2021 届新高三摸底联考
数学试卷（新高考）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D．
3．已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
6．函数 的大致图象为（ ）．
A． B．
{ }0,1,2,3A = { }2B x y x= = − A B =
{ }3 { }2,3 { }0,1 { }0,1,2
( )0,x∀ ∈ +∞ 2 2 1xx + ≥
( )0 0,x∃ ∈ +∞ 02
0 2 1xx + < ( )0 0,x∃ ∈ +∞ 02
0 2 1xx + ≥
( )0,x∀ ∈ +∞ 2 2 1xx + < 2 2 1xx + ≤
3 4i
2 iz
−= − z z
1
32a = 3log 2b = 2log 0.1c =
a c b> > a b c> > b a c> > c b a> >
m n 2m n m n+ = − 2m n= m n
1
3
1
4
1
6
1
8
( ) ( )2
2
e cos
e 1
x
x
x x
f x
−
= +
C． D．
7．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺
长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第 天后剩余木棍的长度为 ，数列
的前 项和为 ，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
8．已知斜率存在的直线 交椭圆 ： 于 ， 两点，点 是弦 的中点，点 ，且
， ，则直线 的斜率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9． 已知双 曲线 ： （ ）的一 条渐近 线方程 为 ，则 下列说 法正确 的是
（ ）．
A． 的焦点在 轴上 B．
C． 的实轴长为 6 D． 的离心率为
10．2020 年初以来， 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统
计了近 5 个月来 手机的实际销量，如下表所示：
月份 2020 年 2 月 2020 年 3 月 2020 年 4 月 2020 年 5 月 2020 年 6 月
月份编号 1 2 3 4 5
销量 部 37 104 196 216
若 与 线性相关，且求得线性回归方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
n na { }na
n nS 2020
2021nS > n
l C
2 2
19 4
x y+ = A B P AB ( )1,0M
( ) 0MP MB MA⋅ − = 1MP = MP
2 2 4 2 4
3
± 3
4
±
E
2 2
14
x y
m
− = 0m > 3 0x y+ =
E x 4
9m =
E E 10
3
5G 5G
5G
x
/y a
y x 45 5y x= +
A．
B． 与 正相关
C． 与 的相关系数为负数
D．8 月份该手机商城的 手机销量约为 36.5 万部
11．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 与 （ ）的图象关于 轴对称，则下列
结论正确的是（ ）．
A．
B．直线 是 的图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减
D． 的图象可看作是 的图象向左平移 个单位长度而得到的
第Ⅱ卷
三、填空题：
13．若曲线 在点 处的切线的斜率为 1，则 ______．
14．已知 ，则 ______， ______．
15．2020 年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出 8 名农技人员（5
男 3 女），并分成两组，分配到 2 个贫困村进行扶贫工作，若每组至少 3 人，且每组都有男农技人员，则不
同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
16．已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，则当点 到平面 的距离
取最大值时，球 的表面积为______．
147a =
y x
y x
5G
0a > 0b > 2 1 1a b
+ =
1b > 8ab ≤
2 2
4 1 1
2a b
+ ≥ 2 8a b+ ≥
( ) πcos 2 4f x x = +
( ) ( )sin 2g x x θ= + π 0 π− < < y
π
4
θ =
π
8x = ( )g x
( )g x π 5π,8 8
( )g x ( )f x π
4
( ) 3 2f x ax x= − ( )( )2, 2f a =
π 1tan 4 2
α − = tanα = 2 2
cos2
sin 2cos
α
α α =−
O P ABC− 1AB BC CA= = = 2PA = P ABC
O
四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17 ． 在 ① ； ② ； ③
（0 ），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以
解答．
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 的面积为 4，______，求
及 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．记 为等差数列 的前 项和， ， ．
（1）求数列 的通项公式及 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值．
19．如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形， ， ，四边形
为正方形，平面 平面 ． ， 为线段 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
20．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 交 于 ， 两点，若 的面积是 的面积的 2 倍，求 ．
