忽视不等式隐含条件致误
设 ，若 1≤ ≤2,2≤ ≤4，则 的取值范围是________．
【错解】由 得 ，①＋②得： ， ②−①得： .
由此得 4≤ =4a−2b≤11，所以 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 =m ＋n (m、n 为待定系数)，则 4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，
即 4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 ，解得 .∴ =3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即 5≤ ≤10.
解法二：由 ，得 ，∴ =4a−2b=3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即 5≤ ≤10.
解法三：由题意，得 ，确定的平面区域如图中阴影部分所示.
当 =4a−2b 过点 时，取得最小值 ；
当 =4a−2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 4×3−2×1=10，∴5≤ ≤10.
【答案】
2( )f x ax bx= + ( 1)f − (1)f ( 2)f −
1 ( 1) 2
2 (1) 4
f
f
≤ − ≤
≤ ≤
1 2
2 4
a b
a b
≤ − ≤
≤ + ≤
①
②
3 32 a≤ ≤ 1 12 b≤ ≤
( 2)f − ( 2)f −
( 2)f −
( 2)f − ( 1)f − (1)f
4
2
m n
n m
+ =
− = −
3
1
m
n
=
= ( 2)f − ( 1)f − (1)f
( 1)f − (1)f ( 1)f − (1)f ( 2)f −
( 1)
(1)
f a b
f a b
− = −
= +
1[ ( 1) (1)]2
1[ (1) ( 1)]2
a f f
b f f
= − +
= − −
( 2)f − ( 1)f − (1)f
( 1)f − (1)f ( 1)f − (1)f ( 2)f −
1 2
2 4
a b
a b
≤ − ≤
≤ + ≤
( 2)f − 3 1( , )2 2A 3 14 2 52 2
× − × =
( 2)f − ( 2)f −
[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的
运算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
1．已知实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：令 ， ， ,
则
又 ，因此 ，故选 B.
【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题
的关键.
忽略不等式性质成立的条件
给出下列命题：
①若 ,则 ； ②若 ，则 ；
③若 且 ,则 ； ④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
【错解】① ,又 ,则 ，故①正确；②当 时， ,故②不正确；
③正确；④由 知 ,∴ ，故 ,故④不正
确.故填①③.
x y 4 1x y− ≤ − ≤ − 1 4 5x y− ≤ − ≤ 9x y−
[ 7,26]− [ 1,20]−
[4,15] [1,15]
m x y= − 4n x y= −
,3
4
3
n mx
n my
− =⇒ − =
8 5 5 5 209 4 1 ,3 3 3 3 3z x y n m m m= − = − − ≤ ≤ − ∴ ≤ − ≤，
8 8 401 5 3 3 3n n− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤
8 031 59 23z x y n m− = − = − ≤≤
, 0a b c< < c c
a b
< 3 3ac bc− −> a b>
a b> *k ∈N k ka b> 0c a b> > > a b
c a c b
>− −
1 1a b a b
< ⇒ > 0c < c c
a b
< 0c < a b<
0c a b> > > 0c a c b− > − > 1 10 c a c b
< bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数，a>b>0”，假如去掉“n 为大于 1 的
自然数”这个条件，取 n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这
个条件，取 a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．
2．若非零实数 满足 ，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A, 不一定小于 0，所以该选项不一定成立；
B,如果 a＜0，b＜0 时， 不成立，所以该选项不一定成立；
C, ，所以 ，所以该不等式成立；
D, 不一定小于 0，所以该选项不一定成立.
c c
a b
<
⇒ ⇒ 1
( )( )c a c b− −
1 10 c b c a
< >
a a b
c a c b c b
> >− − −
,a b a b<
1a
b
< 2b a
a b
+ ≥
2 2
1 1
ab a b
< 2 2a a b b+ < +
1a a b
b b
−− =
2b a
a b
+ ≥
2 2 2 2
1 1 0a b
ab a b a b
−− = <
2 2
1 1
ab a b
<
2 2 ( )( ) ( ) ( )( 1)a a b b a b a b a b a b a b+ − = + − + − = − + +−故选：C
【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平和分析推理能力.
忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于 x 的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 恒成立，则 m 的取值范围为______________．
【错解】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立，
所以 m＜0 且 Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得 m＜0．故实数 m 的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中x2 的系数含有参数，且当 m＝0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论
m 的值是否为 0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立，
当 m＝0 时，－1＜0 恒成立；当 m≠0 时，易知 m＜0 且 Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0．
综上，实数 m 的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
3．若不等式 对实数 恒成立，则实数 的取值范围是
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题得 时，x＜0，与已知不符，所以 .
2 ( 1) 0mx m x m+ − + > x∈R m
1m < − 1
3m > 1m >
1
3m > 11 3m− < <
0m = 0m ≠当 m≠0 时， ，
所以 .
综合得 m 的取值范围为 .
故选 C.
【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当
时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时，
或当 时， ．
解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，
恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或
用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，
谁就是参数.
解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式 ．
【错解】原不等式可化为 ，即 ，
等价于 ，即 ，
因为 ，所以
当 ，即 或 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
2 20 ( 1) 4 0m m m∆> = − −
1
3m >
2 0ax bx c >＋ ＋ 0a＝ 0, 0b c >＝
0a ≠ 0
0
a
∆
>
−
2 1 11 1
a a
a a
− − =− −
01
a
a
>− 1a > 0a < 2 1 11
a
a
− >−
01
a
a
=− 0a = 2 1 11
a
a
− =−
01
a
a
−
0a = { | 1}x x ≠
0 1a< < 2 1{ | 1
ax x a
−< − 1}x >
0a =
( 2) 1 01
a x
x
− − >−
( 2) ( 1) 01
a x x
x
− − − >−
[( 1) (2 1)]( 1) 0a x a x− − − − >
1a = ( 1) 0x− − > 1 0x − < 1x <
1a > 2 1( )( 1) 01
ax xa
−− − >−
1a < 2 1( )( 1) 01
ax xa
−− − 0a < 2 1 11
a
a
− >−
0 1a< < 2 1 11
a
a
− { | 1x x < 2 1}1
ax a
−> −
1a = { | 1}x x <
0 1a< < 2 1{ | 1}1
ax xa
− < 1 ,2
+∞
( ) 0f x <
1
2a = ( ) 0f x >
1 ,12
( ) 2
1
ax bf x x
−= −
2 0ax b− > 1 ,2
+∞
0a > 0a b= > ( ) ( ) ( )( )2 10 0 2 1 1 01
a xf x a x xx
−< ⇔ < ⇔ − − ⇔ = > ⇔ − − >−
1b > ( ) ( ),1 ,b−∞ +∞
1b = { }1x x ≠
1b< ( ) ( ), 1,b−∞ +∞
2 2 0
2 4 0
1 0
x y
x y
x
+ − ≥
− + ≥
− ≤【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有
正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相
应地导致目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线 3x−2y=z 平移
到过点(0,2)时，z=3x−2y 的值最小，最小值为−4，故选 B.
形如 z=Ax＋By(B≠0)，即 ， 为该直线在 y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在 y 轴
上截距的 B 倍，至于 z 与截距能否同时取到最值，还要看 B 的符号．
5．若实数 x，y 满足 ，则 的最大值是
A． B．0
C．3 D．4
【答案】C
【解析】作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
A zy xB B
= − + z
B
2 3 0
3 3 0
1
x y
x y
y
+ − ≤
+ − ≥
≤
z x y= −
1−
2 3 0
3 3 0
1
x y
x y
y
+ − ≤
+ − ≥
≤
设푧 = 푥 ― 푦，得푦 = 푥 ― 푧，
平移直线푦 = 푥 ― 푧，由图象可知当直线푦 = 푥 ― 푧经过点퐵(3,0)时，直线푦 = 푥 ― 푧的截距最小，此时 z 最
大．
此时 z 的最大值为푧 = 3 ― 0 = 3，故选 C.
