专题 7.2 等差数列及其前 n 项和
【考纲解读与核心素养】
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
6.高考预测：
（1）利用方程思想进行基本量的计算.
（2）等差、等比数列的综合问题.
7.备考重点:
(1)方程思想在数列计算中的应用;
(2)等差数列的通项公式、前 n 项和公式的综合应用.
【知识清单】
知识点 1．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.用递推公式表示为
或 .
2.等差数列的通项公式： ；
说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减
数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项,其中 .
， ， 成等差数列 .
4.要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前
一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
知识点 2．等差数列的前 n 项和
2
d
1 ( 2)n na a d n−− = ≥ 1 ( 1)n na a d n+ − = ≥
1 ( 1)na a n d= + −
A P d 0> 0d = 0d <
a A b A a b 2
a bA
+=
a A b ⇔
2
a bA
+=等差数列的前 和的求和公式： .
知识点 3．等差数列的相关性质
1.等差数列的性质：
（1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： ， ， ， ，……； ，
， ， ，……；
（3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；
（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则 ,特殊地，
时，则 ， 是 的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 成等差数列.
（6）两个等差数列 与 的和差的数列 仍为等差数列．
（7）若数列 是等差数列,则 仍为等差数列．
2．设数列 是等差数列，且公差为 ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 项，则① ； ②
；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 项，则① (中间项)；② .
3. ,则 , .
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差
是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若 与 为等差数列，且前 项和分别为 与 ，则 .
6．等差数列的增减性： 时为递增数列，且当 时前 n 项和 有最小值． 时为递减数列，
且当 时前 n 项和 有最大值．
【典例剖析】
高频考点一 ：等差数列的基本运算
n 1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n nS na d
+ −= = +
{ }na
{ }na 1a 3a 5a 7a 3a
8a 13a 18a
{ }na m n N+∈ ( )n ma a n m d= + − n ma ad n m
−= − ( )m n≠
{ }na m n p q N+∈ m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +
2m p q= + 2 m p qa a a= + ma p qa a、
2 3 2, ,n n n n nS S S S S− −
{ }na { }nb { }n na b±
{ }na { }nka
{ }na d 2n -S S nd=奇 偶
1
n
n
S a
S a +
=奇
偶
2 1n − S S−偶 奇 na a= = 中 1
S n
S n
= −
奇
偶
( ),p qa q a p p q= = ≠ 0p qa + = m n m nS S S mnd+ = + +
{ }na { }nb n nS 'nS 2 1
2 1'
m m
m m
a S
b S
−
−
=
0d > 1 0a < nS 0d <
1 0a > nS【典例 1】（2019·江苏高考真题）已知数列 是等差数列， 是其前 n 项和.若
，则 的值是_____.
【答案】16.
【解析】
由题意可得： ，
解得： ，则 .
【典例 2】（2018·全国高考真题（理））设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设该等差数列的公差为 ，
根据题中的条件可得 ，
整理解得 ，所以 ，故选 B.
【规律方法】
1．活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 和 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项
公式 及前 项和公式 ，共涉及五个量 ，
知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准
它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 、 ，掌握好设未知数、
列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 ；四个数成等差数列，一般设为
.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
3.等差数列的前 n 项和公式
*{ }( )na n∈N nS
2 5 8 90, 27a a a S+ = = 8S
( )( ) ( )2 5 8 1 1 1
9 1
4 7 0
9 89 272
a a a a d a d a d
S a d
+ = + + + + = ×= + =
1 5
2
a
d
= −
= 8 1
8 78 40 28 2 162S a d
×= + = − + × =
1a d
1 ( 1)na a n d= + − n 1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n nS na d
+ −= = + 1, , , ,n na d n a S
1a d
, ,a d a a d− +
3 , , , 3a d a d a d a d− − + +若已知首项 和末项 ，则 ，或等差数列{an}的首项是 ，公差是 ，则其前 项和公式
为 .
【变式探究】
1.（浙江省名校联盟 2018 年第二次适应与模拟）数列 是等差数列， ， ，则 （ ）
A． 16 B． -16 C． 32 D．
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
可得 ，故选 D.