21．2020 年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高
度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市 2020 年初新增加了甲、
乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了 100 瓶消毒液，检测其质量，得
到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数
分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）
5 cos 3 cos 3 cosb B a C c A− = 3 sin cos 4 cos 3 cos sinb B C a B b B C= −
2 π 22cos 12 8 10
B + = −
π0 2B< <
ABC△ A B C a b c 7a c+ = ABC△
sin B b
nS { }na n 8 3 90S S− = 2 6a =
{ }na nS
1
nS
n nT 20
33nT = n
ABCDEF ABCD //AD BC AB AD⊥ ADEF
ADEF ⊥ ABCD 3 3BC AB AD= = M BD
BD ⊥ AFM
AFM ACE
xOy ( )2,0F ( )2,3M − P 1
2 OF MP PF⋅ =
P C
( )1,0D AB C A B AFD△ BFD△ AB
质量指标值
频数 20 10 30 15 25
（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中
位数为 ，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标
值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情
况写出两条统计结论；
（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，并
已求得 ．该厂决定将消毒液分为 ， ， 级三个等级，其中质量指标值 不高于 2.6 的为
级，高于 38.45 的为 级，其余为 级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
（ⅰ）甲厂近期生产了 10 万瓶消毒液，试估计其中 级消毒液的总瓶数；
（ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价 （单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级
出厂价 30 25 16
假定甲厂半年消毒液的生产量为 1000 万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为 20 元，工
厂的总投资为 4 千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？
试说明理由．
附 ： 若 ， 则 ， ，
．
22．已知函数 ， ．
（1）求 在区间 上的极值点；
[ )0,10 [ )10,20 [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50
226 3
Z ( )2,N µ σ µ x
11.95σ = A B C Z C
A B
B
X
A B C
X
( )2,Z N µ σ ( ) 0.6827P Zµ σ µ σ− < ≤ + = ( )2 2 0.9545P Zµ σ µ σ− < ≤ + =
( )3 3 0.9973P Zµ σ µ σ− < ≤ + =
( ) sin cos 1f x x x x= + − ( ) ( )21
4g x x f x= −
( )f x ( )0,2π
（2）证明： 恰有 3 个零点．
2021 届新高三摸底联考
数学参考答案及评分细则
一、单项选择题
1．D 【解析】∵ ，∴ ．故选 D．
2．A 【解析】命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为： ， ．故选
A．
3．D 【解析】∵ ，∴ ，它在复平面内对应的点 位于第四象
限．故选 D．
4 ． B 【 解 析 】 ∵ ， ， 且 ， ， ∴
．故选 B．
5．B 【解析】∵ ，∴ ，∴ ．
设向量 与 的夹角为 ，则 ．故选 B．
6．C 【解析】因为 ，所以 为偶函数，排除 D；
因为 ．所以排除 B；因为 ，
而 ，所以 ，排除 A．故选 C．
7．C【解析】记第 天后剩余木棍的长度为 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， ， 是关于 的增函数，
( )g x
{ }2B x x= ≤ { }0,1,2A B =
( )0 0,x∃ ∈ +∞ 02
0 2 1xx + <
( )5 2 i3 4i 2 i2 i 5z
+−= = = +− 2 iz = − ( )2, 1−
1
032 2 1a = > = 3 3log 2 log 3 1b = < = 0b > 2 2log 0.1 log 1 0c = < =
a b c> >
2m n m n+ = − 2 2 2 22 4 4m n m n m n m n+ + ⋅ = + − ⋅ 21
2m n n⋅ =
m n θ
2
2
1
12cos 2 4
nm n
m n n
θ ⋅= = =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
e cos e cos
e 1 e 1
x x
x x
x x x x
f x f x
−
−
− −
− = = =+ + ( )f x
( ) 10 2f = ( ) ( )2
4
2
2
e cos2 4 4 cos22 1e 1 e e
f
− −= =+ +
2 2
2 2
4 cos2 50 11 1e ee e
−< < <
+ +
( ) ( )2 1,0f ∈ −
n na { }na 1
2
1
2
1
2n na =
1 11 12 2 11 21 2
n
n nS
− = = −
− nS n
而 ， ，
所以使得不等式 成立的正整数 的最小值为 11．故选 C．
8．D 【解析】设 ， ， ，直线 的斜率为 ，不妨令 ，
则 两式相减，得 ，