忽略等号成立的一致性导致错误
若 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝1，则 的最小值为_______________．
【错解】因为 x＞0，y＞0，所以 1＝x＋2y≥ ，即 8xy≤1，即 xy≤ ，故 ≥8．
因为 ≥ ，所以 ≥ ．故 的最小值为 ．
【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥ ， ≥ ，但这两次取
“＝”需满足 x＝2y 与 x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．
【试题解析】因为 x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以 ＝ ，当
且仅当 ，即 ，即 时取等号．故 的最小值为 ．
1 1
x y
+
2 2xy 1
8
1
xy
1 1
x y
+ 12 xy
1 1
x y
+ 2 8 4 2= 1 1
x y
+ 4 2
2 2xy 1 1
x y
+ 12 xy
1 1 1 1( 2 )( )x yx y x y
+ = + + 2 3 3 2 2x y
y x
+ + ≥ +
2x y
y x
= 2x y= 22 1, 1 2x y= − = − 1 1
x y
+ 3 2 2+连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用
基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
6．若正数 满足 ，则 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，化简可得 ，左右两边同时除以 xy 得 .求 的
最大值，可先求 的最小值.
因为 ，
当且仅当 时取等号.
所以 的最大值为 .
故选 A.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.
一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者
多个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若 a>b,b>c,则 a>c，其中 b 是 a 与 c 的中介值.
,x y 4 0x y xy+ − = 3
x y+
1
3
3
8
3
7 1
4 0x y xy+ − = 4x y xy+ = 1 4 1y x
+ = 3
x y+
3 3 3
x y x y+ = +
1 413 3 3 3
x y x y
y x
+ × = + × +
4 1 4
3 3 3 3
x y
y x
= + + + 4 1 42 3 3 3 3
x y
y x
≥ × + + 3≥
4
3 3
x y
y x
=
3
x y+
1
3②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别
是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误
答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为
正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴
上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函
数的最值或用分离参数法求最值．即
①若 在定义域内存在最大值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
②若 在定义域内存在最小值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
③若 在其定义域内不存在最值，只需找到 在定义域内的最大上界(或最小下界) ，即
( )f x m ( )f x a< ( )f x a≤ ⇔ a m> a m≥
( )f x m ( )f x a> ( )f x a≥ ⇔ a m< a m≤
( )f x ( )f x m ( )f x在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 ，只是等号
均可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范
围，谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法
若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或 ⇒ ⇒ ⋅ > > = ≠
或
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( )
f x g xf x f x g x f xg xg x
⋅ ≤≤ ⇒ ⇒ ⋅ < = ≠
或
( )
( )
f x
g x
> ≠
( ) 0( 0)f x > < ( )f x次不可约因式的乘积；
②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；
③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇
过偶不过)；
④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．
三、简单的线性规划问题
1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：
第一步，“直线定界”，即画出边界 ，要注意是虚线还是实线；
第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点 作为测试点，由 的符号就可以断定
表示的是直线 哪一侧的平面区域；
第三步，用阴影表示出平面区域.
2．复杂不等式(组)表示的平面区域
高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平
面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值
的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平
面区域.
3．求平面区域面积问题的步骤
（1）画出不等式组表示的平面区域.
（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.
（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域
的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.
4．简单线性规划问题的解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，
即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为 )；
（2）移：平行移动直线 ，确定使 取得最大值或最小值的点；
（3）求：求出使 z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及 z 的最大值或最小值；
（4）答：给出正确答案．
5．解答线性规划实际应用题的步骤
0Ax By C+ + =
0 0( , )x y 0 0Ax By C+ +
0Ax By C+ + > 0Ax By C+ + =
0ax by+ = z ax by= +
0ax by+ = z ax by= +（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有
关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
6．求线性目标函数最值的两种方法
（1）平移直线法：作出可行域,正确理解 z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对
一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.
