2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解7-6 数学归纳法
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2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解7-6 数学归纳法

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资料简介
专题 7.6 数学归纳法 【考纲解读与核心素养】 1.了解数学归纳原理,会用数学归纳法证明简单的数学命题. 2.本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测: 利用数学归纳法证明数列问题. 4.备考重点: (1)数学归纳法原理; (2)数学归纳法的简单应用. 【知识清单】 知识点 1.数学归纳法 1.证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立. (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 2.数学归纳法的框图表示 【典例剖析】 高频考点一 利用数学归纳法证明等式 【典例 1】已知 a,b,c,使等式 N+都成立, (1)猜测 a,b,c 的值;(2)用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1) ;(2)见解析 【解析】 (1):假设存在符合题意的常数 a,b,c,在等式 1•22+2•32+…+n(n+1)2 = (an2+bn+c)中, 令 n=1,得 4= (a+b+c)① 令 n=2,得 22= (4a+2b+c)② 令 n=3,得 70=9a+3b+c③ 由①②③解得 a=3,b=11,c=10, 于是,对于 n=1,2,3 都有 1•22+2•32+…+n(n+1)2= (3n2+11n+10)(*)成立. (2)下面用数学归纳法证明:对于一切正整数 n,(*)式都成立. (1)当 n=1 时,由上述知,(*)成立. (2)假设 n=k(k≥1)时,(*)成立, 即 1•22+2•32+…+k(k+1)2 = (3k2+11k+10), 那么当 n=k+1 时, 1•22+2•32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 = (3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) = [3(k+1)2+11(k+1)+10], 由此可知,当 n=k+1 时,(*)式也成立. 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时题设的等式对于一切正整数 n 都成立. 【总结提升】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项, 初始值 n0 是多少. (2)注意点:由 n=k 时等式成立,推出 n=k+1 时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目 标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程,不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法. 【变式探究】 (2018·江苏高考模拟(理))在正整数集上定义函数 ,满足 ,且 . (1)求证: ; (2)是否存在实数 a,b,使 ,对任意正整数 n 恒成立,并证明你的结论. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 (1)因为 ,整理得 , 由 ,代入得 , , 所以 . (2)由 , ,可得 . 以下用数学归纳法证明 存在实数, ,使 成立. ① 当 时,显然成立. ② 当 时,假设存在 ,使得 成立, 那么,当 时, , 即当 时,存在 ,使得 成立. 由①,②可知,存在实数, ,使 对任意正整数 n 恒成立. 【易错提醒】数学归纳法的注意事项 由 n=k 到 n=k+1 时,除等式两边变化的项外还要利用 n=k 时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从 而使问题得以证明. 高频考点二 利用数学归纳法证明不等式 【典例 2】(2019·浙江高一期中)已知数列 满足 , . (Ⅰ)求证:数列 是等比数列; (Ⅱ)比较 与 的大小,并用数学归纳法证明; (Ⅲ)设 ,数列 的前 项和为 ,若 对任意 成立,求实数 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ) (Ⅲ) 【解析】 (Ⅰ) 且 , 是以 3 为首项, 为公比的等比数列, (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,下面用数学归纳法证明 (1)当 时, (2)假设当 时, , 当 时, ,即当 时,结论成立, 由(1)(2)得 , { }na 1 2a = ( )* 1 2 ( 1)n n na a n N+ + = − ∈ { }( 1)n na − − na 3 1 2 n + 1 2n n n n b a a + −= { }nb n nT nT m< *n N∈ m 3 1 2n na +≥ 1 3m ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a + + + − − − + − − − − + −= = = − − − − − − − 1 1 3 0a + = ≠ ( ){ }1 n na∴ − − 2− ( ) ( ) 11 3 2n n na −− − = × − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 13 2 + 1 1 3 2 1n n n n na − − −∴ = × − − = − × − 13 2 1n na −∴ = × − 3 1 2n na +≥ 1n = 3 12 2n na += ≥ *,n k k N= ∈ 3 1 2k ka +≥ 1n k= + ( ) ( ) 1 3 1 13 13 2 1 2 1 1 2 1 1 3 22 2 k k k kka a k+ + ++ = × − = + − ≥ + − = + >   1n k= + 3 1 2n na +≥(Ⅲ)因为 【典例 3】(2020 届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知数列 满足 . (1)求 ,并猜想 的通项公式(不需证明); (2)求证: . 【答案】(1) ;猜想 ;(2)证明见解析 【解析】 (1) 猜想 (2) 所以 (2)方法二用数学归纳法证明: (1)当 时,左边 ,右边 , 左边 右边,不等式成立; ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 n n n n nn n n n b a a − − + − −= = − × − − × − ( )( ) 11 2 2 1 1 3 3 2 1 3 2 13 2 1 3 2 1 n n nn n −−  = = − × − × −× − × −   0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3n n n nT  −        ∴ = − = − + = − = −

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