三角函数02
解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.如图,在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为,
(1)按下列要求写出函数的关系式:
①设,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式,
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出的最大值.
【答案】(1)①因为 , ,
所以,
所以.
②因为,,,
所以
所以,
即,
(2)选择,
所以.
18.如图,某观测站C在城A的南偏西的方向,从城A出发有一条走向为南偏东的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?
【答案】在中,,由余弦定理
,
所以,
在中,由条件知,
所以
由正弦定理
所以
故这时此车距离A城15千米
19.已知函数为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2。
(1)求f(x)的解析式;
(2)若,求的值。
【答案】(1)由已知得:
∵为偶函数,即
∵ ∴
∴
(2)由得,则有
20.一缉私艇A发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船C正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.
【答案】设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在B处追上, 则有
,
所以所需时间2小时,
21.2016年航空航天技术展览会在上海国际展览中心举行,一次飞行表演中,一架直升飞机在海拔800m的高度飞行,从空中A处测出前下方海岛两侧海岸P、Q处的俯角分别是和.
(Ⅰ)试计算这个海岛的宽度.
(Ⅱ)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P、Q处同时测得飞机的仰角为和,他们估计P、Q两处距离大约为600m,由此试估算出观测者甲(在P处)到飞机的直线距离.
【答案】(1)在中,,
则.
在中,,
则.
所以,(m).
(2)在中,,,.
根据正弦定理,得,
则
22.中,内角的对边分别是,已知成等比数列,且.
(1)求的值;
(2)设,求的值.
【答案】(1)由,得
由及正弦定理得
于是
(2)由得
由可得,即
由余弦定理得