专题 5.6 三角函数单元测试卷
一、单选题
1．（2020·上海静安·高一期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
故选：D
2．（2020·高二期末（文））下面函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于 A 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ，
所以，函数 为奇函数；
对于 B 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ，所以，
函数 为奇函数；
对于 C 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ，所
以，函数 为偶函数；
对于 D 选项，设 ，则 ， ，则
， ，所以，函数 为非奇非偶函数.
故选：C.
3．（2020·武威第六中学高二期末（文））函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． ，1 B． ， C． ，1 D． ，
sin 240°
1
2
− 1
2
3
2
3
2
−
( ) 3sin 240 =sin 180 +60 = sin 60 2
° ° ° − ° = −
2 siny x x= cosy x x= siny x= cosy x x= −
( ) 2 sinf x x x= R ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sinf x x x x x f x− = − − = − = −
2 siny x x=
( ) cosg x x x= R ( ) ( ) ( )cos cosg x x x x x g x− = − − = − = −
cosy x x=
( ) sinh x x= R ( ) ( ) ( )sin sin sinh x x x x h x− = − = − = =
siny x=
( ) cost x x x= − ( )1 1 cos1t = − ( ) ( )1 1 cos 1 1 cos1t − = − − − = − −
( ) ( )1 1t t− ≠ ( ) ( )1 1t t− ≠ − cosy x x= −
sin cosy x x= ⋅
π π 1
2 2π 2π 1
2【答案】B
【解析】
，
函数 的最小正周期 ，
， ，
函数 的最大值为 .
故选：B.
4．（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选
5．（2020·武威第六中学高二期末（文））若 ，且 为锐角，则 的值等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
, 为锐角,
,
,
故选：B
1sin cos = sin 22y x x x= ⋅
sin cosy x x= ⋅ 2
2T
π π= =
1 sin 2 1x− ≤ ≤ ∴ 1 1 1sin 22 2 2x− ≤ ≤
∴ sin cosy x x= ⋅ 1
2
1sin( )3 3
π α− = cos( 2 )3
π α+ =
7
9
− 2
3
2
3
− 7
9
1cos cos3 2 3 6 3sin
π π π πα α α − = − − = + =
2
2 1 72 cos2 2 1 2 13 6 6 3 9cos cos
π π πα α α ∴ + = + = + − = × − = −
A
4sin 5
α = α sin 2α
12
25
24
25
12
25
− 24
25
−
4sin 5
α = α
3cos 5
α∴ =
4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25
α α α∴ = = × × =6．（2020·高一期末）已知 ， ，则 （ ）
A． B．3 C．13 D．
【答案】D
【解析】
， ，
， ，
.
故选：D
7．（2020·高一期末）已知点 是角 终边上一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
点 是角 终边上一点， ，
， ，
.
故选：C
8．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5cos 5
α = ,02
πα ∈ − tan 4
π α + =
1
3
1
3
−
5cos 5
α = ,02
πα ∈ −
2 2 5sin 1 cos 5
α α∴ = − − = − sintan 2cos
αα α= = −
1 tan 1 2 1tan 4 1 tan 1 2 3
π αα α
+ − + = = = − − +
(6, 8)P − α 3sin 2
π α + =
4
5
− 4
5
3
5-
3
5
(6, 8)P − α ( )226 8 10r OP∴ = = + − =
6 3cos 10 5
x
r
α∴ = = = 8 4sin 10 5
y
r
α −= = = −
3 3sin sin sin cos2 2 2 5
π π πα π α α α + = + + = − + = − = −
( ) 1 πsin 22 3f x x = +
5π ππ , π12 12k k − + k Z∈ π 3ππ , π4 4k k + + k Z∈
2π ππ , π3 6k k − − k Z∈ π ππ , π4 4k k + + k Z∈【答案】A
【解析】
当 ， 时，函数 单调递增，
即当 ， 时，函数 单调递增.
