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专题01 有理数
1．正数与负数
零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点．
2．数轴
规定了原点、方向和单位长度的直线叫做数轴．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而且原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数，原点本身表示的数是0．
3．相反数
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两侧，并且与原点的距离相等．@
（1）通常用a与−a表示一对相反数．
（2）a与b互为相反数．
（3）互为相反数的绝对值相等．即=.
（4）=a=b或a=−b（a与b互为相反数）.
4．绝对值
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离.
=
5．有理数的大小比较
（1）利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．于是：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．
（2）通用法则：两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的反而小．
6．倒数
（1）乘积是1的两个数互为倒数．
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（2）0没有倒数．通常用a(a0)与表示一对倒数．
（3）相反数等于它本身的数是0；倒数等于它本身的数是±1；绝对值等于它本身的数是非负数．
7．有理数的加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．一个数同0相加，仍得这个数．
8．有理数的减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b=a+（）．
9．有理数的乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
10．有理数的除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．两数相除，同号得得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
11．有理数的乘方
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a 读作a的n次方或a的n次幂．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0．
12．有理数的运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a；
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；
（3）乘法交换律：ab=ba；
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）；
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
13．有理数的运算顺序
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
（2）同级运算，按从左到右顺序进行．
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（3）如有括号，先做括号内的运算，按大括号、中括号、小括号的顺序依次进行．
14．科记数法
一般地，把一个大于10的数表示成a×10的形式，（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫做科记数法，它是表示大数的一种方法．
15．近似数
一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
考点一、正负数
例1 （2016广东广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数著作《九章算术》的 “方程”一章，在世界数史上首次正式引入负数，如果收入100元记作+100元，那么–80元表示
A．支出20元 B．收入20元
C．支出80元 D．收入80元
【名师点睛】此题考查用正负数表示两个具有相反意义的量，具有相反意义的一对量在日常生活中很常见，若一个记为“+”，则另一个记为“−”. 说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．
考点二、相反数
例2 (2017福建)3的相反数是
A．−3 B．
C． D．3
【答案】A
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是−3；故选A．
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【名师点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
考点三、绝对值
例3 （2017贵州安顺市）﹣2017的绝对值是
A．2017 B．﹣2017
C．±2017 D．﹣
【答案】A
【解析】﹣2017的绝对值是2017．故选A．
考点四、数轴
例4 (2017北京)数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A． B．
C． D．
【名师点睛】由于引进了数轴，我们可以把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在习中要注意培养数形结合的数思想．
考点五、有理数的比较大小
例5 （2017新疆建设兵团）下列四个数中，最小的数是
A．﹣1 B．0
C． D．3
【答案】A
【解析】∵﹣1＜0＜＜3，∴四个数中最小的数是﹣1．故选A．
考点六、倒数
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例6（2017江苏无锡市）﹣5的倒数是
A． B．±5
C．5 D．﹣
【答案】D
【解析】∵﹣5×（﹣）=1，∴﹣5的倒数是﹣．故选D．
考点七、乘方
例7（2017四川省自贡市）计算（﹣1）2017的结果是
A．﹣1 B．1
C．﹣2017 D．2017
【答案】A
【解析】根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，得（﹣1）2017=﹣1，故选A．
考点八、科记数法
例8（2017湖南怀化市）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科记数法表示为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将149700用科记数法表示为1.497×105，故选A．
考点九、有理数的运算
例9 (2017山东滨州)计算－(－1)＋|－1|，结果为
A．－2 B．2
C．0 D．－1
【答案】B
【解析】原式=1+1=2，故选B．
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1．下列是具有相反意义的量的是
A．向东走米和向北走米 B．身高增加厘米和体重减少千克
C．胜局和亏本元 D．收入元和支出元
【答案】D
2．下列各数：+（−2），−（−3），−[−(−5)],−(−4)2负数的个数为
A．1 B．2
C．3 D．
【答案】C
【解析】+（−2）=−2，−（−3）=3，−[−（−5）]=−5，−（−4）2=−16，故负数有3个，故选C．
3．与−8的和为0的有理数是
A．−8 B．8
C． D．
【答案】B
【解析】根据相反数的和为零可得与−8的和为0的有理数是8，故选B．
4．2017年10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，站PC端成为报道大会的主阵地．据统计，关键词“十九大”在1.3万个站中产生数据174000条，其中174000用科记数法表示为
A．17.4×105 B．1.74×105
C．17.4×104 D．1.74×106
【答案】B
【解析】174000=1.74×105．故选B．
5．下列各对数中，互为相反数的是
A．﹣（+5）和﹣5 B．+（﹣5）和﹣5
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C．﹣和﹣（+） D．+|+8|和﹣（+8）
【答案】D
6．两数在数轴上位置如图所示，将用“＜”连接，其中正确的是
A． ＜＜＜ B． ＜＜＜
C． ＜＜＜ D． ＜＜＜
【答案】B
【解析】由图可知： 故选B．
7．在冬季某一天我国三个城市的最高气温分别是−11℃，3℃，−3℃，它们任意两城市中最大的温差是
A．6℃ B．8℃
C．13℃ D．14℃
【答案】D
【解析】首先确定最高气温为3℃，最低气温−11℃，再计算3−（−11）= 3+11=14，故选D．
8．下面计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A．此选项正确.
