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新概念综合问题(1)专项练习
1. 我们给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫作原抛物线的过顶抛物线。
如下图,抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线,设F1的顶点为A,F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点。
图1 图2
(1)如图1,如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx,C(2,0),那么
① a= ,b= 。
② 如果顺次连接A、B、C、D四点,那么四边形ABCD为( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
(2)如图2,抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2,B(2,c-1)。求四边形ABCD的面积。
(3)如果抛物线的过顶抛物线是F2,四边形ABCD的面积为,请直接写出点B的坐标。
2. 对某一个函数给出如下定义:如果存在实数,对于任意的函数值,都满足,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的上确界。例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是2。
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(1)分别判断函数()和()是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界;
(2)如果函数()的上确界是,且这个函数的最小值不超过,求的取值范围;
(3)如果函数()是以3为上确界的有上界函数,求实数的值。
3. 给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离。在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点。
(1)点A的坐标为,则点和射线OA之间的距离为________,点和射线OA之间的距离为________;
(2)如果直线y=x和双曲线之间的距离为,那么k= ;(可在图1中进行研究)
(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O逆时针旋转60°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M。
①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)
②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,抛物线与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离。
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新概念综合问题(1)专项练习
参考答案
1. 解:(1)①由A、C点关于对称轴对称,得对称轴x=1。
将C点坐标代入解析式及对称轴公式,得
解得
故答案为:1,-2;
②当x=1时,代入y=x2,得y=1,B(1,1);
代入y=x2-2x=-1,得y=-1,D(1,-1),
四边形ABCD的对角线相等且互相平分,且互相垂直,
四边形ABCD是正方形,
故选:D。
(2)∵ B(2,c-1),
∴ AC=2×2=4。
∵ 当x=0,y= c,
∴ A(0,c)。
∵ F1:y=ax2+c,B(2,c-1)。
∴ 设F2:y=a(x-2)2+c-1。
∵ 点A(0,c)在F2上,
∴ 4a+c-1=c,
∴ 。
∴ BD=(4a+c)-(c-1)=2。
∴ S四边形ABCD=4。
(3)如图所示:
设F2的解析式
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∵B,D横坐标相同
∴把代入得
∴
∵过点A,B
∴把代入得
∵A,C关于BD对称
∴C点坐标为
B点在A点的右侧时,
∵四边形面积为
∴
∴,得
由
解得
此时B点坐标为
B在点A的左侧时,
∵四边形面积为
∴
∴,得
由
解得
此时B点坐标为
综上所述:,
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2. 解:(1)()不是有上界函数;
()是有上界函数,上确界是1
(2)∵在y=-x+2中,y随x的增大而减小,
∴上确界为,即。
又,所以,解得
∵函数的最小值是
∴,得,解得。
综上所述:
(3)函数的对称轴为
①当时,函数的上确界是。
∴,解得,符合题意。
②当时,函数的上确界是。
∴,解得,不符合题意。
综上所述:。
3. 解:(1)3,;
(2)-1;
(3)①如图,过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH,则图形M为:y轴
正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分)。
[说明:图形M也可描述为:y轴正半轴,直线下方与直线下方重叠的部分(含边界)]
②。
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