所以 ，所以 ，即 ．
由 ，得 ，又 ，所以 ，
解得 ．过点 作 轴于点 ，则 ，
所以 ，即 ，考虑对称性可知，直线 的斜率为 ．
故选 D．
二、多项选择题
9．AD 【解析】由 ，可知双曲线 的焦点一定在 轴上，故 A 正确；
根据题意得 ，所以 ，故 B 错误；
双曲线 的实轴长为 ，故 C 错误；
双曲线 的离心率 ，故 D 正确．
故选 AD．
10．AB 【解析】由表中数据，计算得 ，所以 ，
于是得 ，解得 ，故 A 正确；
由回归方程中的 的系数为正可知， 与 正相关，且其相关系数 ，故 B 正确，C 错误；
10 10
1 1023 20201 2 1024 2021S = − = < 11 11
1 2047 20201 2 2048 2021S = − = >
2020
2021nS > n
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,P x y AB k 0k >
2 2
1 1
2 2
2 2
19 4
19 4
x y
x y
+ =
+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 09 4x x x x y y y y+ − + + − =
1 2
0 0
1 2
1 12 2 09 4
y yx y x x
−× + × × =− 0 04 9 0x y k+ = 0
0
4
9
xk y
= −
( ) 0MP MB MA⋅ − = MP AB⊥ 0
0 1MP
yk x
= −
0 0
0 0
4 19 1MP
x yk k y x
⋅ = − ⋅ = −−
0
9
5x = P PH x⊥ H 4cos 5PMH∠ =
3tan 4PMH∠ = 3
4MPk = − MP 3
4
±
0m > E x
2 1
3
b
a m
= = 36m =
E 2 12m =
E 4 10
3
c me a m
+= = =
( )1 1 2 3 4 5 35x = × + + + + = 45 3 5 140y = × + =
37 104 196 216 140 5a+ + + + = × 147a =
x y x 0r >
8 月份时， ， （万部），故 D 错误．故选 AB．
11．ACD 【解析】 ，∴ ，故 A 正确； ，∴ ，故 B 错
误；
，故 C 正确；
，故 D 正确．
故选 ACD．
12．ABC 【解析】由题得， ，
∴ ，故 A 正确；
∵ ，∴直线 是函数 的图象的一条对称轴，故 B 正确；
由 （ ），得 （ ），
当 时， ，故 在 上单调递减，故 C 正确；
，
而 ，
故函数 的图象可看作是函数 的图象向右平移 个单位长度而得到的，故 D 错误．
故选 ABC．
三、填空题
13． 【解析】∵ ，∴ ，解得 ．
7x = 32y =
2 1 11 0b
a b b
−= − = > 1b > 2 1 21 2a b ab
+ = ≥ 8ab ≥
2 2 2 2
2 2
4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 12 2 2 2a b a b a b a b a b a b
+ = + − × × ≥ + − + = + =
( )2 1 4 42 2 4 4 2 8b a b aa b a ba b a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
( ) π π π π πcos 2 cos 2 sin 2 sin 24 4 4 2 4g x x x x x = − + = − = − + = +
π
4
θ =
π π π πsin 2 sin 18 8 4 2g = × + = =
π
8x = ( )g x
π π 3π2 π 2 2 π2 4 2k x k+ ≤ + ≤ + k ∈Z π 5ππ π8 8k x k+ ≤ ≤ + k ∈Z
0k = π 5π
8 8x≤ ≤ ( )g x π 5π,8 8
( ) π π π 3πcos 2 sin 2 sin 24 2 4 8f x x x x = + = + + = +
( ) π 3π πsin 2 sin 28 8 4g x x x = + = + −
( )g x ( )f x π
4
1
4
( ) 23 2f x ax′ = − ( )2 12 2 1f a′ = − = 1
4a =
14．3， 【解析】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
15．180 【解析】分配的方案有两类，
第一类：一组 3 人，另一组 5 人，有 种；
第二类：两组均为 4 人，有 种，
所以共有 种不同的分配方案．
16． 【解析】当点 到平面 的距离最大时， 平面 ．如图，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，则球 是该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离 ．
由正弦定理得 的外接圆半径 ，
所以球 的半径为 ，所以球 的表面积为 ．
四、解答题
17．解：若选①：由正弦定理及 ，
得 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ．
8
7
− π 1tan 4 2
α − =
tan 1 1
1 tan 2
α
α
− =+ tan 3α =
2 2 2
2 2 2 2 2
cos2 cos sin 1 tan 8
sin 2cos sin 2cos tan 2 7a a
α α α α
α α α
− −= = = −− − −
( )3 2
8 2C 1 A 110− ⋅ =
4 4
28 4
25
2
C C A 70A
⋅ =
110 70 180N = + =
16π
3 P ABC PA ⊥ ABC
ABC△ PA O
O ABC△ 1 12d PA= =
ABC△ 3
2sin 60 3
ABr = =°
O 2 2 2 2
3R d r= + = O 2 16π4π 3S R= =
5 sin 3 cos 3 cosb B a C c A− =
( )5sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3sinB B A C C A A C B= + = + =
( )0,πB∈ sin 0B ≠ 5cos 3B = 3cos 5B = 2 4sin 1 cos 5B B= − =
