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1 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D C A B C B D D B A C 二、填空题：每小题5分，满分20分． 13． 1 ； 14． 2 ； 15． ( , 2] (0,2)  U ； 16． 6 ． 说明：15．写成 ( , 2] (0,2)  U 或 | 2 0 2a a a   或 或 2 0 2aa   或 都给分。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.解：（1）证明：因为 2nnS a n 所以当 1n  时， 1121Sa， 即 1 1a  ．………………………………………………………………… 1 分 当 2n  时， ① 112 ( 1)nnS a n   ②………………………………………… 2 分 ①-②得： 12 2 1n n na a a    ， 即 121nnaa，………………………………………………………… 3 分 所以 111 2 2 2( 1)n n na a a     ，……………………………………… 4 分 即 1 1 2( 2)1 n n a na    ，…………………………………………………… 5 分 又 1 12a  ， 所以 1na  是以 2 为首项以 为公比的等比数列.………………………… 6 分 （2）由（1）知 是以 为首项以 为公比的等比数列， 所以 11 2 2 2nn na     ， 所以 21n na ，………………………………………………………… 7 分 所以 12(2 1) 2 2nn nS n n      所以 1 2 3nnT S S S S    L 2 3 4 12 3 2 4 2 5 2 ( 2)n n         L ……………………… 8 分 2 3 4 1(2 2 2 2 ) (3 4 5 ( 2))n n          LL……………… 9 分 4(1 2 ) (3 2) 1 2 2 n nn   （等比给 1 分，等差给 1 分）……… 11 分 2 2 5242 n nn    ……………………………………………… 12 分 18.解：（1）依题意得：100 (0.0008 0.0025 0.0035 0.0008 0.0002) 1a       …… 1 分 解得： 0.0022a  …………………………………………………………… 2 分 这 100 位员工每月手机使用流量的平均值为： 0.08 550 0.22 650 0.25 750 0.35 850 0.08 950 0.02 1050L             …………………………………………………………………………… 4 分 769 （M） …………………………………………………………… 6 分 （2）若订购 A 套餐则这 100 位员工每月手机使用流量的平均费用为： 2 20 (0.08 0.22) 30 (0.25 0.35) 40 (0.08 0.02)        ………………… 7 分 28 （元）………………………………………………………………… 8 分 若订购 B 套餐则这 100 位员工每月手机使用流量的平均费用为： 30 (0.08 0.22 0.25 0.35 0.08) 0.02 40       ………………………… 9 分 30.2 （元）……………………………………………………………… 10 分 28 30.2Q ……………………………………………………………… 11 分 该企业订购 A 套餐更经济.……………………………………………… 12 分 19.解:(1) 证明：Q 四边形 11BB C C 是菱形，  11B C BC ， …………………………………………………………………… 1 分 1AB B C ， 1AB BC BI ，…………………………………………………… 2 分 1BC 平面 1ABC 1B C AO ，……………………………………………………………………… 3 分 1AB AC ，O 是 1BC 的中点， 1AO BC ，……………………………………………………………………… 4 分 11B C BC OI ， AO  平面 ．…………………………………………………………… 5 分 （2）设菱形 的边长为 x ， 由四边形 是菱形， 1 60B BC  得 1BB C 是等边三角形，则 1B C x ，……………… 6 分 由（1）知 1AO B C ，又O 是 1BC的中点， 1AB AC，又 1 60B AC ， 1AB C 是等边三角形，则 11AC AB B C x   ， 在 Rt ACO 中， 223 2AO AC CO x   ， ………………………………………… 7 分 11 1 3A BCC BCCV S AO g 01 1 3sin1203 2 2x x x      …………………………………………………… 8 分 31 18 x   ， 2x．………………………………………………………………………… 9 分 在 Rt ABO 中， 223 32BO BC CO x    ， 在 Rt BCO 中， 226 62AB BO AO x    ， 1 22 1 1 1 3 15( ) 6 42 2 2 2 2ABB ABS AB B B          ，…………………………… 10 分 设点 1C 到平面 1ABB 的距离为 h ，由 1 1 1 1 1 1C ABB A BB C A BCCV V V     ， …………………… 11 分 得 1 1 1 15 13 3 2ABBS h h      ，解得 2 15 5h  ， 第 19 题图 3 即点 1C 到平面 1ABB 的距离为 2 15 5 ．…………………………………………………… 12 分 20.解：（1）因为 862  xxy ，令 0y 得 0862  xx ，解得： 2x 或 4x 所以曲线 862  xxy 与 x 轴的交点坐标为 )0,4(),0,2( ……………………1 分 设圆C 的方程为： 222 )()( rbyax  ，则依题意得：       222 222 )()4( )()2( 1 rba rba ab ， （只要列对一个方程就给 1 分） ……………………2 分 解得： 3 2 5 a b r       （解对 1 个给 1 分，解对 2 个给 2 分，全解对给 2 分，） ………4 分 所以圆 的方程为： 22( 3) ( 2) 5xy    . ……………………………………5 分 （2）解法一： 直线l 的斜率显然存在，故设直线 的斜率为 k ，则直线 的方程为： kxy  ……6 分 联立 22( 3) ( 2) 5 y kx xy       消 y 并整理得： 08)46()1( 22  xkxk ………7 分 设 ),(),,( 2211 yxNyxM 则 221 1 8 kxx  ， 221 1 46 k kxx   ………………………8 分 因为 OMON 2 所以 12 2xx  ， …………………………………………………9 分 所以 ）（ 21 13 46 k kx   ， 2 2 2 2 121 1 8]13 46[2 kk kxxx   ）（ …………………………10 分 解得： 0k 或 5 12k ， …………………………………………………………11 分 所以直线 的方程为 0y 或 xy 5 12 .