2. （2018·北京高考真题（理））设 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为
__________．
【答案】
【解析】
高频考点二：等差数列的判定与证明
【典例 3】17．（2020·全国高三其他（理））数列 中， ， ，则 （ ）
A．2019 B．2020 C．4039 D．4040
【答案】B
【解析】
分析：
根据题中所给的条件 ，类比着写出 ，两式相减可得 ，从而
可得数列 隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得 ，利用通项
公式求得 ，得到结果.
详解：
∵ ①，
1a na 1( )
2
n
n
n a aS
+= 1a d n
1
( 1)
2n
n nS na d
−= +
{ }na 1 0a = 1 2n na a n++ = 2020a =
1 2n na a n++ = ( )1 2 2 1n na a n+ ++ = + 2 2n na a+ − =
{ }na 2 12 1 2a a= × − =
2020 2020a =
1 2n na a n++ =∴ ②，
② ①得 ，
∴数列 的偶数项是以 为首项，2 为公差的等差数列.
∴ .
故选：B.
【典例 4】（2019·浙江高考模拟）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 S2＝8， ．
（I）求 a1，a2 并证明数列{ }为等差数列；
（II）若不等式 对任意正整数 n 恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（I） ， ，见证明（II）
【解析】
（I） ， ，得 .
，则 ，
两式相减得 ，
即 ①
②
② ①得 ，
即 ，
故数列 为等差数列.
（II）由（I）可得 ，
由 得 对任意正整数 恒成立， ，
令 ，
( )1 2 2 1n na a n+ ++ = +
− 2 2n na a+ − =
{ }na 2 12 1 2a a= × − =
( )2020 2 1010 1 2 2020a a= + − × =
2 ( 1) 1n nS n a n= + + −
na
2 0n
nSλ − >
1 3a = 2 5a = 2λ >
2 22 3 1S a= + 2 8S = 2 5a = 1 3a∴ =
( )2 1 1n nS n a n= + + − ( )1 12 2n nS n a n+ += + +
( ) ( )1 12 2 1 1n n na n a n a+ += + − + +
( )1 1 1 0n nna n a+ − + + =
( ) ( )2 11 2 1 0n nn a n a+ +∴ + − + + =
- ( ) ( ) ( )2 11 2 2 1 0n n nn a n a n a+ ++ − + + + =
2 12 0n n na a a+ +− + =
{ }na
2 1na n= + 2 2nS n n∴ = +
2 0n
nSλ ⋅ − > ( )2
2n
n nλ +> n
( )
max
2
2n
n nλ +∴ >
( )2
2n n
n nb
+=，
，
.
【规律方法】
1.等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列;
(3)通项公式： ( 为常数, )⇔ 是等差数列;
(4)前 项和公式： ( 为常数, )⇔ 是等差数列;
(5) 是等差数列⇔ 是等差数列.
2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第 2 项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证 a2－a1＝
d 这一关键条件.
（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 验证即可．
（3）形如 an＋1＝ kan
man＋k
的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）
求解（）见【变式探究】2）.
【变式探究】
1.（2016·浙江高考真题（理））如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
，
.（ ）
若
A． 是等差数列
B． 是等差数列
2
1 1
3 2
2n n n
nb b+ +
−∴ − =
1 2 3 4b b b b∴ > > ( ) 2max 2nb b∴ = =
2λ∴ >
{ }na daa nn =−+1 ( )n N∈ ∗ { }na
{ }na 212 ++ += nnn aaa ( )n N∈ ∗ { }na
na pn q= + ,p q n N∈ ∗ { }na
n 2
nS An Bn= + ,A B n N∈ ∗ { }na
{ }na nS
n
1 2 3, ,a a aC． 是等差数列
D． 是等差数列
【答案】A
【解析】
表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半，即 ，由题目中条件可
知 的长度为定值，那么我们需要知道 的关系式，由于 和两个垂足构成了直角梯形，那么
，其中 为两条线的夹角，即为定值，那么 ，
，
作差后： ，都为定值，所以 为定值．故选 A．
2．（2019·上海高二期中）已知数列 满足： ， .
