必要条件.B 是 A 的充分条件; 如果 A B，则 A，B 互为充分必要条件. 解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条 件和必要条件的概念作出准确的判断. 易错点 4：“或”“且”“非”理解不准致误 命题 p∨q 真 p 真或 q 真.命题 p∨q 假 p 假且 q 假(概括为一真即真); 命题 p∧q 真 p 真且 q 真.命题 p∧q 假 p 假或 q 假(概括为一假即假); ¬p 真 p 假.¬p 假 p 真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与 集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解. 01 混淆命题的否定与否命题 例 1．（2015 新课标）设命题 ： ， ，则 为 A． B． C． D． 【警示】 本题考生易错选 A 或 B，选 A 是因为只否定结论，而选 B 是只否定条件. 【解析】 命题“ ， ”的否定是“ ， ”，特别注意 ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ p n N∃ ∈ 2 2nn > p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ = x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≥ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + p q∧ p q¬∧ p q¬ ∧ p q¬ ¬∧ 0x∀ > 1 1+ >x ln( 1) 0x + > p 0a b> > 2 2a b> 0b a< < 0 a b< − < − 2 2a b< q p q¬∧ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ p x y> x y− < − q x y> 2 2x y>A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】选 C 【解析】由不等式的性质可知，命题 是真命题，命题 为假命题，故① 为假命题，② 为真命题，③ 为真命题，则 为真命题，④ 为假命题，则 为 假命题，所以选 C． 2．(2012 山东)设命题 p：函数 的最小正周期为 ；命题 q：函数 的图象 关于直线 对称.则下列判断正确的是 A．p 为真 B． 为假 C． 为假 D． 为真 【答案】选 C 【解析】命题 p 为假,命题 q 也为假,故选 C． 1．已知 ，命题“若 ，则 或 ”的原命题，逆命题，否命题和逆 否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由于 ，则 ，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题. 否命题为“若 ，则 且 ”，如 ，所以否命题为 假命题，故逆命题也是假命题. 所以真命题的个数为 . 2．下列关于命题的说法错误的是（ ） A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ” B．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 C．“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真 D．命题 ： ， 的否定是 ， 【答案】C 【解析】对于 A，由逆否命题的概念可得命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”，故 A 正确； 对于 B，若 ，则函数 在区间 上为增函数；若函数 p q∧ p q∨ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨ sin 2y x= 2 π cosy x= 2x π= q¬ p q∧ p q∨ p q q¬ p¬ ,x y R∈ 2 2 0x y+ = 0x = 0y = 2 2 0x y+ = 0x y= = 2 2 0x y+ ≠ 0x ≠ 0y ≠ 2 20, 1, 0x y x y= = + ≠ 2 2 3 2 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 0x ( )y f x= ( )0 0f x′ = p 2x∀ > 2 3 0x − > 0 2x∃ > 02 3 0x − ≤ 2 3 2 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ ( ) logaf x x=在区间 上为增函数，则只需满足 ；所以“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件，故 B 正确； 对于 C，“若 为 的极值点，则 ” 的逆命题为“若 ，则 为 的极值点”，对函数 ， ，但 不是函数 的极值点， 所以原命题的逆命题为假命题，故 C 错误； 对于 D，由全称命题的否定可知命题 ： ， 的否定是 ， ，故 D 正确. 3．