故选：A
9．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数 在 上单调递减，则实数 的
一个值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，则 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 ， ，
因此 ， ，解得： ，
故选：C．
10．（2020·广西兴宁·高二期末（文））已知函数 ， ，则下列命题中：
① 的最小正周期是 ，最大值是 ；② 的单调增区问是 ；③
；④将 的图象向右平移 个单位可得函数 的图
象；其中正确个数为（ ）
π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k− ≤ + ≤ + k Z∈ ( ) 1 πsin 22 3f x x = +
5π ππ π12 12k x k− ≤ ≤ + k Z∈ ( ) 1 πsin 22 3f x x = +
( ) ( )sin 2f x x ϕ= + π0, 6
ϕ
3π
2
π
2
− π 2π
π0, 6x ∈ 3
π2 ,x ϕ ϕ ϕ + ∈ +
( ) ( )sin 2f x x ϕ= + π0, 6
π 3, 2 ,23 22k k
π πϕ ϕ π π + ⊆ + + k Z∈
22
π 3 23 2
k
k
πϕ π
πϕ π
≥ +
+ ≤ +
k Z∈ 32 2 ,2 2k k k Z
π ππ ϕ π+ ≤ ≤ + ∈
2( ) sin cos cos= +f x x x x x∈R
( )f x π 2 1
2
+ ( )f x 3 , ( )8 8k k k Z
π ππ π − + + ∈
( ) ( ) 1 sin22f x f x x
π+ − = + ( )f x
4
π 2sin sin cosy x x x= +A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
，
所以最小正周期为 ，最大值为 ，故①正确；
令 ， ，
则 ，
故单调增区间为 ，所以②正确；
.故③正确；
将 的图象向右平移 个单位后，所得图象对应的解析式为：
，
即
，
故④正确.
故选：D.
二、多选题
11．（2020·辽宁锦州·高一期末）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上
平移 1 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
1 1 2 1( ) sin2 (1 cos2 ) sin 22 2 2 4 2f x x x x
π = + + = + +
T π= 2 1
2
+
2 2 22 4 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
3 +8 8k x k
π ππ π− ≤ ≤
3 , ( )8 8k k k Z
π ππ π − + + ∈
2 2( ) sin cos cos sin cos cos2 2 2 2f x f x x x x x x x
π π π π + − = + + − − + −
2 22sin cos sin cos 1 sin2x x x x x= + + = +
( )f x
4
π
2sin cos cos4 4 4y x x x
π π π = − − + −
cos2 +11 1 1 sin 24sin 2 cos22 2 2 2 2
x xy x x
π
π
− + = − + = − +
( )2 21 1 2sin cos1 2sin sin cos sin2 2
x xx x x x
+= − − + = +
( ) π3 cos 2 13f x x = + −
π
3
( )g x ( )g x
πB．图象关于点 对称
C．图象关于 轴对称
D．在区间 上单调递增
【答案】ABC
【解析】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得 的图象，
再向上平移 1 个单位长度，得到函数 的图象．
关于函数 ，
它的最小正周期为 ，故 正确；
令 ，求得 ，可得它的图象关于点 ， 对称，故 正确；
由于它是偶函数，故它的图象关于 轴对称，故 正确；
在区间 ， 上， ， 单调递增，故 单调递减，故 错误，
故选：ABC．
12．（2020·山东高一期末）已知函数 f（x）＝sin（2x+ ），将 f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，则（ ）
A．当 x＝ 时，g（x）取最小值
B．g（x） 在[ ， ]上单调递减
C．g（x）的图象向左平移 个单位后对应的函数是偶函数
D．直线 y＝ 与 g（x）（0＜x＜ ）图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【解析】
π ,04
y
π ,π2
( ) 3 cos(2 ) 13f x x
π= + −
3
π
3 cos(2 ) 1 3 cos2 1y x xπ= + − = − −
( ) 3 cos2g x x= −
( )g x
2
2
π π= A
4x
π= ( ) 0g x = ( 4
π
0) B
y C
( 2
π )π 2 ( ,2 )x π π∈ cos2y x= ( ) cos2g x x= − D
3
π 1
2
7
24
π
12
π
3
π
24
π
1
2
3
2
π 19
4
π由条件可知
当 时， ，此时 ，取得最小值，所以 A 正确；
当 时， ，当 ，即 ，此时函数单调递减，
当 ，即 时，函数单调递增，故 B 不正确；
向左平移 个单位后得到函数 ，函数是偶函数，
故 C 正确；
，解得： ，解得： ，
或 ，解得： , ,
因为 ，所以 或
所以交点的横坐标之和为 ，故 D 正确.