（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点
处目标函数 的值，经比较后得出 z 的最大(小)值.
求解时需要注意以下几点：
（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有 1 个.如边界为实线的可行域当
目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.
（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直
线与某一边界线平行时，会有多个最优解.
（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.
四、基本不等式
1．利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中
分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.
（2）并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用
基本不等式得出最值.
（3）配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配
式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．
②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式
z ax by= +求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.
2．有关函数最值的实际问题的解题技巧
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
1．已知集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ∴ ，∴ ，
又 ，∴ .
故选 A．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2．设全集 ，集合 ，则 ＝
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得 ，故 ，所以 ，故选 A.
3．已知 ， ，下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，对于 A 中，由 ， 知， ，故本选项错误．
对于 B 中，由 ， 知， ，故本选项错误．
2{ 1,0,1,2}, { | 1}A B x x= − = ≤ A B =
{ }1,0,1− { }0,1
{ }1,1− { }0,1,2
2 1,x ≤ 1 1x− ≤ ≤ { }1 1B x x= − ≤ ≤
{ 1,0,1,2}A = − { }1,0,1A B = −
( )( ){ }1 3 0U x x x= ∈ + − ≤Z { }0,1,2A = U A
{ }1,3− { }1,0−
{ }0,3 { }1,0,3−
( )( )1 3 0x x+ − ≤ 1 3x− ≤ ≤ { }1,0,1,2,3U = − { }1,3U A = −
1a b> > 0 1c< <
a bc c> ac bc<
log logc ca b> c cba ab<
1a b> > 0 1c< < a bc c<
1a b> > 0 1c< < ac bc>对于 C 中，由 ， 知， ，故本选项错误．
对于 D 中，由 ， 知， ，则 ，即 ．
故本选项正确．
故选：D．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推
算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式 的解集是 ，
即 ， 恒成立，
当 ， ，
当 时， ，
因为 ，当且仅当 等号成立，
所以 ．
故选：D．
5．任意正数 x，不等式 恒成立，则实数 a 的最大值为
A．1 B．
C． D．
【答案】C
1a b> > 0 1c< < log logc ca b<
1a b> > 0 1c< < -1 1c ca b −< 1 1c cab a ab b− −⋅ < ⋅ c cba ab＜
x 2 4 0ax x a− + ≥ ( , )−∞ +∞ a
1, 2
−∞
1, 4
−∞
1 ,2
+∞
1 ,4
+∞
2 4 0ax x a− + ≥ ( , )−∞ +∞
x∀ ∈R 2 4 0ax x a− + ≥
0x = 0a ≥
0x ≠
1
4| | | |
a
x x
≥
+
1 1
4 4| | | |x x
≤
+ 2x =
1 ,4a ∈ +∞
2 1ax x≤ +
2
2 2
2【解析】 ，
，
又 （当且仅当 取到等号），
.
【名师点睛】本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结
合基本不等式，转化成求最值的问题.
6．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】C
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，
故目标函数在点 处取得最大值.
由 ，得 ，
所以 .
故选 C.
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，
0x >
2 1 1xa xx x
+∴ ≤ = +
1 12 2xxx x+ ≥ ⋅ =
1 1x xx
= ⇒ =
2a∴ ≤
,x y
2 0,
2 0,
1,
1,
x y
x y
x
y
+ − ≤
− + ≥ −
−
4z x y= − +
4y x z= + y
A
2 0,
1
x y
x
− + =
= − ( 1,1)A −
max 4 ( 1) 1 5z = − × − + =其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距
离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
7．若 ，则“ ”是 “ ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【 解 析 】 当 时 ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 ， 则 当 时 ， 有
，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是
“ ”的充分不必要条件.