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ．
若选②：由正弦定理得及 ，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，结合 及 ，
可解得 ， ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ．
若选③：由 ，得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ．
18．解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 解得
1 1 4sin 42 2 5ABCS ac B ac= = × =△ 10ac =
( )22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac= + − = + − = + − − = − =
17b =
3 sin cos 4 cos 3 cos sinb B C a B b B C= −
( )3sin sin 4sin cosB B C A B+ = 3sin sin 4sin cosB A A B=
( )0,πA∈ sin 0A ≠ 3sin 4cosB B= 2 2sin cos 1B B+ = ( )0,πB∈
3cos 5B = 4sin 5B =
1 1 4sin 42 2 5ABCS a B ac= = × =△ 10ac =
( )22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac= + − = + − = + − − = − =
17b =
2 π 22cos 12 8 10
B + = −
π 2cos 4 10B + = −
π0 2B< < π π 3π
4 4 4B< + < πsin 04B + >
2π π 7 2sin 1 cos4 4 10B B + = − + =
π π 7 2 2 2 2 4sin sin 4 4 10 2 10 2 5B B = + − = × + × =
1 1 4sin 42 2 5ABCS ac B ac= = × =△ 10ac =
( )22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac= + − = + − = + − − = − =
17b =
{ }na d
( )1 1
1
8 28 3 3 90,
6,
a d a d
a d
+ − + = + =
1 3,
3,
a
d
=
=
∴ ．∴ ．
（2）由（1）可得 ，
故 ．
令 ，得 ，即 ，解得 ．
19．解：（1）因为 为正方形，所以 ．又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．所以 ．
因为 ， 线段 的中点，所以 ．
又 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知 平面 ，所以 ， ，又 ，
所以 ， ， 两两垂直．分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标
系 （如图）．
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，则 ， ，则 ．
由（1）知， 为平面 的一个法向量．
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
( )3 1 3 3na n n= + − × = ( ) ( )1 23 3 3 3
2 2 2 2
n
n
n a a n nS n n
+ += = = +
( )
1 3 2 1 1
3 3 3 1nS n n n n
= = − + +
( )
2 1 1 1 1 1 2 1 21 13 2 2 3 1 3 1 3 1n
nT n n n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − = − = + + +
20
33nT = ( )
2 20
3 1 33
n
n
=+
10
1 11
n
n
=+ 10n =
ADEF AF AD⊥ ADEF ⊥ ABCD
ADEF ABCD AD= AF ⊥ ABCD AF BD⊥
AB AD= M BD BD AM⊥
AM AF A= BD ⊥ AFM
AF ⊥ ABCD AF AB⊥ AF AD⊥ AB AD⊥
AB AD AF AB AD AF x y z
A xyz−
1AB = ( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,3,0C ( )0,1,0D ( )0,1,1E
( )1,1,0BD = − ( )0,1,1AE = ( )1,3,0AC = ACE ( ), ,n x y z=
0,
0,
AC n
AE n
⋅ =
⋅ =
0,
3 0,
y z
x y
+ =
+ =
1y = 3x = − 1z = − ( )3,1, 1n = − −
( )1,1,0BD = − AFM
AFM ACE θ
则 ．
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
20．解：（1）设 ，则 ， ， ．
由 ，得 ．化简得 ，
即动点 的轨迹 的方程为 ．
（2）设 ， ，由题意知 ， ，
因为 ，所以 ，易知 ，所以 ． ①
设直线 的方程为 ，联立 消去 ，得 ，则 ，
， ②
， ③
由①②③解得 ，所以 ．
21．解：（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为
．
设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为 ，
则 ，解得 ．
统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；
②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生
产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒
液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于 25．
