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钦州市、崇左市２０２１届高三第一次教学质量监测
理科数学参考答案
一、（６０分）
１．Ｄ（犃 ＝ ｛狓狘狓（狓－１）＞０｝，解得狓 ＞１
或狓 ＜０，故 犃 ＝ （－ ∞，０）∪ （１，＋ ∞），
故瓓犝犃 ＝ ［０，１］．
故应选 Ｄ．）
２．Ｃ（∵狕＝ （ｉ－２）（１＋ｉ）＝ｉ＋ｉ２ －２－２ｉ
＝－３－ｉ，因此 复 数狕 对 应 点 的 坐 标 为 （－３，
－１），在第三象限．
故应选 Ｃ．）
３．Ａ（由题意，若犪＞狘犫狘，则犪＞狘犫狘≥０，则
犪＞犫，所以犪狘犪狘＝犪２，则犪狘犪狘＞犫狘犫狘成立，
当犪＝１，犫＝－２时，满足犪狘犪狘＞犫狘犫狘，
但犪 ＞狘犫狘 不 一 定 成 立，所 以 “犪 ＞狘犫狘”是
“犪狘犪狘＞犫狘犫狘”的充分不必要条件．
故应选 Ａ．）
４．Ｂ（由题意，狔２ ＝４狓的焦点犉（１，０），准线
为狓 ＝－１，设抛物线上的动点 犘（狓０，狔０），根据
抛物线的定义可知，狘犘犉狘＝１＋狓０，因为狓０ ∈
［０，＋ ∞），所以狘犘犉狘＝１＋狓０ ≥１，故抛物线
狔２ ＝４狓 上的点与其焦点的距离的最小值为１．
故应选 Ｂ．）
５．Ａ（∵ →犗犃 ⊥ →犃犅，狘 →犗犃狘＝１，
∴ →犗犃· →犃犅 ＝ →犗犃·（→犃犗＋ →犗犅）＝－狘 →犗犃狘２
＋ →犗犃· →犗犅 ＝－１＋ →犗犃· →犗犅 ＝０，→犗犃· →犗犅 ＝１，
∴ →犗犃·（→犗犃＋ →犗犅）＝ →犗犃２ ＋ →犗犃· →犗犅 ＝２．
故应选 Ａ．）
６．Ｂ（由折线图可知 Ａ、Ｄ 项均正确，该年第
一季度 ＧＤＰ总量和增速由高到低排位均居同
一位的省份有江苏均第一．河南均第四，共２个，
故Ｃ项正确；今年浙江省的ＧＤＰ增长率最低．故
Ｂ项不正确．
故应选 Ｂ．）
７．Ｄ（根据三视图可得直观图为四棱锥 犘－
犃犅犆犇，如图：
底面 是 一 个 直 角 梯 形，犃犇 ⊥ 犃犅，犃犇 ∥
犅犆，犃犇 ＝４，犃犅 ＝犅犆 ＝犘犗 ＝２，且犘犗 ⊥ 底
面 犃犅犆犇，∴ 该四棱锥的体积为犞 ＝ １
３犛犃犅犆犇犺
＝ １
３ × （２＋４
２
）×２×２＝４．
故应选 Ｄ．）
８．Ｃ（不等式组
狓＋狔＋１≥０
３狓－２狔＋６≥０
５狓＋狔－３≤
烅
烄
烆 ０
表示的平
面区域为图中的 △犃犅犆（包括边界），
由图知，平移直线狕＝狓－２狔，当经过点犆
时，狕＝狓－２狔 取得最小值，
易得犆（０，３），即狕＝０－６＝－６．
故应选 Ｃ．）
９．Ｃ（犫＝ｌｏｇ３２∈ （０，１），犮＝３
１
３ ＞２
１
３ ＞１，
而狔 ＝狓
１
３ 为增函数，故３
１
３ ＞２
１
３ ，即犮＞犪．
故犮＞犪＞犫．
故应选 Ｃ．）
１０．Ｃ（判断框中的条件应该满足经过第一
次循环得到１
２，
经过第二次循环得到１
２ ＋ ２
３，
经过第三次循环得到１
２ ＋ ２
３ ＋ ３
４
，
…
故判断框中的条件应该为犛 ＝犛＋ 犻
犻＋１．
故应选 Ｃ．）
—１—１１．Ｃ（∵犪２ ＋犫２ －犮２ ＝犪犫，
∴ 可得ｃｏｓ犆 ＝犪２ ＋犫２ －犮２
２犪犫 ＝ 犪犫
２犪犫 ＝ １
２，
∵犆 ∈ （０，π），∴犆 ＝ π
３
，
∵∠犃 ＝ π
４，犮＝３，
∴ 由正 弦 定 理 犪
ｓｉｎ犃 ＝ 犮