【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋
值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
8．已知푚,푛 ∈ (0, + ∞),若푚 = 푚
푛 +2,则当푚2
2 +2푛2 ― 4
푚 ― 2
푛取得最小值时,푚 + 푛 =
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为푚 = 푚
푛 +2,所以푚푛 = 푚 +2푛,푚2
2 +2푛2 ― 4
푚 ― 2
푛 = 푚2
2 +2푛2 ― 2,下面只需求解푚2
2 +2푛2的最小
值即可.因为푚푛 = 푚 +2푛 ≥ 2 2푚푛,故푚푛 ≥ 8,又푚2
2 +2푛2 ≥ 푚푛 = 8,当且仅当 m=2n=4 时,等号成立,此时
m+n=6.
9．设实数푥,푦满足{ 푥 ― 푦 ― 2 ≤ 0
푥 + 2푦 ― 4 ≥ 0
푥 ≥ 0
,则푥2 + 푦2的最小值为
A．4 B．16
5
C．68
9 D．0
【答案】B
【解析】画出可行域如图所示,则目标函数푥2 + 푦2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以푥2
+ 푦2的最小值为16
5 ,故选 B．
0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤
0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ a b= 4a b+ ≤
2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤
=1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤
4ab ≤
,a b10 ． 记 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 D ． 命 题 ； 命 题
．下面给出了四个命题
① ② ③ ④
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，
记直线 ，
由图可知， ，
所以 p 为真命题，q 为假命题，
所以 为假命题， 为真命题，
所以 为真命题， 为假命题， 为真命题， 为假命题，
所以所有真命题的编号是①③.故选 A.
6,
2 0
x y
x y
+ ≥
− ≥ : ( , ) ,2 9p x y D x y∃ ∈ + ≥
: ( , ) ,2 12q x y D x y∀ ∈ + ≤
p q∨ p q¬ ∨ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬
1: 2 +9,l y x= − 2: = 2 +12l y x−
( , ) ,2 9, ( , ) ,2 12x y D x y x y D x y∃ ∈ + ∃ ∈ + >
p¬ q¬
p q∨ p q¬ ∨ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法
进行判断.
11．已知 满足 ， 的最大值为 ，若正数 满足 ，则 的最
小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】作出不等式组 对应的平面区域如图（阴影部分）：
由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，
直线 的截距最大，此时 最大．
,x y
2 3 0
3 3 0
1
x y
x y
y
+ − ≤
+ − ≥
≤
2z x y= + m ,a b a b m+ = 1 4
a b
+
3
2
5
2
2 3 0
3 3 0
1
x y
x y
y
+ − ≤
+ − ≥
≤
2z x y= + 2y x z= − + 2y x z= − + 2y x z= − + 3 0A（ ，）
2y x z= − + z代入目标函数 得 ，即 ．
则 ，
当且仅当 时取等号，故选 B．
【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结
合的数学思想是解决此类问题的基本方法．首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几
何意义，求最大值 ，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．
12．已知关于 x 的不等式 x2−4ax＋6a20)的解集为(x1,x2),则 x1＋x2＋ 푎
푥1푥2
的最小值是
A． 6
3 B．2
3 3
C．2
3 6 D．4
3 3
【答案】C
【解析】由题意可知,x1,x2 是方程 x2−4ax＋6a2=0 两个根,则푥1 + 푥2 = 4푎,푥1푥2 = 6푎2,所以 x1＋x2＋ 푎
푥1푥2
= 4푎 + 1
6푎 ≥ 2
3 6,当且仅当푎 = 6
12时,等号成立.
13．若函数 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵函数 的定义域为 ，∴ 对任意 恒成立，
当 时，不等式化为 ，对任意 不恒成立；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．故答案为 .
