专题 5.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
【考纲解读与核心素养】
1.了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，
ω，φ 对函数图象变化的影响.
2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
3.高考预测：
（1） “五点法”作图；
（2）函数图象的变换；
（3）三角函数模型的应用问题.
（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查
4.备考重点：
（1）掌握函数图象的变换；
（2）掌握三角函数模型的应用.
【知识清单】
知识点 1．求三角函数解析式
（1） 的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相，
表示一个振动量时
（2）用五点法画 一个周期内的简图
用五点法画 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
－
知识点 2．三角函数图象的变换
1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）
平移变换：左加右减，上加下减
( )siny A xω ϕ= +
( )siny A xω ϕ= + ( )0, 0A ω> >
[ )0,x∈ +∞ A 2T
π
ω= 1
2f T
ω
π= = xω ϕ+ ϕ
( )siny A xω ϕ= +
( )siny A xω ϕ= +
x
ϕ
ω−
2
ϕ π
ω ω− + π ϕ
ω
− 3
2
ϕ π
ω ω− + 2π ϕ
ω
−
xω ϕ+ 0 2
π π 3
2
π
2π
( )siny A xω ϕ= + 0 A 0 A 0把函数 向左平移 个单位，得到函数 的图象;
把函数 向右平移 个单位，得到函数 的图象;+网】
把函数 向上平移 个单位，得到函数 的图象;
把函数 向下平移 个单位，得到函数 的图象.
伸缩变换:
把函数 图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ，得到函数 的图象;
把函数 图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象;
把函数 图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 ，得到函数 的图象;
把函数 图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象.
2. 由 的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才
能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种
变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 的图象向左 或向右 平移 个单
位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍( )，便得 的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍
( )，再沿 轴向左( )或向右( )平移 个单位，便得 的图象.
注意：函数 的图象，可以看作把曲线 上所有点向左(当 时)或向右(当
时)平行移动 个单位长度而得到.
知识点 3．函数 的图象与性质的综合应用
（1） 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2）对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程 解出；它还有无穷多个对
( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= +
( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= −
( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= +
( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= −
( )y f x= 1
ω ( )( )0 1y f xω ω= < <
( )y f x= 1
ω ( )( )1y f xω ω= >
( )y f x= A ( )( )1y Af x A= >
( )y f x= A ( )( )0 1y Af x A= < <
siny x= ( )siny xω ϕ= + ( )0ω >
x
siny x= ( )0ϕ > ( )0ϕ < ϕ
1
ω 0ω > ( )siny xω ϕ= +
siny x= 1
ω
0ω > x 0ϕ > 0ϕ < ω
ϕ || ( )siny xω ϕ= +
sin( ) y xω ϕ= + siny xω= 0ϕ >
0ϕ < ϕ
ω
( )siny A xω ϕ= +
xy sin=
+−
2222
ππππ kk ， )( Zk ∈
++
2
3222
ππππ kk ， )( Zk ∈
sin( )y A xω φ= + cos( )y A xω φ= +
sin )y A xω ϕ= +（ ( )
2x k k Z
πω ϕ π+ = + ∈称中心，它们是图象与 轴的交点，可由 ，解得 ，即其对称中心
为 ．
（3）若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 .
（4） 的最小正周期都是 .
【典例剖析】
高频考点一 求三角函数解析式
【典例 1】（2020·湖南娄星�高一期末）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲
线 ，再将 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，则 的解析式为
，再将 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 ，则 的解析
式为
故选：A
【典例 2】（2020·山东五莲�高三月考）函数 的部分图象如图所示，则
__________；将函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则
__________.
x ( )x k k Zω ϕ π+ = ∈ ( )kx k Z
π ϕ
ω
−= ∈
( ),0k k Z
π ϕ
ω
− ∈
sin( )y A xω ϕ= + ( )2k k Z
πϕ π= + ∈ ( )k k Zϕ π= ∈
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 2
| |T
π
ω=
sin 2y x= π
6
1C 1C 2C 2C
πsin 3y x = +
πsin 6y x = +
πsin 3y x = −
πsin 4 3y x = +
sin 2y x= π
6 1C 1C
sin 2( ) sin(2 )6 3y x x
π π= + = + 1C 2C 2C
1sin( 2 ) sin( )2 3 3y x x
π π= × + = +
( ) sin( ) 0,| | 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > ( )0ϕ < ϕ ( )siny x ϕ= +
1
ω 0ω > ( )siny xω ϕ= + A 0A >
( )siny A xω ϕ= +【解析】根据函数 的部分图象知， ，解得 ，根
据五点法画正弦函数图象，知 时， ，解得 ，将 的图象
向左平移 个单位后，得到 ，故选 B.
