【定稿】【试题】福州市2021届高三数学10月调研A卷.pdf

数学（A 卷）试题（第 1 页，共 5 页） 福州市 2021 届高三 10 月调研 A 卷 数学 命题组：黄炳锋，宋建辉，许丽丽，耿熹 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知集合    1,0,1,2 , 3| 0A Bxx  ，则 AB A．  1,0,1 B． 0,1 C．  1,1,2 D． 1,2 2. 已知复数 1iz ， z 为 z 的共轭复数，则 1 z z  ＝ A． 3i 2  B． 1 3 i 2  C． 3 3 i 2  D． 1i 2  3. 设 x∈R，则“1< x < 2”是“| x－2 | ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入 对不等式的发展影响深远．若 0ab，则下列结论错误．．的是 A． 11 ab B． 2log ()0ab C． 11 22ab D．33ab 数学（A 卷）试题（第 2 页，共 5 页） 5. 已知两条直线 m , n 和两个平面  ,  ，下列命题正确的是 A．若 m  ， n  ，且 mn ，则  B．若 //m  ， n// ，且 //mn，则 // C．若 ， ，且 ，则 D．若 ， ，且 ，则 6. 某校在一次月考中共有 800 人参加考试，其数学考试成绩 X 近似服从正态分布 2(1 0 5 , )N  ，试卷满分 150 分．现已知同学甲的数学成绩为 90 分，学校排名为 720， 同学乙的数学成绩为 120 分，那么他的学校排名约为 A．60 B．70 C．80 D．90 7. 在边长为 2 的等边△ABC 中， 3BNNC ，则 ANBC = A． 0 B． 1 2 C． 1 D． 2 8. 若定义在 R 上的奇函数  fx在  ,0 单调递减，且  20f  ，则满足  10xfx 的 x 的取值范围是 A．   1,13, B．   3,10,1 C．   1,01, D．   1,01,3 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9. 已知双曲线 22 126xy ，则下列说法正确的是 A．双曲线的离心率 2e  B．双曲线的渐近线方程为 30xy C．双曲线的焦距为 22 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为 3 10. 已知曲线 1C : cosyx ， 2C : 2sin 2 3yx ，则下面结论正确的是 A．把曲线 向左平移 6  个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到曲线 数学（A 卷）试题（第 3 页，共 5 页） B．把曲线 1C 向左平移 3  个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到曲线 2C C．把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左 平移 6  个单位长度，得到曲线 D．把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左 平移 12  个单位长度，得到曲线 11. 一盒中有 8 个乒乓球，其中 6 个未使用过，2 个已使用过．现从盒子中任取 3 个球来 用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为 X，则下列结论正确的是 A．X 的所有可能取值是 3,4,5 B．X 最有可能的取值是 5 C．X 等于 3 的概率为 3 28 D．X 的数学期望是 17 4 12. 已知函数      sinsincoscosfxxx  ，下列关于该函数结论正确的是 A．  fx的一个周期是 2  B．  fx的图象关于直线 2x  对称 C． 的最大值为 2 D． 是 0, 2   上的增函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 数列 {}na 中， 1 1a ， 1 3nnaa ，则 的前 21 项和 21S =_________． 14. 抛物线 2 2 ( 0)y px p的准线截圆 222 1 0x y y    所得弦长为 2，则抛物线的焦 点坐标为_________． 15. 已知 π π(,) 22  ，且 2cos 2 15sin 2 0   ，则 tan =_________． 16. 在三棱锥 PABC 中， 2AB  ， AC BC ，若该三棱锥的体积为 2 3 ，则其外接球表 面积的最小值为_________． 数学（A 卷）试题（第 4 页，共 5 页） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分） 在① 1 1 2 n n a a   ，② 1 1 6nnaa    ，③ 1 8nna a n    这三个条件中任选一个，补充在下 面的问题中，并解答． 问题：设 nS 是数列  na 的前 n 项和，且 1 4a  ，______________，求 的通项公式， 并判断 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. （12 分） △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 (sincos)(cossin)bCCcBB ． （1）记 BC 边上的高为 h，求 a h ； （2）若 5b ， 1c ，求 a ． 19. （12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善．为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷)和 某种野生动物的数量的关系，将该地区分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用 简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据  ,iixy（i=1，2，…，20）， 其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量，并计算得 20 1 60 i ix   ， 20 1 1200 i iy   ，   20 2 1 80i i x x   ，   20 2 1 9000i i y y   ，    20 1 800ii i xyxy   ． （1）求样本  ,iixy （i=1，2，…，20）的相关系数（精确到 0.01），并用相关系数说明 各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性． （2）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获 得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说 明理由． 附：相关系数        20 1 20 2022 11 ii i ii ii x x y y r x x y y        ． 数学（A 卷）试题（第 5 页，共 5 页） 20. （12 分） 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AC=AA1=1，M，N 分别为 A1C1，AB1 的中点． （1）求证：MN//平面 B1BCC1； （2）若 P 是 B1B 的中点，AP⊥MN，求二面角 A1-PN-M 的 余弦值． 21. （12 分） 设函数     2lnfxxax ． （1）若当 1x  时，  fx取得极值，求 a 的值，并讨论  fx的单调性； （2）若  fx存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 eln 2 ． 22. （12 分） 已知椭圆 E：   22 2210yx abab 的离心率为 2 2 ，直线 l：y=2x 与椭圆交于两点 A，B，且 25AB  ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 C，D 为椭圆 E 上异于 A，B 的两个不同的点，直线 AC 与直线 BD 相交于点 M，直线 AD 与直线 BC 相交于点 N，求证：直线 MN 的斜率为定值．