ｓｉｎ犆
，可 得：犪
槡２
２
＝
３
槡３
２
，解得犪＝ 槡６．
故应选 Ｃ．）
１２．Ａ（如图，连结 犘犉２、犗犕 ，∵犕 是犘犉１ 的
中点，
∴犗犕 是 △犘犉１犉２ 的中位线，
∴犗犕 ∥犘犉２，且狘犘犉２狘＝２狘犗犕狘＝２犪．
∵犘犉１ 与以原点为圆心犪为半径的圆相切，
∴犗犕 ⊥ 犘犉１，可得 犘犉２ ⊥ 犘犉１，
△犘犉１犉２ 中，狘犘犉１狘２＋狘犘犉２狘２ ＝狘犉１犉２狘２，
①
根据双曲线的定义，得狘犘犉１狘－狘犘犉２狘＝２犪，
∴狘犘犉１狘＝狘犘犉２狘＋２犪＝４犪，代入 ① 得
（４犪）２ ＋ （２犪）２ ＝狘犉１犉２狘２，
∴（２犮）２ ＝狘犉１犉２ 狘２ ＝ ２０犪２，解 之 得犫 ＝
２犪．由此可得双曲线的渐近线方程为狔 ＝±２狓．
故应选 Ａ．）
二、（２０分）
１３．－ １
７
（因为α∈ （π
２
，３π
２
），ｓｉｎα＝ ４
５
，所
以α∈ （π
２，π），所以ｔａｎα＝－ ４
３，
则 ｔａｎ（α ＋ π
４） ＝
ｔａｎα＋ｔａｎπ
４
１－ｔａｎαｔａｎπ
４
＝
－ ４
３ ＋１
１＋ ４
３
＝－ １
７．）
１４．１（二项式（犪狓２ ＋ １
槡狓
）５ 展开式的通项为
犜狉＋１ ＝犆狉
５犪５－狉狓１０－５
２狉，
令１０－ ５
２狉＝０，则狉＝４．
∵ 二项式（犪狓２ ＋ １
槡狓
）５ 展开式中的常数项
为５，
∴犆４
５犪５－４ ＝５．
∴犪＝１．）
１５．３＋ 槡２ ２（函数狔＝ １
狓－１＋１的图象可由
狔 ＝ １
狓
向右平移１个单位，再向上１个单位得
到，又狔＝ １
狓 是奇函数，故其对称中心为（０，０），
故犳（狓）的对称中心为（１，１），
所以２犪＋犫＝１，
１
犪 ＋１
犫 ＝ （１
犪 ＋１
犫
）（２犪＋犫）＝３＋犫
犪 ＋２犪
犫
≥３＋ 槡２ ２，当且仅当犫＝ 槡２犪时等号成立．）
１６．［０，槡２ ２］（犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＝２狘ｓｉｎ狓
－ｃｏｓ狓狘＝ 槡２ ２狘ｓｉｎ（狓－ π
４
）狘∈ ［０， 槡２ ２］．）
三、（７０分）
１７．（１）由 题 知，犪２ ＝ １６，∴犪１ ＝ 犛１ ＝
犪２ －４
３ ＝４， １分!!!!!!!!!!!!
∴３犛狀 ＝犪狀＋１ －４，∴犛狀 ＝ １
３犪狀＋１ － ４
３，
当狀≥２时，犛狀－１ ＝ １
３犪狀 － ４
３
，
两式相减可得犪狀 ＝ １
３犪狀＋１－１
３犪狀，即犪狀＋１ ＝
４犪狀， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!
因为犪２
犪１
＝４，数列｛犪狀｝为等比数列，首项为
４，公比为４，所以通项公式为犪狀 ＝４狀，狀∈ 犖 ．
６分!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）犫狀 ＝ｌｏｇ２犪狀 ＝ｌｏｇ２４狀 ＝２狀，
∴ １
犫狀犫狀＋１
＝ １
２狀×２（狀＋１） ＝ １
４
（１
狀 －
１
狀＋１）， ８分!!!!!!!!!!!!!!
∴犜狀 ＝ １
４
（１－ １
２ ＋ １
２ － １
３ ＋ … ＋ １
狀 －
—２—１
狀＋１）＝ １
４（１－ １
狀＋１）＝ 狀
４（狀＋１） １１分!