……………………………………………12 分 解法二： 如图取 MN 的中点 H ，连接 CMCOCH 、、 ， 则 ONCH  设 mHM  ， dCH  由 OMON 2 ，得： mHMMNOM 22  由 5CM , 13OC ……………………………6 分 所以：        22 22 5 313 md md ……………………………7 分 解得：      2 1 d m ………………………………………8 分 所以圆心C 到直线l 的距离等于 2 设直线l 的方程为 kxy  ，即： 0 ykx …………9 分 所以： 2 1 23 2    k kd ,……………………………10 分 解得： 0k 或 5 12k ……………………………11 分 4 所以：直线l 的方程为： 0y 或 xy 5 12 .…………12 分 解法三： 设直线l 的倾斜角为 则直线 的参数方程为：        sin cos ty tx （t 为参数）…………6 分 把 代入 22( 3) ( 2) 5xy    并整理得： 08)sin4cos6(2  tt  ……………………………7 分 设 NM, 对应的参数分别为 21,tt 则 821 tt ，  sin4cos621 tt ……………8 分 因为 OMON 2 所以 12 2tt  ， 82 2 1 t ，所以 42 21  tt ， ……………………9 分 所以 6sin4cos621  tt ， 所以 36sin16cossin48cos36 22   所以 0tan12tan5 2   ， …………………………………………………10 分 所以 0tan  或 5 12tan  …………………………………………………11 分 所以直线 的方程为 0y 或 xy 5 12 .……………………………………………12 分 21.解：（1） ( ) 2 xf x e a ， …………………………………………………… 1 分 若 0a  ，则 ( ) 0fx  恒成立，……………………………………… 2 分 所以 ()fx的单调递增区间为( , )  ， …………………………… 3 分 若，令 得 ln( )2 ax ， …………………………………… 4 分 令 ( ) 0fx  得 ln( )2 ax ， ………………………………………… 5 分 所以 的单调递增区间为(ln( ), )2 a  ，单调递减区间为( ,ln( ))2 a  ， ……………………………………………………………………… 6 分 （2）令 ( ) 0fx 得 20xe ax，又 0x  所以 2 ( 0) xeaxx   ………… 7 分 因为 所以 2 0 xe x， 故，若 ，则 无零点，即 有 0 个零点，………………… 8 分 若 0a  ，令 2( ) ( 0) xeg x xx   ， 2 2 (1 )() xexgx x   ，……………… 9 分 当01x时 ( ) 0gx  ，当 1x  时 ( ) 0gx  , 所以 ()gx在 (0,1) 上单调递增，在(1, ) 上单调递减，………………… 10 分 所以 max( ) (1) 2g x g e   ， 又因为，当 0x  时， ()gx  ，当 x  时， ()gx  ，…… 11 分 若 2ae 则 有 1 个零点， 若 2ae 则 有 2 个零点.……………………………………………12 分 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.解:（1）由 4cos 及 22cos , sin ,x y x y        得： 5 224x y x，…………………………………………………………………1 分 由 cos( ) 2 24  得： cos sin 4    又 cos , sinxy   ，所以得： 4xy，………………………………2 分 联立 224 4 x y x xy     解得： 2 2 x y    或 4 0 x y    （一组解给 1 分）………………4 分 所以直线l 与曲线 1C 交点的极坐标为 7(2 2, )4 ，(4,0) ，………………………5 分 （3）由（1）知直线 与曲线 交点的直角坐标为(2, 2) ， ， 所以 22(2 4) ( 2) 2 2AB      ，……………………………………………6 分 因此， PAB 的面积取得最小时也就是 P 到直线l 的距离最小的时候 设点 (2cos ,sin )P ，则点 P 到直线l 的距离为： | 2cos sin 4 | 2 d  ,…………………………………………………………7 分 2 5 5| 5( cos sin ) 4 | | 5 sin( ) 4 |55 22   （其中 25sin 5  ， 5cos 5  ） …………………………………………………………………………8 分 当sin( ) 1时， d 取得最小值， min 45 2 d  ， …………………………9 分 所以 面积的最小值为： min 1 1 4 52 2 4 5222 AB d        ………10 分 23.解：（1）当 2a  时,| 2 2| | 1| 1xx    ………………………………………………1 分 1x  时， 2 2 1 1xx    ，得 0x  ，即有 ………………………………………2 分 11x   时， 2 2 1 1xx    ，得 2x  ，即有 ………………………………3 分 1x  时， 2 2 1 1xx    ，得 2 3x  ，即有 …………………………………………4 分 综上，不等式 ( ) 1fx 的解集为 R. …………………………………………………………5 分 （2） 22( ) ( ) ( ) | 2 | | | | 2 | | |g x f x f x x a x x a xaa             ……………………6 分 22| 2 | | 2 | | | | |x a x a x xaa        22| (2 ) (2 ) | | ( ) ( ) |x a x a x xaa        …………………………………………………7 分 4| 2 | | |a a …………………………………………………………………………………8 分 42 | 2 | | | 4 2a ag …………………………………………………………………………9 分 当且仅当 22(2 )(2 ) 0,( )( ) 0x a x a x xaa      且 4| 2 | | |a a 时取“=” 函数 ()gx的最小值为 42……………………………………………………………………10分