在正四棱锥 中，已知异面直线 与 所成的角为 ，给出下面三个命 题： ：若 ，则此四棱锥的侧面积为 ； ：若 分别为 的中点，则 平面 ； ：若 都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形 面积的 倍. 在下列命题中，为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为异面直线 与 所成的角为 ，AD 平行于 BC，故角 PBC= ，正四 棱锥 中，PB=PC，故三角形 PBC 是等边三角形；当 AB=2，此四棱锥的侧面积 为 ，故 是假命题； 取 BC 的中点 G， 分别为 的中点故得 ，故平面 EFG//平面 PAB，从而得到 EF//平面 PAB，故 是真命题； 设 AB=a, AC 和 BD 的交点为 O，则 PO 垂直于地面 ABCD，PA＝ａ，AO＝ ，PO＝ O 为球心，球的半径为 ，表面积为 ,又正方形的面积为 ,故 为真． 故 为真； 均为假．故答案为 A． 4．下列命题正确的是 　　 A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 B．命题“若 ，则 ”的逆命题为真命题 C．命题“ ， ”的否定是“ ” D．“ ”是“ ”的充分不必要条件 ( )0, ∞+ 1a > 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 0x ( )y f x= ( )0 0f x′ = ( )0 0f x′ = 0x ( )y f x= ( ) 3f x x= ( )0 0f ′ = 0x = ( )f x p 2x∀ > 2 3 0x − > 0 2x∃ > 02 3 0x − ≤ P ABCD− PB AD 060 1p 2AB = 4 4 3+ 2p ,E F ,PC AD / /EF PAB 3p , , , ,P A B C D O O ABCD 2π 2 3p p∧ 1 2( )p p∨ ¬ 1 3p p∧ 2 3( )p p∧ ¬ PB AD 60° 60° -ABCDP 4 3 1p ,E F ,PC AD / / , / /AB FG PB EG 2p ２ａ ２ ２ａ ２ ２ａ ２ 22πa 2a 3p 2 3p p∧ ( )1 2p p∨ ¬ 1 3p p∧ ( )2 3p p∧ ¬ ( ) α β= sin sinα β= a b< 2 2ac bc≤ 0x∀ > 5 0x > 0 0 0,5 0xx∃ ≤ ≤ 1x < − ( )ln 2 0x + 0在푅上恒成立”的充要条件是（ ） A．푚 > 1 4 B．푚 < 1 4 C．푚 < 1 D．푚 > 1 【答案】A 【解析】∵“不等式 x2﹣x+m＞0 在 R 上恒成立”， ∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得 m＞1 4， 2 2ac bc≤ a b< c 0= 0,5 0xx∀ > > 0 0 0,5 0xx∃ > ≤ ( )ln 2 0x + < 2 x 1− < < 1x < − ( )ln 2 0x + < x 3 2x x> x ln x x> A B⊆ x A∈ x B∈ A B = ∅ A B 1 2x = 3 2x x≤ x ln 1x x x≤ − < a b 1a b> > log 3 log 3a b< log 3 log 3a b< 3 3 1 1 log loga b < 3log 0a > 3log 0b > 3 3log log 0a b> > 1a b> > 3log 0a < 3log 0b < 3 3log log 0b a< < 0 1b a< < < 3log 0a < 3log 0b > 0 1a b< < < 1a b> > log 3 log 3a b 1是푥2 > 1的充分不必要条件 C．∀푥 ∈ 푁,푥3 > 푥2 D．若푎 > 푏，则푎2 > 푏2 【答案】B 【解析】x2+2x+3=0 的△=﹣8＜0，故方程无实根，即∃x0∈R，x02+2x0+3=0 错误，即 A 错误； x2＞1⇔x＜﹣1，或 x＞1，故 x＞1 是 x2＞1 的充分不必要条件，故 B 正确； 当 x≤1 时，x3≤x2，故∀x∈N，x3＞x2 错误，即 C 错误； 若 a=1，b=﹣1，则 a＞b，但 a2=b2，故 D 错误； 9．命题“ ， ”的否定形式是（ ）. A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】命题的否定为: 改为 , 改为 ,故否定形式为 ， ,故选 D. 10．在 中，“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【解析】 中，若 ，则 ，但 时， ， 充分性不成立， 若 ，若 ， 满足 ，但 ， 必要性也不成立． 应是既不充分也不必要条件． 0x R∃ ∈ 0 0 1 2x x + ≥ x R∀ ∈ 1 2x x + > x R∃ ∈ 1 2x x + < x R∃ ∈ 1 2x x + > x R∀ ∈ 1 2x x + < ∃ ∀ ≥ < x R∀ ∈ 1 2x x + < ABC cos cosA B< tan tanA B> ABC cos cosA B< A B> 2A B π> > tan 0 tanA B< < tan tanA B> 0, 2A π ∈   ,2B π π ∈   tan tanA B> cos 0 cosA B> >