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专题 14 　数学方法的应用 方法专题 网络构建 考题二　数学知识的综合应用 栏目索引 考题一　常用的数学知识 考题一　常用的数学知识 1. 罗列物理中常用数学方法，熟悉其内容及其变形 . 2. 熟悉数学在物理题中应用的特点 . 3. 理解物理公式或图象所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，防止单纯从数学的观点出发，将物理公式 “ 纯数学化 ” 的倾向 . 知识精讲 解析 例 1 　 如图 1 所示， AB 是竖直平面内圆心为 O 、半径为 R 的圆上水平方向的 直径， AC 是圆上的一条弦 . 该圆处在某一匀强电场中，电场线与圆平面平行， 将一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电小球从圆周上 A 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上的不同点，若到达 C 点时小球的动能最大，已知 ∠ BAC ＝ α ＝ 30° ，重力加速度为 g ， 则 电场强度 E 的最小值为 ( 　　 ) 典例剖析 图 1 √ 解析　 小球到达 C 点动能最大，说明 C 点是重力场和电场形成的复合场中的等效最低点，即重力和电场力的合力沿 OC 方向，对小球受力分析，如图所示， 1 . 如图 2 所 示，在斜面上有四条光滑细杆，其中 OA 杆竖直放置， OB 杆与 OD 杆 等长， OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环 ( 图中未画出 ) ， 四个环分别从 O 点由静止释放，沿 OA 、 OB 、 OC 、 OD 滑到斜面上所用的时间 依次为 t 1 、 t 2 、 t 3 、 t 4 . 下列关系不正确的是 ( 　　 ) A. t 1 > t 2 B. t 1 ＝ t 3 C. t 2 ＝ t 4 D. t 2 < t 4 解析 √ [ 变式 训练 ] 1 2 3 4 图 2 解析　 以 OA 为直径画圆建立等时圆模型，小滑环受重力和支持力，由牛 顿第二定律得： a ＝ g cos θ ( θ 为杆与竖直方向的夹角 ) 由图中的直角三角形可知，小滑环的位移 x ＝ 2 R cos θ 1 2 3 4 t 与 θ 无关，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底端所用时间相同，故沿 OA 和 OC 滑到底端的时间相同，即 t 1 ＝ t 3 ， OB 不是一条完整的弦，时间 最短，即 t 1 ＞ t 2 ， OD 长度超过一条弦，时间最长，即 t 2 ＜ t 4 . 故 A 、 B 、 D 正确， C 不正确，因本题选不正确的，故选 C . 2. 如图 3 所 示，穿在一根光滑固定杆上的小球 A 、 B 通过一条跨过定滑轮的细绳连接，杆与水平面成 θ 角，不计所有摩擦，当两球静止时， OA 绳与杆的夹角为 θ ， OB 绳沿竖直方向，则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. A 可能受到 2 个力的作用 B. B 可能受到 3 个力的作用 C. A 、 B 的质量之比为 tan θ ∶ 1 D. A 、 B 的质量之比为 1 ∶ tan θ 解析 √ 1 2 3 4 图 3 解析　 对 A 球受力分析可知， A 受到重力、绳子的拉力以及杆对 A 球的弹力，三个力的合力为零，故 A 错误 ； 对 B 球受力分析可知， B 受到重力、绳子的拉力 ，两 个力 合力 为 零，杆对 B 球 没有弹力，否则 B 不能平衡，故 B 错误 ； 分别 对 A 、 B 两球受力分析，运用合成法，如图，根据 共点 力 平衡条件 ，得： F T ＝ m B g 1 2 3 4 因定滑轮不改变力的大小，故绳子对 A 的拉力等于对 B 的拉力， 得 m A ∶ m B ＝ 1 ∶ tan θ ，故 C 错误， D 正确，故选 D . 3. 如图 4 所 示，将两个质量均为 m ，带电荷量分别为＋ q 、－ q 的小球 a 、 b ，用两细线相连并悬挂于 O 点，置于沿水平方向的匀强电场中，电场强度为 E ，且 Eq ＝ mg ，用力 F 拉小球 a ，使整个装置处于平衡状态，且两条细线在一条直线上，则 F 的大小可能为 ( 　　 ) 解析 √ 1 2 3 4 图 4 解析　 先分析 b 的平衡：由于 Eq ＝ mg ，所以两线与竖直方向夹角为 45°. 再分析整体平衡：两电场力抵消，转变成典型的三力平衡问题，画矢量三角形如图所示， 1 2 3 4 4. 物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确 . 如图 5 所 示为两个彼此平行且共轴的半径分别为 R 1 和 R 2 的圆环，两圆环上的电荷量均为 q ( q >0) ，而且电荷 均匀分布 . 