故选：ACD
13．（2020·山东滨州·高二期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象
对应的函数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上恰有 4 个极值点
【答案】AD
【解析】
( ) sin 4 3g x x
π = +
7
24x
π= 34 3 2x
π π+ = ( ) 1g x = −
,12 3x
π π ∈
2 54 ,3 3 3x
π π π + ∈
2 34 ,3 3 2x
π π π + ∈
7,12 24x
π π ∈
3 54 ,3 2 3x
π π π + ∈
7 ,24 3x
π π ∈
( )g x
24
π
sin 4 sin 4 cos424 3 2y x x x
π π π = + + = + =
1sin 4 3 2x
π + = 4 2 ,3 6x k k Z
π π π+ = + ∈
2 24
kx
π π= − k Z∈
54 2 ,3 6x k k Z
π π π+ = + ∈
2 8
kx
π π= + k Z∈
30 2x
π< < 11 23 35, ,24 24 24x
π π π= 5 9, , ,8 8 8x
π π π=
19
4
π
( ) 2sin 2 3f x x
π = + 4
π
( )y g x=
( )g x
3x
π=
( )g x ,03
π−
( )g x 5,24 24
π π −
( )g x [ ]0,2π将函数 的图象向右平移 个单位长度后得
因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，即 A 正确；
因为 ，所以函数 的图象不关于点 对称，即 B 错误；
因为 ，所以函数 单调递增，即 C 错误；
因为 ，所以当 时函数 取得极值，即函数
在 上恰有 4 个极值点，D 正确；
故选：AD
14．（2020·全国高三其他（理））已知函数 的图象的一条对称轴为 ，其中 为常
数，且 ，则以下结论正确的是( )
A．函数 的最小正周期为
B．将函数 的图象向左平移 所得图象关于原点对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 在区间 上有 66 个零点
【答案】AC
【解析】
由函数 的图象的一条对称轴为 ，
得 ，因为 ，
所以 ，则 ，所以周期 ，A 项正确；
将函数 的图象向左平移 ，
( ) 2sin 2 3f x x
π = + 4
π
( ) 2sin 2( ) cos(2 )4 3 3g x x x
π π π = − + = − +
( ) 13g
π = ( )g x
3x
π=
1( )3 2g
π− = − ( )g x ,03
π−
5 3, ,2 ,24 24 3 4 4x x
π π π π π ∈ − + ∈
( )g x
[ ]0,2 ,2 [ ,4 ]3 3 3x x
π π ππ π∈ + ∈ + 2 ,2 ,3 ,43x
π π π π π+ = ( )g x
( )g x [ ]0,2π
( ) 2sin( )6f x x
πω= − x π= ω
(0,1)ω ∈
( )f x 3π
( )f x
6
π
( )f x [ , ]6 2
π π−
( )f x (0,100 )π
( ) 2sin( )6f x x
πω= − x π=
( )6 2k k
π πωπ π− = + ∈Z (0,1)ω ∈
20, 3k ω= = 2( ) 2sin( )3 6f x x
π= −
2 32
3
T
π π= =
( )f x
6
π得 ，
显然 的图象不关于原点对称，B 项错误：
由 ，取 ，得 ，
即 ，是函数 的一个单调递增区间，又 ，
所以函数 在区间 上单调递增，C 项正确；
由 ，得 ，解得 ，由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上有 67 个零点，D 项错误.
故选：AC.
三、填空题
15．（2020·上海静安·高一期末）函数 的定义域为______
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案：
16．（2020·上海静安·高一期末）已知 ， ,则 ________.
【答案】
【解析】
因为 ， ,
又 ，
2 2( ) ( ) 2sin[ ( ) ] 2sin( )6 3 6 6 3 18g x f x x x
π π π π= + = + − = −
( )g x
22 2 ( )2 3 6 2k x k k
π π ππ π− − + ∈Z 0k =
2 x
π π−
[ , ]2
π π− ( )f x [ , ] [ , ]6 2 2
π π π π− ⊆ −
( )f x [ , ]6 2
π π−
( ) 0f x = 2 ( )3 6x k k
π π− = ∈Z 3 ( )2 6x k
ππ= + 30 ( ) 1002 6k
ππ π< + < 1 66.56 k− < <
k Z∈ 0,1,2, ,66k = ( )f x (0,100 )π
( ) tan 6f x x
π = +
,3x x k k Z
ππ ≠ + ∈
,6 2x k k Z
π π π+ ≠ + ∈ ,3x k k Z
π π≠ + ∈
( ) tan 6f x x
π = + ,3x x k k Z
ππ ≠ + ∈
,3x x k k Z
ππ ≠ + ∈
2tan( ) 5
α β+ = 1tan( )4 4
πβ − = tan( )4
πα + =
3
22
2tan( ) 5
α β+ = 1tan( )4 4
πβ − =
( ) ( )4 4
π πα α β β+ = + − −所以 = ，
故答案为 .