2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数 的最小正周期是 ，若将
该函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式 ________.
【答案】
【解析】
因为函数 的最小正周期是 ，
所以
函数的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
因为 关于原点对称，
所以
因此
故答案为：
【总结提升】
根据函数的图象确定函数 中的参数的主要方法：
（1） 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；
（2） 主要由最小正周期 确定，而 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；
（3） 主要是由图象的特殊点的坐标确定．
( ) ( )( )sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < π
3
π ( )f x =
2sin 2 3x
π +
( ) ( )( )sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < π
2 2
ππ ωω= ∴ =
3
π sin 2( )3y x
π ϕ = − +
sin 2( )3y x
π ϕ = − +
2 2( ) ( )3 3k k Z k k Z
π πϕ π ϕ π− + = ∈ ∴ = + ∈
20 3
πϕ π ϕ< < ∴ =
( )f x = 2sin 2 3x
π +
2sin 2 3x
π +
sin( )y A xω ϕ= +
A
ω T T
ϕ高频考点二 三角函数图象的变换
【典例 3】（2018·浙江镇海中学）函数 的部分图象如图所
示，则 ________，为了得到 的图象，需将函数 的图象最少向左平移________
个单位长度．
【答案】
【解析】
由图知 ， ，所以 ，所以
把点 代入，得 ，所以
即 ，又 ，所以
所以
因为 ，所以要得到函数 的图象需将函数
的图象最少向左平移 个单位长度．
故答案为： ；
【典例 4】（2020·浙江高一课时练习）已知函数 的最小正周期为 ，则
将 的图象向________平移________个单位长度可得到函数 的图象．
【答案】左
【解析】
( ) sin( )( 0, 0, 0)f x A x Aω ϕ ω π ϕ= + > > − < <
ϕ = ( ) cosg x A xω= ( )y f x=
6
π−
3
π
2A = 2 3 6T
π π π = + =
2 2T
πω = = ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= +
,23
π
2sin 13
π ϕ + =
2 2 ( )3 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈
2 ( )6 k k Z
πϕ π= − + ∈ 0π ϕ− < <
6
πϕ = −
( ) 2sin 2 6f x x
π = −
( ) 2cos2 2sin 2 2sin 22 3 6g x x x x
π π π = = + = + − ( )g x
( )f x
3
π
6
π−
3
π
( ) sin ( , 0)4f x x x R
πω ω = + ∈ >
π
( )y f x= ( ) cosg x xω=
8
π由于 ，则 ，因此 ．
又因为 ，
假设将 的图象平移 个单位，
则 ，
故 ，得 ，所
以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度就得到函数 的图象．
故答案为：左， .
【规律方法】
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数 f(x)的图象与 f(－x)的图象关于 y
轴对称；－f(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称；－f(－x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关
于 y 轴对称．
【变式探究】
1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数 在区间 上的图象．为了得到
这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点（ ）．
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的 ，纵坐标不变
C．把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
T π= 2ω = ( ) sin 2 4f x x
π = +
( ) cos2 sin 2 2g x x x
π = = +
( )f x ϕ
( ) sin 2( ) sin 2 24 4f x x x
π πϕ ϕ ϕ + = + + = + +
2 4 2
π πϕ + =
8
πϕ =
( )y f x=
8
π ( ) cosg x xω=
8
π
sin( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈ 5,6 6
π π −
sin ( )y x x R= ∈
3
π 1
2
6
π 1
2
1
2 6
π
3
π【答案】AC
【解析】
由图象知，A=1,T=π，所以 =2，y=sin（2x+ ），将（ ，0）代入得：sin( )=0，所以 =kπ，
，取 = ，得 y=sin（2x+ ），
向左平移 ，得 ．然后各点的横坐标缩短到原来的 ，得 ．故
A 正确．
各点的横坐标缩短到原来的 ，得 ．然后向左平移 个单位，得
．故 C 正确．
故选：AC
2.（2019·江苏高三开学考试）将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位，再将图象上的
所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________．
【答案】
【解析】
将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
可得函数 的图象.