（1）计算数列的前 4 项；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1） 、 、 、 （2）
【解析】
（1） ,可得 ; ,可得 ; ,可得 .
故数列 的前 4 项为 、 、 、 .
（2）将 等号两端取倒数得, ,
则 ,即数列 是以 为首项,公差为 1 的等差数列,
则 ,即 .
故 的通项公式为 .
高频考点三 等差数列的性质及应用
【典例 5】(2019·武汉调研)在等差数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足 S7－S2＝45，则 a5＝( )
{ }na 1
1
2a = 1 1
n
n
n
aa a+ = +
{ }na
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1na n
= +
1n = 1
2
1
1
1 3
aa a
= =+ 2n = 2
3
2
1
1 4
aa a
= =+ 3n = 3
4
3
1
1 5
aa a
= =+
{ }na 1
2
1
3
1
4
1
5
1 1
n
n
n
aa a+ = + 1
1 11
n na a+
= +
1
1 1 1
n na a+
- = 1{ }
na 1
1 2a
=
1 2 1 1
n
n na
= + − = + 1
1na n
= +
{ }na 1
1na n
= +A．7 B．9
C．14 D．18
【答案】B
【解析】
解法一 因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以 a5＝9，故选 B.
解法二 设等差数列{an}的公差为 d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，
所以 ，
整理得 a1＋4d＝9，
所以 a5＝9，
故选 B.
【典例 6】（2019·湖北高考模拟（文））等差数列 中， ， ，则 与 等差中项的值为
_____
【答案】11
【解析】
根据题意，等差数列 中， ， ，
则有 ，
则 与 等差中项为 ；
故答案为：11．
【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前 n 项和
公式求解．
【变式探究】
1．（2018·浙江高考模拟）在等差数列 中，若 ，且它的前 项和 有最小值，则当 时，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵数列 是等差数列，它的前 项和 有最小值
1 1
7 6 )2 52 (7 4a d a d
× ⋅＋ － ＋ ＝
{ }na 1 1a = 9 21a = 3a 7a
{ }na 1 1a = 9 21a =
1 9 3 7 22a a a a+ = + =
3a 7a ( )3 7
1 112 a a+ =∴公差 ，首项 ， 为递增数列
∵
∴ ，
由等差数列的性质知： ， .
∵
∴当 时， 的最小值为 16．
故选 C.
2.（2020·浙江湖州�高二期末）《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月
日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天
织了 5 尺布，现在一个月共织了 390 尺布（按 30 天计），记该女子第 天织布的量为 ，则
_________，每天比前一天多织布________尺.
【答案】26
【解析】
由题数列 是公差为 等差数列，则 ，得 ，
故 ，又 ，得 ，得 ，
得 .
故答案为：26； .
高频考点四 等差数列的前 项和公式的综合应用
【典例 7】（2020·浙江湖州�高一期末）设公差为 d 的等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，
，则 ________， 取最小值时， ________．
【答案】3 4
【解析】
因为 是等差数列，所以 ，解得 ，
n na 13 18a a+ =
16
29
{ }na d 1 30
30
30( ) 3902
a aS
+= = 1 30 26a a+ =
13 18a a+ = 1 30 26a a+ = 1 5a = 30 21a = 1 29a d= + 21 5 29d= +
16
29d =
16
29
{ }na nS 4 2a = −
8 4S = − d = nS n =
{ }na
4 1
8 1
3 2
8 78 42
a a d
S a d
= + = − ×= + = −
1 11
3
a
d
= −
=所以 ，
因为 的图象开口向上，对称轴为 ，
由 ，所以当 时， 取最小值.
故答案为: ; .
【典例 8】（2019·北京高考模拟（文））等差数列 满足 ，则 a5=______；若
，则 n=______时，{an}的前 n 项和取得最大值．
【答案】4 6
【解析】
等差数列 满足 ，
所以 ，即 ，
，所以 ，所以 ．
令 ，解得 ，所以 的前 6 项和取得最大值．
故填：4，6．
【规律方法】
1.要注意等差数列前 n 项和公式的灵活应用，
如 等．
2．求等差数列前 项和的最值，常用的方法：
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当 ， 时， 有
最大值； ， 时， 有最小值；若已知 ，则 最值时 的值（ ）则当 ，
，满足 的项数 使得 取最大值，(2)当 ， 时，满足 的项数 使得
取最小值.