17．（2020·高一期末）已知函数 （其中 ，
）的图象关于点 成中心对称,且与点 相邻的一个最低点为 ，则对
于下列判断：
①直线 是函数 图象的一条对称轴；②函数 为偶函数；
③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 .
其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）
【答案】②③
【解析】
函数 （其中 ， ）的图象关于点 成中心对称,且与
点 相邻的一个最低点为 ，，
则： ，
所以 ， 进一步解得：
由于 （其中 ， ）的图象关于点 成中心对称,，所
以：
解得： ，由于 ，
所以：当 时， ．
所以：
①当 时， 故错误．
tan( ) tan( )4tan( ) tan[( ) ( )]4 4 1 tan( ) tan( )4
πα β βπ πα α β β πα β β
+ − −
+ = + − − =
+ + −
2 1
35 4
2 1 221 5 4
−
=
+ ×
3
22
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A >
0,0ω ϕ π> < < M 5( ,0)12
π
M 2( , 3)3
π −
2x
π= ( )f x ( )3y f x
π= −
1y = 35( )( )12 12y f x x
π π= − ≤ ≤ 7π
( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0,0ω ϕ π> < < M 5 ,012
π
M 2 , 33
π −
2 5
4 3 12 4
T π π π−＝ ＝
T π=： 3 2 6f x sin x
π = + （ ） ． 2 2 3A
πω π =＝ ＝ ，
( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0,0ω ϕ π> < < M 5 ,012
π
52 12 k k Z
π ϕ π⋅ + ∈＝ （ ），
5 ,6k k Z
πϕ π − ∈＝ 0 ϕ π< <
1k =
6
πϕ＝
2x
π= 332 6 2f sin
π ππ = + = − （ ） ．②
则 为偶函数，故正确．
③由于：
则：
所以函数 的图象与 有 6 个交点．
根据函数的交点设横坐标为
根据函数的图象所有交点的横标和为 ．故正确．
故答案为②③
四、双空题
18．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若 ，则 ________，
________.
【答案】
【解析】
，故 .
故答案为： ； .
19．（2020·浙江衢州·高一期末）已知 ， ，若 ， ，则
________， ________.
【答案】 ；
【解析】
因为 ， ，
3 2 3 263 3f x sin x cos x
ππ π − − + = −
＝ ．
3y f x
π = −
35
12 12x
π π− ≤ ≤ ，
0 2 66x
π π≤ + ≤ ，
( )f x 1y =
1 2 3 4 5 6x x x x x x、 、 、 、 、 ，
7π
1sin 2 3
π α + = cosα = cos2 cosα α+ =
1
3
4
9
−
1sin cos2 3
π α α + = =
2 4cos2 cos 2cos 1 cos 9
α α α α+ = − + = −
1
3
4
9
−
0, 2
πα ∈ ,2
πβ π ∈
1cos 3
β = − 7sin( ) 9
α β+ =
sin β = sinα =
2 2
3
1
3
,2
πβ π ∈
1cos 3
β = −所以 ；
又 ，所以 ， ，
由 ，所以 ，
．
故答案为： ， ．
20．（2019·浙江高三月考）已知 ， 为锐角，且 ， ，则 ______，
______．
【答案】
【解析】
∵ 是锐角， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 是锐角，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
.
综上： ， .
2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3
β β= − = − − =
(0, )2
πα ∈ ( 2
πα β+ ∈ 3 )2
π
7sin( ) 9
α β+ = 27 4 2cos( ) 1 ( )9 9
α β+ = − − = −
sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sinα α β β α β β α β β= + − = + − +
7 1 4 2 2 2( ) ( )9 3 9 3
= × − − − ×
1
3
=
2 2
3
1
3
α β 3tan 4
α = ( ) 5sin 5
α β− = cos2 =α
( )tan α β+ =
7
25
41
38
α 3tan 4
α =
3sin 5
α = 4cos 5
α =
2
2 4 7cos2 2cos 1 2 15 25
α α = − = × − =
3 4 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25
α α α= ⋅ = × × =
24tan 2 7
α =
α β
2 2
π πα β− < − <
5sin( ) 5
α β− = 2 5cos( ) 5
α β− = 1tan( ) 2
α β− =
[ ]
24 1
tan 2 tan( ) 417 2tan( ) tan 2 ( ) 24 11 tan 2 tan( ) 381 7 2
α α βα β α α β α α β
−− −+ = − − = = =+ ⋅ − + ×
7cos2 25
α = 41tan( ) 38
α β+ =21．（2020·浙江慈溪·高二期末）已知函数 ，则 ______；函数
在 上的值域为______.