cos cos BD nBD n BD n
θ ⋅= ⋅ = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
3 1 1 1 1 0
3 1 1 1 1 0
− × − + × + − ×=
− + + − ⋅ − + +
2 22
11
=
AFM ACE 2 22
11
( ),P x y ( )2, 3MP x y= + − ( )2,0OF = ( )2 ,PF x y= − −
1
2 OF MP PF⋅ = ( )2 22 2x x y+ = − + 2 8y x=
P C 2 8y x=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1
1
2AFDS FD y= ⋅△ 2
1
2BFDS FD y= ⋅△
2AFD BFDS S=△ △ 1 22y y= 1 2 0y y < 1 22y y= −
AB 1x my= +
2 8 ,
1,
y x
x my
=
= +
x 2 8 8 0y my− − = 264 32 0m∆ = + >
1 2 8y y m+ =
1 2 8y y = −
1
4x = ± 2 2
1 2
1 3 171 1 24 1 616 2AB m y y m m= + − = + = + × =
5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x = × + × + × + × + × =甲
n
( )0.2 0.1 20 0.03 0.5n+ + − × = 226 3n =
⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为 ．
⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大
的较多．
（2）（ⅰ）
，
因为 ，所以可估计甲厂所生产的这 10 万瓶消毒液中， 级消毒液有 81860 瓶．
（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为 元，则 的可能取值为 10，5 ，
，
由（ⅰ）知 ，
所以 ，故 的分布列为
10 5
0.15865 0.8186 002275
所以每瓶消毒液的平均利润为 （元），
故生产半年消毒液所获利润为 （千万元），
而 5．5885（千万元） 4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．
22．解：（1） （ ），令 ，得 ，或 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
226 3
( ) ( )2.6 38.45 2P Z P Zµ σ µ σ< ≤ = − < ≤ +
( ) ( )1 2 22 P Z P Zµ σ µ σ µ σ µ σ= − < ≤ + + − < ≤ + 0.8186=
100000 0.8186 81860× = B
Y Y 4−
( ) ( )10 38.45P Y P Z= = ≥ ( )P Z µ σ= ≥ + ( )1 12 P Zµ σ µ σ= − − < < +
( )1 1 0.68272
= − 0.15865=
( ) ( )5 2.6 38.45 0.1816P Y P Z= = < < =
( )4 1 0.8186 0.15865 0.02275P Y = − = − − = Y
Y 4−
P
( ) 10 0.15865 5 0.8186 4 0.02275 5.5885E Y = × + × − × =
1 5.5885 5.5885× =
>
( ) cosf x x x′ = ( )0,2πx∈ ( ) 0f x′ = π
2x = 3π
2x =
π0, 2x ∈
( ) 0f x′ > ( )f x
π 3π,2 2x ∈
( ) 0f x′ < ( )f x
3π ,2π2x ∈
( ) 0f x′ > ( )f x
故 是 的极大值点， 是 的极小值点．
综上所述， 在区间 上的极大值点为 ，极小值点为 ．
（2） （ ），
因为 ，所以 是 的一个零点．
，
所以 为偶函数．
即要确定 在 上的零点个数，只需确定 时， 的零点个数即可．
当 0 时 ．
令 ，即 ， 或 （ ）．
时， ， 单调递减，又 ，所以 ；
时， ， 单调递增，且 ，
所以 在区间 内有唯一零点．当 时，由于 ， ．
．
而 在区间 内单调递增， ，
所以 恒成立，故 在区间 内无零点，
所以 在区间 内有一个零点，由于 是偶函数，
所以 在区间 内有一个零点，而 ，综上， 有且仅有三个零点．
π
2x = ( )f x 3π
2x = ( )f x
( )f x ( )0,2π π
2x = 3π
2x =
( ) ( )2 21 1 1 sin cos4 4g x x f x x x x x= − = + − − x∈R
( )0 0g = 0x = ( )g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
211 sin cos 1 sin cos4 4
xg x x x x x x x x g x
−− = + − − − − − = + − − =
( )g x
( )g x R 0x > ( )g x
0x > ( ) ( )1 1cos 1 2cos2 2g x x x x x x′ = − = −
( ) 0g x′ = 1cos 2x = π 2 π3x k= + 5π 2 π3x k= + k ∈N
π0, 3x ∈
( ) 0g x′ < ( )g x ( )0 0g = π 03g ( )g x 25 25 5 3 1π π π 03 36 6 2g = + + >
( )g x 50, π3
5 π3x ≥ sin 1x ≤ cos 1x ≤
( ) ( )2 2 21 1 11 sin cos 1 14 4 4g x x x x x x x x x t x= + − − ≥ + − − = − =
( )t x 5 π,3
+∞
( ) 5 π 03t x t ≥ >
( ) 0g x > ( )g x 5 π,3
+∞
( )g x ( )0,+∞ ( )g x
( )g x ( ),0−∞ ( )0 0g = ( )g x
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