【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，
是中档题．
14．实数 满足 能说明“若 的最大值是 ，则 ”为假命题的一组
值是__________．
【答案】（2，2）（答案不唯一）
2z x y= + 2 3 6z = × = 6m =
1 4 1 1 46 ( )( )6a b a ba b a b
+ = ∴ + = + +， 1 4 1 4 31 4 5 26 6 2
b a b a
a b a b
= + + + ≥ + ⋅ =（ ） （ ）
2 4a b= =，
m
2 2 1y kx x= − +
[ )1,+∞
2 2 1y kx x= − + R 2 2 1 0kx x− + ≥ x∈R
0k = 2 1 0x− + ≥ x∈R
0k ≠ 0
4 4 0
k
k
>
∆ = − ≤ 1k ≥
k [ )1,+∞ [ )1,+∞
,x y
1,
,
4.
x
y x
x y
≥
≥
+ ≤
z x y= + 4 1, 3x y= = ( , )x y【解析】实数 x，y 满足 的可行域以及 x+y=4 的直线方程如图．
能说明“若 z=x+y 的最大值为 4，则 x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）（线段 上的
点均符合题意）．
故答案为：（2，2）（答案不唯一）．
【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．
15．已知푎是任意实数,则关于푥的不等式(푎2 ― 푎 + 2017)푥2 < (푎2 ― 푎 + 2017)2푥+3的解集为 .
【答案】{푥| ― 1 < 푥 < 3}
【解析】∵푎2 ― 푎 +2017 = (푎 ― 1
2)2
+2017 ― 1
4 > 1,
∴(푎2 ― 푎 + 2017)푥2 < (푎2 ― 푎 + 2017)2푥+3,即푥2 < 2푥 +3,解得 ― 1 < 푥 < 3.
16．设 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】 .
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号成立.
1
4.
x
y x
x y
≥
≥
+ ≤
，
，
BC
0, 0, 2 4x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
9
2
( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 2 5x y xy y x xy
xy xy xy xy
+ + + + + += = = +
0, 0, 2 4x y x y> > + =
2 4 2 2x y x y+ = ≥ ⋅
2 2,0 2xy xy≤ < ≤ 2 2x y= =又因为
所以 的最小值为 .
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
17．已知푚 > 0,푛 > 0,若2푚 = 1 ― 2푛,则3
푚 + 27
푛 的最小值为 .
【答案】96
【解析】因为2푚 +2푛 = 1, 푚 > 0,푛 > 0,所以3
푚 + 27
푛 =(3
푚 + 27
푛 )(2푚 + 2푛)=6(10 + 푛
푚 + 9푚
푛 ) ≥ 6
(10 + 2 푛
푚·9푚
푛 )=96,当且仅当푛
푚 = 9푚
푛 ,即푚 = 1
8,푛 = 3
8时,等号成立.
18．已知实数 x,y 满足不等式组{푥 ― 푦 + 2 ≥ 0,
푥 + 푦 ― 4 ≥ 0,
2푥 ― 푦 ― 5 ≤ 0,
则 z=x2+y2-10y+25 的最大值为 .
【答案】65
【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为 z=x2+y2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2 的几
何意义表示可行域中的点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方.结合图象易知点 C 到点 M 的距离最大,
由{푥 ― 푦 + 2 = 0,
2푥 ― 푦 ― 5 = 0,得 C(7,9),则 zmax=(7-0)2+(9-5)2=65.
19．设实数 x,y 满足{푥 ― 푦 ― 2 ≤ 0,
푥 + 2푦 ― 5 ≥ 0,
푦 ― 2 ≤ 0,
则 u=푦2 ― 푥2
푥푦 的取值范围是 .
