2018年秋八年级数学上册全册同步练习题(共63套华东师大版)
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资料简介
1 专题训练(五) 三种特殊的等腰 三角形的运用 有三种等腰三角形比较特殊:等腰直角三角形、等边三角形和含 36°角的等腰三角 形.下面分类进行训练,帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定. ► 类型一 等腰直角三角形 定义:有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. 性质:(1)两条直角边相等;(2)顶角是 90°,底角是 45°. 判定:利用定义. 1.如图 5-ZT-1,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,点 B,C, D 在同一条直线上.求证:BD=CE. 图 5-ZT-1 2.如图 5-ZT-2,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,BE⊥AC,垂足为 E,∠ABE 的平分线交 AD 于点 F.判断△DBF 的形状,并证明你的结论.2 图 5-ZT-2 3.如图 5-ZT-3,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,D 是 AC 的中点.将一块锐 角为 45°的直角三角尺 ADE 按如图所示的方式放置,使三角尺斜边的两个端点分别与 A,D 重合,连结 BE,EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想. 图 5-ZT-3 ► 类型二 等边三角形 定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形. 性质:(1)三边都相等;(2)三个角都是 60°. 判定:(1)定义;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是 60°的等腰 三角形是等边三角形.                     图 5-ZT-4 4.如图 5-ZT-4,l∥m,等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 m 上,∠1=20°,则∠2 的 度数为(  ) A.60°   B.45° C.40°   D.30° 5.如图 5-ZT-5,在△ABC 中,AB=AC,D,E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC =∠E=60°.若 BE=6 cm,DE=2 cm,求 BC 的长.3 图 5-ZT-5 6.如图 5-ZT-6,B 是 AC 上一点,△ABD 和△DCE 都是等边三角形,求证:AC=BE. 图 5-ZT-6 7.如图 5-ZT-7,△ABC 是等边三角形,E 是 BC 边上任意一点,∠AEF=60°,EF 交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F. 求证:AE=EF. 图 5-ZT-7 ► 类型三 有一角是 36°的等腰三角形 有一角是 36°的等腰三角形包括两种情况:(1)顶角是 36°的等腰三角形,此时底角是 72°;(2)底角是 36°的等腰三角形,此时顶角是 108°.这两类等腰三角形具有一些共 性. 8.如图 5-ZT-8,过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥BE,则∠1 的度数为(  ) A.30° B.36° C.38° D.45° 图 5-ZT-8      图 5-ZT-94 .如图 5-ZT-9,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC 于点 D,则∠CBD= ________°. 10.如图 5-ZT-10,在△ABC 中,AB=AC,CD 平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC 的度 数为________. 图 5-ZT-10     图 5-ZT-11 11.如图 5-ZT-11 所示,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,且 AB=BD,AD=DC, 则∠BAC=________°. 12.如图 5-ZT-12,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金 等腰三角形.请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形的个数 均不包括△ABC) (1)在图①中画 1 条线段,使图中有 2 个等腰三角形,并直接写出这 2 个等腰三角形的 顶角度数分别是________度和________度; (2)在图②中画 2 条线段,使图中有 4 个等腰三角形; (3)继续按以上操作发现:在图③中画 n 条线段,使图中有 2n 个等腰三角形,其中有 ________个黄金等腰三角形. 图 5-ZT-12567 详解详析 1.证明:∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, ∴AD=AE,AB=AC. ∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD, ∴∠DAB=∠EAC. 在△ADB 和△AEC 中, ∵AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC, ∴△ADB≌△AEC(S.A.S.), ∴BD=CE. 2.解:△DBF 是等腰直角三角形. 证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC,AD 平分∠BAC. ∵BF 平分∠ABE,AC⊥BE, ∴∠DFB=∠DAB+∠ABF= 1 2(∠BAE+∠ABE)= 1 2(180°-∠AEB)=45°, ∴∠DBF=90°-∠DFB=45°, ∴DB=DF, ∴△DBF 是等腰直角三角形. 3.解:数量关系:BE=EC,位置关系:BE⊥EC. 证明:∵△AED 是等腰直角三角形, ∴∠AED=90°,∠EAD=∠EDA=45°,AE=DE. ∵∠BAC=90°, ∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°,∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°= 135°,8 ∴∠EAB=∠EDC. ∵D 是 AC 的中点, ∴AC=2CD. 又∵AC=2AB, ∴AB=CD, ∴△EAB≌△EDC, ∴EB=EC,且∠AEB=∠DEC, ∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°,即 BE⊥EC. 4.C 5.解:延长 AD 交 BC 于点 M,由 AB=AC,AD 平分∠BAC 可得 AM⊥BC,BM=MC= 1 2BC. 延长 ED 交 BC 于点 N,则△EBN 是等边三角形, 故 EN=BN=BE=6,∴DN=6-2=4. 过点 D 作 DF∥BE,则∠DFN=∠EBC=60°,∠FDN=∠E=60°, ∴△DFN 为等边三角形, ∴MN= 1 2FN= 1 2DN=2, ∴BM=6-2=4, ∴BC=2BM=8. 6.证明:∵△ABD 和△DCE 都是等边三角形, ∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE, ∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠CDE, 即∠ADC=∠BDE, ∴△ADC≌△BDE, ∴AC=BE. 7.证明:如图,在 AB 上截取 AG=CE,连结 EG.9 ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,则 BG=BE. ∴△BEG 是等边三角形, ∴∠BGE=60°, ∴∠AGE=120°. ∵CF 平分∠ACD, ∴∠ACF= 1 2(180°-∠ACB)=60°, ∴∠ECF=120°, ∴∠AGE=∠ECF. ∵∠AEC=∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,且∠AEF=∠B=60°, ∴∠GAE=∠CEF. 又∵AG=EC, ∴△AGE≌△ECF(A.S.A.), ∴AE=EF. 8.B 9.18 10.72° 11.108 12.解:(1)如图①所示(画图不唯一).空格处分别填 108,36. 提示:当 AE=BE 时,∠A=∠ABE=36°,则∠AEB=108°,∠EBC=36°, ∴这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 108°和 36°.故填 108 和 36.10 (2)答案不唯一,如图②所示: (3)空格处填 n. 提示:画 1 条线段可得到 2 个等腰三角形; 画 2 条线段可得到 4 个等腰三角形; 画 3 条线段可得到 6 个等腰三角形…… ∴在△ABC 中画 n 条线段,使图中有 2n 个等腰三角形,其中有 n 个黄金等腰三角形.

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