两圆环的圆心 O 1 和 O 2 相距为 2 a ，连线的中点为 O ，轴线上的 A 点在 O 点右侧与 O 点相距为 r ( r < a ). 试分析判断下列关于 A 点处电场强度大小 E 的表达式 ( 式中 k 为静电力常量 ) 正确的是 ( 　　 ) 1 2 3 4 图 5 1 2 3 4 √ 解析 返回 解析　 令 R 1 ＝ R 2 ＝ 0 ， A 点电场强度不为 0 ，排除 A 、 B. 或令 r ＝ a ， E 的结果 应该只与 R 1 有关，与 R 2 无关，排除 A 、 B ； 当 r ＝ a 时， A 点位于圆心 O 2 处，带电圆环 O 2 由于对称性在 A 点的电场为 0 ，根据微元法可以求得此时的总电场强度为 E ＝ E 1 ＝ ， 将 r ＝ a 代入 C 、 D 选项可以排除 C 选项 . 故选 D. 返回 1 2 3 4 1. 结合实际问题，将客观事物的状态关系和变化过程用数学语言表达出来，经过数学推导和求解，求得结果后再用图象或函数关系把它表示出来 . 2. 一般程序 审题 ― → 过程分析 ― → 建立模型 ― → 应用数学思想或方法 ― → 求解并验证 . 3. 弄清物理公式的运用条件和应用范围；注意数学的解与物理解的统一 . 考题二　数学知识的综合应用 知识精讲 例 2 　 如图 6 甲 所示，木板与水平地面间的夹角 θ 可以随意改变，当 θ ＝ 30° 时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑 . 若让该小物块从木板的底端以大小恒定的速度 v 0 沿木板向上运动 ( 如图乙 ) ，随着 θ 的改变，小物块沿木板 滑行的距离 s 将发生变化，重力加速度为 g . (1) 求小物块与木板间的动摩擦因数 ； 解析答案 典例剖析 图 6 解析　 由题知，当 θ ＝ 30° 时，对物块受力分析得 ： mg sin θ ＝ μF N F N ＝ mg cos θ (2) 当 θ 角满足什么条件时，小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小值 . 解析　 小物块向上运动，则有： mg sin θ ＋ μmg cos θ ＝ ma 解析答案 令： tan α ＝ μ ，当 θ ＋ α ＝ 90° 时， x 最小 此时有： θ ＝ 60 ° 5. 如图 7 所 示，在 “ 十 ” 字交叉互通的两条水平直行道路上，分别有甲、乙两辆汽车运动，以 “ 十 ” 字中心为原点，沿直道建立 xOy 坐标系 . 在 t ＝ 0 时刻，甲车坐标为 (1,0) ，以速度 v 0 ＝ k m/s 沿－ x 轴方向做匀速直线运动，乙车沿＋ y 方向运动，其坐标为 (0 ， y ) ， y 与时间 t 的关系为 y ＝ ， 关系式中 k >0 ，问 ： (1) 当 k 满足什么条件时，甲、乙两车间的距离有最小值 ， 最小值 为多大 ？ 解析答案 5 6 [ 变式 训练 ] 7 图 7 5 6 7 t 时刻两车相距 (2) 当 k 为何值时，甲车运动到 O 处，与乙车的距离和 t ＝ 0 时刻的距离相同？ 5 6 7 当甲车运动到 O 处时， kt ＝ 1 m ， 解析答案 6. 一小球从 h 0 ＝ 45 m 高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面 相碰一次，速度大小就变化为原来的 k 倍 . 若 k ＝ ， 求小球从下落直至停止运动所用的时间 .( g 取 10 m/s 2 ，碰撞时间忽略不计 ) 5 6 7 解析答案 解析　 由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的时间的通项公式求出，然后再累加求和 . 5 6 7 解析答案 则第 n 次碰地后，小球的运动速度的通项公式为 ： 5 6 7 所以，小球从下落到停止运动的总时间为： 上式括号中是一个无穷等比递减数列，由无穷等比递减数列求和公式，并代入数据得 t ＝ 9 s . 答案　 9 s 7. 一轻绳一端固定在 O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放 ， 如图 8 所 示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 返回 5 6 7 图 8 解析答案 解析　 如图所示，当小球运动到绳与竖直方向成 θ 角的 C 时，重力的功率： P ＝ mg v cos α ＝ mg v sin θ 小球从水平位置到图中 C 位置时，由机械能守恒有 mgL cos θ ＝ 5 6 7 解析答案 令 y ＝ cos θ sin 2 θ 返回 又因为 2cos 2 θ ＋ sin 2 θ ＋ sin 2 θ ＝ 2(sin 2 θ ＋ cos 2 θ ) ＝ 2( 定值 ). 所以当且仅当 2cos 2 θ ＝ sin 2 θ 时， y 有最大值 由 2cos 2 θ ＝ 1 － cos 2 θ 5 6 7