B．此选项错误.
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C．此选项错误.
D．此选项错误.
故选A．
9．两个有理数相除，其商是负数，则这两个有理数
A．都是负数 B．都是正数
C．一个正数一个负数 D．有一个是零
【答案】C
【解析】两数相除，同号得正，异号得负.商为负数，则说明两数异号.
10．下列说法正确的有
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示﹣3和3的点到原点的距离相等；
③1.32×104是精确到百分位；
④a+6一定比a大；
⑤（﹣2）4与﹣24结果相等．
A．2个 B．3个
C．4个 D．0个
【答案】B
11．−5的绝对值为__________.
【答案】5
【解析】根据绝对值的性质得出−5的绝对值是5.
12．， ， 在数轴上的位置如下图，化简__________．
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【答案】
【解析】根据数轴可知： ，所以 ，
所以= ，
故答案为.
13．一张人民日报的厚度约为0.1 mm，现将它连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12 mm，至少要对折__________次．
【答案】7
【解析】将日报对折n次后的折叠总厚度为0.1×2n，所以0.1×2n＞12，2n ＞120，n至少为7.故答案为7.
14．玩“24点”游戏，规则如下：任取4个整数，将这4个数(每个数只用1次)进行“+、−、×、÷”四则运算，使结果为24.现有4个整数：−13、−3、−2、3，应用上述规则，写出一个算式__________．
【答案】答案不唯一，如3×[(−3)+(−2)−(−13)]或(−2)×[(−13) −3÷(−3)]
【解析】根据有理数的混合运算法则可得3×[(−3)+(−2)−(−13)]或(−2)×[(−13) −3÷(−3)]，答案不唯一.
15．把下列各数分别填在相应的集合内：
－11 4.8 73 －2.7 3.1415926 0
正数集合｛ … ｝； 负数集合｛ … ｝；
正分数集合｛ …｝； 负分数集合｛ …｝；
非负整数集合｛ …｝； 非正整数集合｛ …｝.
【答案】详见解析
【解析】正数集合：{,… }.
负数集合：{，… }.
正分数集合：{，… }.
负分数集合：{ ，… }.
非负整数集合:{ ，… }.
非正整数集合：{，… }.
16．计算：（1）2+5−8；（2）.
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【答案】（1）−1；（2）.
【解析】（1）2+5−8=−1.
（2）=.
17．计算：
（1）;（2）;
（3）.#
【答案】（1）8；（2） ；（3）−4.
18．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：km)
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+3
−8
+7
−13
+5
−3
+7
（1）在第 次纪录时距A地最远;
（2）求收工时距A地何处多远？
（3）若每千米耗油0.15升，每升汽油需6.8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？
【答案】（1）四；（2）收工时距A地2 km；（3）检修小组工作一天需汽油费约为48.96元．
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19．有资料表明，山的高度每增高加1 km，则气温大约升高﹣6℃．
（1）我国著名风景区黄山的天都峰的高度约为1800 m，当山下的地面温度为18℃时，求山顶的气温；
（2）若某地的地面温度为20℃，高空某处的气温为﹣22℃，求此处的高度．
【答案】(1)7.2 ℃;(2)7 km.
【解析】（1）根据题意，得℃；
（2）根据题意，得则此处高度为7 km．
20．（1）两数的积是1，已知一个数是，求另一个数；
（2）两数的商是，已知被除数是，求除数．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，得所求另一个数为
（2）根据题意，得所求除数为
21．阅读材料：若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”.
（1）请用“求差法”比较大小： 与；
（2）请运用不同于（1）的方法比较与的大小.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
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【解析】（1）因为，
所以；
（2）因为， ，又，
所以根据两负数比较大小，绝对值大的反而小可得.
22．已知A，B两点在数轴上分别表示a，b.
（1）对照数轴填写下表：
a
6
－6
－6
－6
2
－1.5
b
4
0
4
－4
10
－1.5
A，B两点间的距离
（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系？
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到10和－10的距离之和为20，并求所有这些整数的和；￥
（4）找出（3）中满足到10和－10的距离之差大于1且小于5的整数点P；
（5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，＋取得的值最小？
【答案】详见见解析
【解析】（1）见下表：
a
6
－6
－6
－6
2
－1.5
b
4
0
4
－4
10
－1.5
A，B两点间的距离
2
6
10
2
8
0
（2）d=；
（3）所有这些整数分别为：－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
其和为0.
（4）由题意可知：
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