【答案】0
【解析】
由题可知：
则
所以 ，
则
由 ，所以 ，
又函数 在 单调递减，在 单调递增
当 ，即 时，
当 ，即 时，
所以函数 在 上的值域为
故答案为： ，
五、解答题
( ) 2 33 cos sin cos 2f x x x x= − −
6f
π =
( )f x 0, 2
π
31, 2
−
( ) 2 33 cos sin cos 2f x x x x= − −
( ) cos2 1 1 3 3 13 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2
+ = − − = −
xf x x x x
( ) cos 2 6f x x
π = +
cos 2 06 6 6
π π π = × + = f
0, 2x
π ∈
72 ,6 6 6
π π π + ∈ x
cosy t= ,6
π π
7, 6
ππ
2 6x
π π+ = 5
12x
π= ( )min cos 1π= = −f x
2 6 6x
π π+ = 0x = ( )max
3cos 6 2
π= =f x
( )f x 0, 2
π
31, 2
−
0 31, 2
−
22．（2020·武威第六中学高二期末（文））已知 .
(1)化简 ；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)根据诱导公式
,
所以 ;
(2)由诱导公式可知 ,即 ,
又 是第三象限角,
所以 ,
所以 .
23．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）函数 且 的部分图象如
图所示.
( )
( ) ( )
( )
3sin cos 2 cos 2
cos sin2
f
ππ α π α α
α π α π α
− − − = − − −
( )f α
α ( ) 1sin 5
α π− = ( )f α
( ) cosf α α= − 2 6
5
( )
( ) ( )
( )
3sin cos 2 cos 2
cos sin2
f
ππ α π α α
α π α π α
− − − = − − −
( )sin cos sin
sin sin
α α α
α α
⋅ ⋅ −= ⋅
cosα= −
( ) cosf α α= −
( )sin sinα π α− = − 1sin 5
α = −
α
2 2 6cos 1 sin 5
α α= − − = −
( ) 2 6= cos 5f α α− =
( ) sin( )( 0f x A x Aω ϕ= + > 0,0 )2
πω ϕ> < − < x
2, 3
πω ϕ= = − ,3x k x k k Z
ππ π < < + ∈
( )f x π 2 2T
π π ωω∴ = = ⇒ =
3cos 24 4 2f
π π ϕ = × + =
3sin 2
ϕ = − 02
π ϕ− < 2 2 23 3 3k x k
π π ππ π⇔ − < − < + k Z∈
3k x k
ππ π< < + k Z∈
( ) 1
2f x > ,3x k x k k Z
ππ π < < + ∈
( ) Asin( )( 0, 0,| | )2f x x A
πω ϕ ω ϕ= + > > <
A ω ϕ
( )y f x= [ ]1,2
( )y f x= [ ],a b b a−
1A = ω π=
3
πϕ = − [1 11]6
[2019 2020)【解析】
（1）由题可得 ， ，则 ，
当 时， 取得最大值，则 ，
所以 ，
又因为 ，故 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ， ，
则 ， ，
故 的单调递减区间为 ， ，
则 在 ， 上的单调递减区间为 ， ；
（3）令 ，则 ，解得 ， ，
所以 在 上有两个零点，因为 周期为 2，
若函数 在区间 ， 上恰有 2020 个零点，
则 ，
解得 的取值范围为 ， ．
1A = 4 12( ) 23 3T = − = 2
T
πω π= =
5
6x = ( )f x 5 2 ( )6 2 k k Z
ππ ϕ π+ = + ∈
2 ( )3 k k Z
πϕ π= − + ∈
| | 2
ϕ π<
3
πϕ = −
( ) s in ( )3f x x
ππ= −
32 22 3 2k x k
π π ππ π π+ − + k Z∈
5 112 26 6k x k+ + k Z∈
( )f x 5[ 26 k+ 11 2 ]( )6 k k Z+ ∈
( )f x [1 2] [1 11]6
( ) sin( ) 03f x x
ππ= − =
3x k
ππ π− = 1
3x k= + k Z∈
( )f x 1 7[ , )3 3
( )f x
( )y f x= [a ]b
1009 2 1 1010 2b a× + − < ×
b a− [2019 2020)
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