因此变换后所得图象对应的函数解析式为
ω ϕ
6
π− ϕ
3
π− ϕ
3
π−
k z∈ ϕ
3
π
3
π
siny x=
3
π sin 3y x
π = +
1
2
sin 2 3y x
π = +
siny x= 1
2
sin 2y x=
6
π sin 2 6y x
π = +
sin 2 3x
π = +
πsin 6y x = +
π
4
1 5sin 2 12y x
π = +
sin 6y x
π = + 4
π
5sin sin4 6 12y x x
π π π = + + = +
1 5sin 2 12y x
π = +
1 5sin 2 12y x
π = + 故答案为： .
【特别提醒】
1.图象的左右平移是针对 x 而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x 系数为 1，而不是对“ωx＋φ”而言
的．
2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对 x 而言的，即只是自变量 x 的系数发生改变，变为原来的1
ω倍，而
不涉及 φ．
3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度
不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|φ
ω|个单位长度，这是因为由 y＝sinωx 的图象变换为 y＝sin(ωx
＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|φ
ω|个单位长度，即 x→x＋φ
ω，ωx→ωx＋φ．
高频考点三 三角函数模型的应用
【典例 5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观
测到该处水深 （米）是随着一天的时间 呈周期性变化，某天各时刻 的水深数据
的近似值如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 2．4 1.5 0．6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从
① ， ② ，③
中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队
员安全，规定在一天中的 5～18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数
解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.
【答案】(1) 选② 做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上
5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练.
才能确保集训队员的安全.
【解析】
（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
1 5sin 2 12y x
π = +
y ( )0 24,t t≤ ≤ 单位小时 t
( )siny A tω φ= + ( )cos by A tω φ= + + siny A t bω= − +
(A 0, 0, 0)ω π φ> > − < <
( )cos by A tω φ= + + 0.9sin 1.56y t
π = + -
依题意，选② 做为函数模型，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
令 ，即
又
( )cos by A tω φ= + +
2.4 0.6 2.4 0.60.9 1.52 2A b
− +∴ = = = =
2 12 6T
π πωω= = ∴ =
0.9cos 1.56y t
π ϕ ∴ = + +
0.9 1.5 3 2.46
2.4 0.9 3 1.56
12
1
0
2
y cos t
cos
cos
sin
π ϕ
π ϕ
π ϕ
ϕ
π ϕ
πϕ
= + +
∴ = × × + +
∴ + =
∴ = −
− < <
∴ = −
又 函数 的图象过点（ ， ）
又
0.9cos 1.5 0.9sin 1.56 2 6y t t
π π π ∴ = − + = +
0.9sin 1.56y t
π = +
1.05y ≥ 0.9sin 1.5 1.056 t
π + ≥
1sin 6 2t
π ∴ ≥ −
( )72 26 6 6k t k k Z
π π ππ π∴ − ≤ ≤ + ∈
12 1 12 7k t k∴ − ≤ ≤ +
5 18t≤ ≤
∴这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全.
【规律方法】
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式探究】
据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B
(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2 )的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，9 月份价格最低为 5 千
元．则 7 月份的出厂价格为 元．
【答案】6000．
【解析】
作出函数简图如图：
三角函数模型为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝
2π
T ＝
π
6 .
高频考点四 函数 的图象与性质的综合应用
【典例 6】（2020·浙江高三专题练习）【多选题】先将函数 的图象上所有的点向右
平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后得到函数 的图象，则下列说法中正确的是
（ ）．
5 7 11 18t t≤ ≤ ≤ ≤ 或
( ) cos 2 16f x x
π = − +
4
π
( )y g x=A． 的周期是 B． 是奇函数
C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上单调递增
【答案】AD
【解析】
由题意得 的最小正周期 ，A 正确；
为偶函数，B 错误；
将 的图象上所有的点向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位后，
得到函数 ，令 ，得 ， ，
令 ，得 ，则 的图象关于点 对称，C 错误；
若 ，则 ，则 在区间 上单调递增，D 正确．
故选：AD.