∴犜２０２０ ＝ ５０５
２０２１ １２分!!!!!!!!
１８．（１）抽取的５人中男员工的人数为５
４５×
２７＝３，
女员工的人数为５
４５×１８＝２． ４分!!!
（２）由（１）可知，抽取的５名员工中，有男员
工３人，女员工２人．
所以，随机变量 犡 的所有可能取值为０，１，
２． ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!
根据题意，犘（犡 ＝０）＝犆３
３犆０
２
犆３
５
＝ １
１０，犘（犡 ＝
１）＝ 犆２
３犆１
２
犆３
５
＝ ６
１０
，犘（犡 ＝２）＝ 犆１
３·犆２
２
犆３
５
＝ ３
１０．
随机变量 犡 的分布列是：
犡 ０ １ ２
犘 １
１０
６
１０
３
１０
数学期望犈犡 ＝０＋１× ６
１０＋２× ３
１０＝ ６
５．
１０分!!!!!!!!!!!!!!!!!
（３）狊２
１ ＝狊２
２． １２分!!!!!!!!!!
１９．（１）∵犃犅 ⊥ 平 面 犅犆犆１犅１，在 三 棱 柱
犃犅犆 －犃１犅１犆１ 中，有 犃犅 ∥ 犃１犅１，
∴犃１犅１ ⊥ 平面犅犆犆１犅１，得 犃１犅１ ⊥犅犆１，
２分!!!!!!!!!!!!!!!!
∵ 四边形犅犆犆１犅１ 是边长为２的正方形，
∴犅犆１ ⊥犅１犆，而 犃１犅１ ∩犅１犆 ＝犅１，
∴犅犆１ ⊥ 平面 犃１犅１犆； ４分!!!!!!
（２）由（１）知，犃犅 ⊥ 平面犅犆犆１犅１，又犅犆 ⊥
犅犅１，
∴ 以 犅 为坐标原点，分别以 犅犆，犅犅１，犅犃
所在直线为狓，狔，狕 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 犅（０，０，０），犆（２，０，０），犅１（０，２，０），犆１（２，
２，０），犈（０，１，１），→犆犈 ＝ （－２，１，１），犆犅→
１ ＝ （－２，
２，０），犅犆→
１ ＝ （２，２，０）， ６分!!!!!!!!
设平面犆犅１犈 的法向量为狀 ＝ （狓，狔，狕），
由 狀· →犆犈 ＝－２狓＋狔＋狕＝０
狀·犆犅→
１ ＝－２狓＋２狔 ＝｛ ０
，取狓 ＝１，
得狀＝ （１，１，１）， ９分!!!!!!!!!!
设直线犅犆１ 与平面犅１犆犈 所成角为θ，
则ｓｉｎθ＝狘ｃｏｓ＜狀，犅犆→
１ ＞狘＝ 狘狀·犅犆→
１狘
狘狀狘狘犅犆→
１狘
＝ 狘２×１＋２×１狘
１＋１＋槡 １× ４＋４＋槡 ０
＝ ４
槡２ ６
＝ 槡６
３
，
即直线犅犆１ 与平面所成角的正弦值为槡６
３．
１２分!!!!!!!!!!!!!!!!
２０．（１）由题意知
犪＝２
犮
犪 ＝ １
２
犪２ ＝犫２ ＋犮
烅
烄
烆 ２
犪＝２
犮＝１
犫＝ 槡
烅
烄
烆 ３
，
３分!!!!!!!!!!!!!!!!
由于椭圆焦点在狓轴上，所以椭圆犆的方程
为狓２
４ ＋狔２
３ ＝１． ４分!!!!!!!!!!!
（２）设 犘（犿，狀），则犙（犿，－狀），犿２
４ ＋狀２
３ ＝
１狀２ ＝３（１－犿２
４ ）． ６分!!!!!!!!!
依题意可知 －２＜ 犿 ＜２，且 犿 ≠０．
直线犃犘 的方程为狔 ＝ 狀
犿 ＋２
（狓＋２），直线
犅犙 的方程为狔 ＝ 狀
２－犿
（狓－２）． ８分!!!
由
狔 ＝ 狀
犿 ＋２
（狓＋２）
狔 ＝ 狀
２－犿
（狓－２
烅
烄
烆
）
解得
狓 ＝ ４
犿
狔 ＝２狀烅
烄
烆 犿
，
即 犕（４
犿
，２狀
犿
）． １１分!!!!!!!!!
所以 犘，犕 两点的横坐标之积为犿·４
犿 ＝
４． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!