（2）利用等差数列的前 n 项和： ( 为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，
二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（ ,递增； ，递
( ) ( ) 2
1
1 3 1 3 25112 2 2 2n
n n n nna d nS n n
− −= + = − + = −
( ) 23 25
2 2f x x x= − 25
2 6
bx Na
∗= − = ∉
25 254 56 6
− < − 4n = nS
3 4
{ }na 2 5 9 6 8a a a a+ + = +
1 16a =
{ }na 2 5 9 6 8a a a a+ + = +
1 13 13 5 8a d a d+ = + + 5 4a =
1 16a = 5 14 4 16d a a= − = − 3d = −
1
0
0
n
n
a
a +
>
0d < nS
1 0a < 0d > nS na nS n n N+∈ 1 0a >
0d <
1
0
0
n
n
a
a +
≥
≤ n nS 1 0a < 0d >
1
0
0
n
n
a
a +
≤
≥ n nS
2
nS An Bn= + ,A B n N∈ ∗
0d > 0d 2 2017 0a a+ = 2018S =
nS n =
1 0a > 2 2017 0a a+ =
1 2018 2 2017 0a a a a∴ + = + =，
， ，
，
，
，
故当 取得最大值时， 或 ，
故答案为：0，1009 或 1008．
3.（2018·全国高考真题（理））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15．
由 a1=–7 得 d=2．
所以{an}的通项公式为 an=2n–9．
（2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16．
高频考点五 等差数列与传统文化
【典例 9】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中
心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下
一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层
多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
( )1 2018
2018
2018 02
a aS
+∴ = =
1 0a > 2 2017 0a a+ =
12 2016 0a d∴ + =
1 1008a d∴ = −
1009 1 1008 0a a d∴ = + =
nS 1009n = 1008n =A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块
【答案】C
【解析】
设第 n 环天石心块数为 ，第一层共有 n 环，
则 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， ，
设 为 的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多 729 块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【典例 10】（2020·浙江吴兴�高三其他）《张丘建算经》卷上第 22 题——“女子织布”问题：某
女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布 5 尺，30 天共织布 390 尺，
则该女子织布每天增加（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】B
【解析】
由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为 ，首项为 ， ，可得
na
{ }na 9 ( 1) 9 9na n n= + − × =
nS { }na
2 3 2, ,n n n n nS S S S S− −
3 2 2 729n n n nS S S S− = − +
3 (9 27 ) 2 (9 18 ) 2 (9 18 ) (9 9 ) 7292 2 2 2
n n n n n n n n+ + + +− = − +
29 729n = 9n =
3 27
27(9 9 27) 34022nS S
+ ×= = =，解之得 .
【变式探究】
1．（2020·浙江平阳�高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节
容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为 4 升，上四节容量和为 3
升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，
九节总容量是______.
【答案】
【解析】
设由下到上九节容量分别记为 ，则 成等差数列，设公差为 ，且 ，
，即 ， ，所以 ，
，故
故答案为： ；
2．（2020·浙江吴兴�高三其他）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五
等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有 5 个人分 60 个橘子，他们分
得的橘子个数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘
子个数是_____；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_____ .
【答案】18 6
【解析】
设得橘子最少的个数为 ，公差为 3
所以
所以得橘子最多的个数为
故答案为：18，6
95
66
201
22
1 2 9, ,...,a a a 1 2 9, ,...,a a a d 1 2 3 4a a a+ + =
6 7 8 9 3a a a a+ + + = 1 2 3 13 3 4a a a a d+ + = + = 6 7 8 9 14 26 3a a a a a d+ + + = + = 1
95
66a =
7
66d = − 9 1
9 8 2019 2 22S a d
×= + =
95
66
201
22
1a
5 1 1
5 45 3 60 62
×= + × = ⇒ =S a a
5 1 (5 1) 3 6 12 18= + − × = + =a a
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