第二节 点、直线与圆的位置关系
,河北五年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
23(1)
切线的性质
以线段的旋转为背景，考查扇形与直线的相切及相关证明
5
5
2016
25
半圆与点线相切
圆的操作探究题涉及切线性质
10
10
2015
26
圆与矩形综合探究
在26题压轴题考查学生运用圆的有关知识解决问题的能力
14
14
2014
25(2)(3)
切线的性质
(1)利用切线的性质以及折叠的性质；(2)求折叠的长度；(3)折叠后相关角度的范围
5
5
2013
24(2)
切线的性质
与三角形结合，涉及线段旋转及切线性质的相关计算
4
4
命题规律
纵观河北近五年中考，点、直线与圆的位置关系，一般设置1道题，分值4～14分，考查题型以解答题为主，综合性考查，多以残缺圆为背景，难度大.
,河北五年中考真题及模拟)
切线的性质与判定
1．(2017保定中考模拟)如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为( C )
A．2π B．4π C．2 D．4
2．(2016河北中考)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现：的长与的长之和为定值l，求l；
思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；
点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________；
探究：当半圆M与AB相切时，求的长．(结果保留π， cos35°＝，cos55°＝)
图①
解：发现：如图①，连接OP，OQ，则OP＝OQ＝PQ＝2.∴∠POQ＝60°，∴的长＝＝，∴l＝π·4－＝；
图②
思考：；2；；－；
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图②，当半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，TM.则MT⊥AO，OM⊥PQ.在Rt△POM中，sin∠POM＝＝，∴∠POM＝30°，OM＝.在Rt△TOM中，OT＝＝，∴cos∠AOM＝＝，即∠AOM＝35°，∴∠POA＝35°－30°＝5°，
图③
∴的长＝＝.
②如图③，当半圆M与BO切于点S时，连接QO，MO，SM.由对称性，可得的长＝，由l＝，得的长＝－＝.综上所述，的长为或.
,中考考点清单)
点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)
1.
位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外
数量(d与r)
的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__
直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
2.
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__
切线的性质与判定
3．判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的五个性质：①切线与圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．
切线长定理
5．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．
三角形的外心和内心
6．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．
7．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．
【方法点拨】
1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.
,中考重难点突破)
点与圆和直线与圆的位置关系
【例1】⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不能确定
【解析】利用点与直线的位置关系判断．
【答案】B
1．在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2, －2)，E(0，－3)．画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系．
解：所画的⊙P如图所示；由图可知⊙P的半径为，连接PD.∵PD＝＝，∴点D在⊙P上．
切线的性质及判定
【例2】(2016廊坊二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.
(1)求证：直线DF与⊙O相切；
(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．
【解析】(1)连接AD，OD.由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，由直径得∠ADC＝90°＝∠BFD；由等角的余角相等得∠ODF＝∠BFD，得到∠ODF＝90°，证得相切；(2)连接CE，分别在Rt△AEC和Rt△BCE中求得CE2，得方程求得AC的长．
【答案】解：(1)如图，连接AD，OD.
∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠ACB＝∠ODC，
∴∠ODA＝∠BDF.
∵∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°，
∴∠ODC＋∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，∴直线DF与⊙O相切；
(2)如图，连接CE.
∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.
设半径为r，则AC＝2r.
在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝4r2－49.
在Rt△BCE中，BE＝2r－7，CE2＝BC2－BE2＝36－(2r－7)2＝－4r2＋28r－13，∴4r2－49＝－4r2＋28r－13，∴8r2－28r－36＝0，∴2r2－7r－9＝0，解得r＝4.5或r＝－1(舍去)，∴AC＝2r＝9，∴AC的长为9.
2．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P 点，若∠P＝40°，则∠D的度数为__115°__．
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__．
4．(2016沧州九中二模)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．
解：(1)过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.
又∵PO平分∠APB，
∴OD＝OC，
∴PB是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥PE于点F.
在Rt△OCP中，OP＝＝5.
∵S△OCP＝OC·CP＝OP·CF，∴CF＝.
在Rt△COF中，OF＝＝，
∴EF＝3＋＝.
在Rt△CFE中，CE＝＝.
教后反思
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