2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解6-1 平面向量的概念及其线性运算

专题 6.1 平面向量的概念及其线性运算 【考纲解读与核心素养】 1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量 相等、平行向量、向量夹角的概念. 2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义. 3.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的 线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多. （3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以 工具的形式出现．. 5.备考重点： (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键； (2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法. 【知识清单】 知识点 1．向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点 2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (1)交换律： ； (2)结合律： a b b a＋ ＝ ＋ ( +( )a b c a b c＋ ) + ＝ ＋平行四边形法则 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ  a b a b>  a b b c   ∥ ，∥ a c ∥ 0b =  a b b c   ∥ ，∥ a c综上，以上正确的命题个数是 0． 故选 A． 【典例 2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ） A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【答案】D 【解析】 A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确； B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确； C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确； D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确. 【易错提醒】 1．有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． (5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 【变式探究】 1. 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若 是不共线的四点，则 ＝ 是四边形 为平行四边形的充要条件； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解析】　①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线． ②正确．∵ ＝ ，∴| |＝| |且 ∥ . 又∵ 是不共线的四点， OA AO OA AO A B C D， ， ， AB DC ABCD C AB DC AB DC AB DC A B C D， ， ，∴四边形 是平行四边形． 反之，若四边形 是平行四边形，则 且 与 方向相同，因此 ＝ . ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线． 选 . 2. 设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝ |a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综 上所述，假命题的个数是 3. 【总结提升】 (1)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量，－ a |a|是与 a 反方向的单位向量． (2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． （4）几个重要结论 ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 高频考点二 平面向量的线性运算 【典例 3】（2018 年新课标 I 卷理）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据向量的运算法则，可得 ABCD ABCD AB CD∥ AB DC AB DC 0λ µ＝ ＝ C ， 所以 ，故选 A. 【典例 4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形 中，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵ ∴ ∴ . 故选： D. 【规律方法】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形 法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． 2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． ABCD 4CE ED=  BE = 3 4 AB AD− +  4 5 AB AD−  4 5AB AD− +  4 5 AB AD− +  4CE ED=  4 5CE CD = 4 4 5 5BE BC CE BC CD AB AD= + = + = − +      【变式探究】 1.（2019·浙江高一期末）已知点 G 为 的重心，若 ， ，则 =( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设 是 中点，则 ，又 为 的重心，∴ ． 故选 B． 2.（2019·广东高考模拟（理））已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，所以 = + = ） （ ）+ = ，所以 , 故选：A 【总结提升】 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线 等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 高频考点三 利用向量线性运算求参数 【典例 5】（2019·北京高考模拟（文））设 为 的边 的中点， ，则 的值分 ABC∆ AB a=  AC b=  BG 2 1 3 3a b+  2 1 3 3 − + a b 2 1 3 3a b−  2 1 3 3a b− −  D AC 1 ( )2BD BA BC= +   G ABC∆ 2 3BG BD=  2 1 ( )3 2 BA BC= × +  1 1 2 1( ) ( )3 3 3 3BA BC AB AC AB AB AC= + = − + − = − +       2 1 3 3a b= − +  A B C O 16 12 3 0OA OB OC− − =    12 3OA AB AC= +   12 3OA AB AC= −   12 3OA AB AC= − +   12 3OA AB AC  = − − A B C O 16OA 12OB 3OC 0− − =   16OA 12OB 3OC− −   12 12 3 3OA OB OA OC− + −    OA 12 OA OB （ − 3+ OA OC−  OA 0 12 3OA AB AC= +   E ABC AC +  BE mAB nAC= ,m n别为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵ （ ） - ∴m n 故选：A． 【典例 6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形 ABCD 为正方形， ，AP 与 CD 交于 点 E，若 ，则 = . 【答案】 . 【解析】 由题作图如图所示， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ . 故答案为： . 【总结提升】 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求． 11, 2 − 1 , 12 − 1 ,12 − 11, 2 1BE 2  = BA BC+  BA BA AC 2 + += =    1AB AC2 +  1,= − 1 2 = 3BP CP=  PE mPC nPD= +   m n− 1 3 3BP CP=  3BP CP= 3AB CE CD= = ( )1 1 2 1 3 3 3 3PE PC CE PC CD PC PD PC PC PD= + = + = + − = +          2 1 1 3 3 3m n− = − = 1 3【变式探究】 1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形 中， 为 的中点，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 由题得 , . 故选：B 2.（2020·全国高一课时练习）已知 x,y 是实数,向量 不共线,若 ,则 ________, ________. 【答案】 【解析】 因为向量 不共线， 所以向量 均不为零向量， 解得 故答案为： ； 高频考点四 共线向量及其应用 【典例 7】设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 【答案】（1）见解析；（2）k＝±1. ABCD E DC AE AB ACλ µ= +   λ µ+ 1 2 − 1 2 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC= + = + = − + = − +          1 1, 1,2 2 λ µ λ µ∴ = − = ∴ + = ,a b  ( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − =  x = y = 1 2 1 2 ,a b  ,a b  ( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − =    1 0 0 x y x y + − =∴ − = 1 2 1 2 x y  =∴  = 1 2 1 2【解析】 (1)证明：∵AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， ∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB → ， ∴AB → ，BD → 共线． 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． (2)假设 ka＋b 与 a＋kb 共线， 则存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0. 消去 λ，得 k2－1＝0，∴k＝±1. 【典例 8】已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，求 x＋y 的值． 【答案】 【解析】由于 A，B，P 三点共线，所以向量AB→ ，AP→ 在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数 λ 使AP→ ＝λAB→ ，即OP→ －OA→ ＝λ(OB→ －OA→ )，所以OP→ ＝(1－λ)OA→ ＋λOB→ ，故 x＝1－λ，y＝λ，即 x＋y＝1． 【规律方法】 1.平面向量共线定理的三个应用 2.求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得到三点共线． (3)直线的向量式参数方程：A，P，B 三点共线⇔OP → ＝(1－t)·OA → ＋tOB → (O 为平面内任一点，t∈R)． 【变式探究】 1. 设 是不共线的两个向量，已知 ， ，则( ) A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】D 【解析】 由题意 ， 则 ， 即 ，所以 ，所以 三点共线. 2.（2020·上海高三专题练习）设 是不共线的两个向量,已知 ， ， 若 A、B、D 三点共线,求 k 的值. 【答案】 =1，k=－1 【解析】 由 A、B、C 三点共线，存在实数 ，使得 ∵ ∴ 故 又 a,b 不共线 ∴ =1，k=－1 【总结提升】 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． ,a b  2AB a kb= +  BC a b= +  2CD a b= −  λ λ AB BDλ=  , 2BC a b CD a b= + = −    2BD BC CD a b= + = −    ( )2 2a kb a bλ+ = −   λ(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不 重合．