【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数 在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由 ，
得 或 ，
， ．
在 的零点个数是 3，
故选 B．
【典例 8】（2017·山东高考真题（理））设函数 ，其中 .已知
( )f x π
12f x
π +
( )g x 7 ,012
π
( )g x 0, 3
π
( )f x 2
2T
π π= =
cos2 112f x x
π + = +
( )f x
4
π
( ) sin 2 26g x x
π = − + 2 6x k
π π− =
2 12
kx
π π= + k Z∈
1k = 7
12x
π= ( )g x 7 ,212
π
x∈ 0, 3
π
2 [ , ]6 6 2x
π π π− ∈ − ( )g x 0, 3
π
( ) 2sin sin2f x x x= −
( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos ) 0f x x x x x x x x= − = − = − =
sin 0x = cos 1x =
[ ]0,2πx∈ 0 π 2πx∴ = 、 或
( )f x∴ [ ]0,2π.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值 .
【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
2.研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
【变式探究】
1.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数 的
最大值为 ，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为 ，且 的图像关于点 对称，则下列
结论正确的是（ ）.
A．函数 的图像关于直线 对称
B．当 时，函数 的最小值为
C．若 ，则 的值为
D．要得到函数 的图像，只需要将 的图像向右平移 个单位
【答案】BD
【解析】
由题知：函数 的最大值为 ，所以 .
因为函数 图像相邻的两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ， ， ， .
又因为 的图像关于点 对称，
所以 ， ， .
所以 ， .因为 ，所以 .
即 .
( ) ( )sin 0, 0 2f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + >
，
2 2
π ( )f x ,012
π −
( )f x 5π
12x =
,6 6x
π π ∈ −
( )f x 2
2
−
3 2
6 5f
π α − =
4 4sin cosα α− 4
5
−
( )f x ( ) 2 cos2g x x=
6
π
( )f x 2 2A =
( )f x
2
π
2 2
T π= 2T
π πω= = 2ω = ( ) ( )2 sin 2 f x x ϕ= +
( )f x π ,012
−
2 sin =012 6f
π π ϕ
− = − +
6 kππ ϕ− + = k Z∈
6 k
πϕ π= + k Z∈
2
πϕ <
6
π=ϕ
( ) 2 sin 2 6f x x
π= +
对选项 A， ，故 A 错误.
对选项 B， ， ，
当 时， 取得最小值 ， 故 B 正确.
对选项 C， ，
得到 .
因为 ，
故 C 错误.
对选项 D，
的图像向右平移 个单位得到
，
故 D 正确.
故选：BD
2. （2020·全国高三（文））已知 ，函数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 的最大值是 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） , ;（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）由题意
由 ，得 ．
2 sin 0 25
12f π π= =
≠ ±
,6 6x
π π ∈ − 2 ,6 6 2x
π π π + ∈ −
π π2 6 6x + = - ( )f x 2
2
−
3 22 sin( 2 ) 2 cos26 2 5f
π πα α α − = − = =
3cos2 5
α =
( )( )4 4 2 2 2 2 3sin cos sin cos sin cos cos2 5
α α α α α α α− = + − = − = −
( ) 2 cos2g x x=
6
π
2 cos2 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 26 3 2 3 6y x x x x
π π π π π = − = − = + − = +
0 ϕ π≤ < 23( ) cos(2 ) sin2f x x xϕ= + +
6
π=ϕ ( )f x
( )f x 3
2
ϕ
2[ , ]3 6k k
π ππ π− − k Z∈
2
ϕ π=
( ) 1 3 1cos2 sin24 4 2f x x x= − + 1 1cos 22 3 2x
π = + +
2 2 23k x k
ππ π π− ≤ + ≤ 2
3 6k x k
π ππ π− ≤ ≤ −所以单调 的单调递增区间为 ， .
（Ⅱ）由题意 ，由于函数 的最大值为 ，即
， 从而 ，又 ，
故 ．
( )f x 2 ,3 6k k
π ππ π − − k Z∈
( ) 3 1 3 1cos cos2 sin sin22 2 2 2f x x xϕ ϕ = − − +
( )f x 3
2
2 2
3 1 3cos sin 12 2 2
ϕ ϕ − + =
cos 0ϕ = 0 ϕ π≤ <
2
πϕ =
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