２１．（１）由 题 可 知 犳（狓）的 定 义 域 为 （０，
＋ ∞）， １分!!!!!!!!!!!!!!!
函 数犳（狓）＝ １
２狓２＋ｌｎ狓，犳′（狓）＝狓＋１
狓 ＞
０，
所以函数犳（狓）在区间［１，犲］上是增函数．
３分!!!!!!!!!!!!!!!!
—３—犳（狓）在区间［１，犲］上的最大值为 犳（犲）＝
１
２犲２ ＋１，最小值为犳（１）＝ １
２． ５分!!!!
（２）犳（狓）＞ （１－犪）狓２，令犵（狓）＝犳（狓）－（１
－犪）狓２ ＝ｌｎ狓＋（犪－１
２
）狓２，犵′（狓）＝ （２犪－１）狓
＋ １
狓． ６分!!!!!!!!!!!!!!!
当犪≥ １
２ 时，犵′（狓）＞０，犵（１）＝犪－ １
２ ≥
０，显然犵（狓）＞０有解． ８分!!!!!!!
当犪＜ １
２
时，由犵′（狓）＝ （２犪－１）狓＋１
狓 ＝
０得狓 ＝ １
１－２槡 犪
，
当狓 ∈ （０， １
１－２槡 犪
）时，犵′（狓）＞０，
当狓 ∈ （ １
１－２槡 犪
，＋ ∞）时，犵′（狓）＜０，
故犵（狓）在 狓 ＝ １
１－２槡 犪
处 取 得 最 大 值
犵（ １
１－２槡 犪
）＝－ １
２ － １
２ｌｎ（１－２犪）．
若使犵（狓）＞０有解，只需 － １
２ － １
２ｌｎ（１－
２犪）＞０，
解得犪＞ １
２ － １
２犲．
结合犪＜ １
２，此时犪的取值范围为（１
２－１
２犲，
１
２）． １１分!!!!!!!!!!!!!!!
综上所述，犪的取值范围为（１
２－１
２犲
，＋∞）．
１２分!!!!!!!!!!!!!!!!!
２２．（１）由ρ＝４ｓｉｎθ得ρ２ ＝４ρｓｉｎθ，
２分
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
从而有狓２ ＋狔２ ＝４狔，即狓２ ＋（狔－２）２ ＝４．
４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２） 设 直 线 犾 的 参 数 方 程 为
狓 ＝３＋狋ｃｏｓπ
６
狔 ＝２＋狋ｓｉｎπ烅
烄
烆 ６
，即
狓 ＝３＋槡３
２狋
狔 ＝２＋ １
２
烅
烄
烆
狋
． ５分!!
代入圆的方程得（３＋槡３
２狋）２ ＋ （１
２狋）２ ＝４．
７分!!!!!!!!!!!!!!!!
整理得：狋２ ＋ 槡３ ３狋＋５＝０，狋１ ＋狋２ ＝－ 槡３ ３，
狋１狋２ ＝５．
由狋１ ＋狋２ ＜０且狋１狋２ ＞０， ９分!!!!
可知狘犘犃狘＋狘犘犅狘＝狘狋１狘＋狘狋２狘＝－ （狋１
＋狋２）＝ 槡３ ３． １０分!!!!!!!!!!!
２３．（１）∵狘２狓＋３狘－狘狓－１狘≤３，
∴ 狓 ≥１
２狓＋３－狓＋１≤｛ ３
或 － ３
２ ＜狓 ＜１
２狓＋３＋狓－１≤
烅
烄
烆 ３
或 狓 ≤－ ３
２
－２狓－３＋狓－１≤
烅
烄
烆 ３
． ３分!!!!
∴ 狓≥１
狓≤－｛ １
或
－ ３
２ ＜狓＜１
狓≤
烅
烄
烆
１
３
或 狓≤－ ３
２
狓≥－
烅
烄
烆 ７
．
∴ －７≤狓 ≤ １
３． ５分!!!!!!!!
即不等式犳（狓）≤３的解集为［－７，１
３
］．
６分!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）犳（狓）＞２犪－狘２狓－２狘，得狘２狓＋３狘＋
狘２狓－２狘＞２犪． ７分!!!!!!!!!!
∵狘２狓＋３狘＋狘２狓－２狘≥狘２狓＋３－２狓＋
２狘＝５，当且仅当 － ３
２ ≤狓 ≤１取“＝”．
９分
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
∴２犪＜５，犪＜ ５
２．
所以实数犪的取值范围是（－ ∞，５
２）．
１０分
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
—４—
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