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专题训练(五) 三种特殊的等腰
三角形的运用
有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含 36°角的等腰三角
形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．
► 类型一 等腰直角三角形
定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．
性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是 90°，底角是 45°.
判定：利用定义．
1．如图 5－ZT－1，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点 B，C，
D 在同一条直线上．求证：BD＝CE.
图 5－ZT－1
2．如图 5－ZT－2，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，BE⊥AC，垂足为 E，∠ABE
的平分线交 AD 于点 F.判断△DBF 的形状，并证明你的结论．2
图 5－ZT－2
3．如图 5－ZT－3，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D 是 AC 的中点．将一块锐
角为 45°的直角三角尺 ADE 按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与 A，D
重合，连结 BE，EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
图 5－ZT－3
► 类型二 等边三角形
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是 60°.
判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是 60°的等腰
三角形是等边三角形．
图 5－ZT－4
4．如图 5－ZT－4，l∥m，等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 m 上，∠1＝20°，则∠2 的
度数为( )
A．60° B．45°
C．40° D．30°
5．如图 5－ZT－5，在△ABC 中，AB＝AC，D，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC，∠EBC
＝∠E＝60°.若 BE＝6 cm，DE＝2 cm，求 BC 的长．3
图 5－ZT－5
6．如图 5－ZT－6，B 是 AC 上一点，△ABD 和△DCE 都是等边三角形，求证：AC＝BE.
图 5－ZT－6
7．如图 5－ZT－7，△ABC 是等边三角形，E 是 BC 边上任意一点，∠AEF＝60°，EF 交△ABC
的外角∠ACD 的平分线于点 F.
求证：AE＝EF.
图 5－ZT－7
► 类型三 有一角是 36°的等腰三角形
有一角是 36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是 36°的等腰三角形，此时底角是
72°；(2)底角是 36°的等腰三角形，此时顶角是 108°.这两类等腰三角形具有一些共
性．
8．如图 5－ZT－8，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥BE，则∠1 的度数为( )
A．30° B．36° C．38° D．45°
图 5－ZT－8
图 5－ZT－94
.如图 5－ZT－9，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC 于点 D，则∠CBD＝
________°.
10．如图 5－ZT－10，在△ABC 中，AB＝AC，CD 平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC 的度
数为________．
图 5－ZT－10
图 5－ZT－11
11．如图 5－ZT－11 所示，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 AB＝BD，AD＝DC，
则∠BAC＝________°.
12．如图 5－ZT－12，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金
等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数
均不包括△ABC)
(1)在图①中画 1 条线段，使图中有 2 个等腰三角形，并直接写出这 2 个等腰三角形的
顶角度数分别是________度和________度；
(2)在图②中画 2 条线段，使图中有 4 个等腰三角形；
(3)继续按以上操作发现：在图③中画 n 条线段，使图中有 2n 个等腰三角形，其中有
________个黄金等腰三角形．
图 5－ZT－12567
详解详析
1．证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC.
∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC.
在△ADB 和△AEC 中，
∵AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC(S.A.S.)，
∴BD＝CE.
2．解：△DBF 是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC.
∵BF 平分∠ABE，AC⊥BE，
∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝
1
2(∠BAE＋∠ABE)＝
1
2(180°－∠AEB)＝45°，
∴∠DBF＝90°－∠DFB＝45°，
∴DB＝DF，
∴△DBF 是等腰直角三角形．
3．解：数量关系：BE＝EC，位置关系：BE⊥EC.
证明：∵△AED 是等腰直角三角形，
∴∠AED＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，AE＝DE.
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∠EDC＝180°－∠EDA＝180°－45°＝
135°，8
∴∠EAB＝∠EDC.
∵D 是 AC 的中点，
∴AC＝2CD.
又∵AC＝2AB，
∴AB＝CD，
∴△EAB≌△EDC，
∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，即 BE⊥EC.
4．C
5．解：延长 AD 交 BC 于点 M，由 AB＝AC，AD 平分∠BAC 可得 AM⊥BC，BM＝MC＝
1
2BC.
延长 ED 交 BC 于点 N，则△EBN 是等边三角形，
故 EN＝BN＝BE＝6，∴DN＝6－2＝4.
过点 D 作 DF∥BE，则∠DFN＝∠EBC＝60°，∠FDN＝∠E＝60°，
∴△DFN 为等边三角形，
∴MN＝
1
2FN＝
1
2DN＝2，
∴BM＝6－2＝4，
∴BC＝2BM＝8.
6．证明：∵△ABD 和△DCE 都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠CDE＝60°，AD＝BD，CD＝DE，
∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDE，
即∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE.
7．证明：如图，在 AB 上截取 AG＝CE，连结 EG.9
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，则 BG＝BE.
∴△BEG 是等边三角形，
∴∠BGE＝60°，
∴∠AGE＝120°.
∵CF 平分∠ACD，
∴∠ACF＝
1
2(180°－∠ACB)＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∴∠AGE＝∠ECF.
∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，且∠AEF＝∠B＝60°，
∴∠GAE＝∠CEF.
又∵AG＝EC，
∴△AGE≌△ECF(A.S.A.)，
∴AE＝EF.
8．B
9．18
10．72°
11．108
12．解：(1)如图①所示(画图不唯一)．空格处分别填 108，36.
提示：当 AE＝BE 时，∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，∠EBC＝36°，
∴这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 108°和 36°.故填 108 和 36.10
(2)答案不唯一，如图②所示：
(3)空格处填 n.
提示：画 1 条线段可得到 2 个等腰三角形；
画 2 条线段可得到 4 个等腰三角形；
画 3 条线段可得到 6 个等腰三角形……
∴在△ABC 中画 n 条线段，使图中有 2n 个等腰三角形，其中有 n 个黄金等腰三角形．
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