【答案】[-8
3,3
2]
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中 A(3,1),B(1,2),C(4,2),푦
푥表示动点(x,y)
与原点连线的斜率,因为 x,y>0,所以当푦
푥取最大(小)值时,푥
푦取最小(大)值,由图可知当(x,y)=(1,2)
时,(푦
푥)max=2,同时(푥
푦)min=1
2,所以 umax=(푦
푥)max-(푥
푦)min=3
2,当(x,y)=(3,1)时,(푦
푥)min=1
3,同时(푥
푦)max=3,所以
umin=(푦
푥)min-(푥
푦)max=-8
3,所以 u 的取值范围是[-8
3,3
2].
1 92 2 55 =2 2xy
+ ≥ + × ，
( 1)(2 1)x y
xy
+ + 9
220．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且
，则 的最小值为________．
【答案】9
【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， , 由 角 平 分 线 性 质 和 三 角 形 面 积 公 式 得
，化简得 ，
因此 当且仅当 时取等号，则
的最小值为 .
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式
中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)
的条件才能应用，否则会出现错误.
21．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元
/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价
达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%．
①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为
__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1） ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC
1BD = 4a c+
ABC ABD BCDS S S= +△ △ △
1 1 1sin120 1 sin60 1 sin602 2 2ac a c° = × × °+ × × ° 1 1, 1ac a c a c
= + + =
( ) 1 1 4 44 4 5 5 2 9,c a c aa c a c a c a c a c
+ = + + = + + ≥ + ⋅ = 2 3c a= =
4a c+ 9
10x = ( )60 80 10 130+ − =
y
120y < 80%y×
120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8
yy x y x− ≥ ≤
min
158
yx ≤ =
x 15【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际
生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
22．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是__________．
【答案】
【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：
其中 ， ，
又 ，可知 的几何意义为可行域中的点到直线 距离的 倍
可行域中点到直线 距离最大的点为 .
，
故填 .
【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，
利用数形结合来进行求解．
23．已知 ，若点 在直线 上，则 的最小值为
___________.
【答案】
【解析】 在 上，
， ，
，
x y 3 4
2
y x
x y
x
≥
+ ≤
≥ −
3z x y= +
8
( )2, 2A − − ( )1,1B ( )2,2C −
3 10
10
x yz
+= × z 3 0x y+ = 10
3 0x y+ = ( )2, 2A − −
( )max 3 2 2 8z∴ = × − − =
8
0, 0, 0a b c> > > ( ),P a b 2x y c+ + = 4 a b
a b c
+++
2 2 2+
( ),P a b 2x y c+ + =
2a b c∴ + + = 2 0a b c+ = − >
4 4 2
2
a b c
a b c c c
+ −+ = ++ −
4 2 12 c c
= + −−设 ，则 ，
，
当 ，即 时，“=”成立，
，
即 的最小值为 ，故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确
理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看
和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意
两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品 A,B,该研究所要根据产品的研
制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件 A 产品 每件 B 产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30
产品重量(千克) 10 5
预计收益(万元) 80 60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为 300 万元,最大搭载重量为 110 千克,则如何安排这两
种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?
【答案】960 万元
【解析】设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件,则预计收益 z=80x+60y,由题意知,
作出可行域如图所示.
2 c m
c n
− =
= 2m n+ =
4 2 4 2 4 2
2 2
m n
c c m n m n
+ + = + = × + −
2 23 3 2 3 2 2n m m m
m n m n
= + + ≥ + + = +
2 22m n= 2 2 2c = −
4 2 1 3 2 2 1 2 2 22 c c
∴ + − ≥ + − = +−
4 a b
a b c
+++ 2 2 2+ 2 2 2+
≥ ≤
20 30 300,
10 5 110,
,
,
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ∈
∈
N
N作出直线 l:80x+60y=0 并平移,由图形知,当直线经过点 M 时,z 取得最大值,
由 解得 即 M(9,4).
所以 zmax=80×9+60×4=960(万元),
所以搭载 9 件 A 产品,4 件 B 产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为 960 万元.
20 30 300,
10 5 110,
x y
x y
+ =
+ =
9,
4,
x
y
=
=
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