1
2.4 等腰三角形的判定定理
A 组
1.在△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b,下列条件不能判定△ABC 是等腰三角形的是(D)
A. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3
B. a∶b∶c=2∶2∶3
C. ∠B=50°,∠C=80°
D. 2∠A=∠B+∠C
2.给出下列三角形:①有两个角等于 60°;②有一个角等于 60°的等腰三角形;③三
个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等
腰三角形.其中是等边三角形的是(D)
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
(第 3 题)
3.如图,在△ABC 中,AB=7,AC=5,BC=6,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D,过
点 D 作 BC 的平行线交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,则△AEF 的周长为(C)
A. 9 B. 11
C. 12 D. 13
4.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,请你再添加一个条件,确定△ABC 是等腰三角
形.你添加的条件是 BD=CD(答案不唯一).
,(第 4 题)) ,(第 5 题))
5.如图,已知 OA=5,P 是射线 ON 上的一个动点,∠AON=60°.当 OP=__5__时,△
AOP 为等边三角形.
(第 6 题)
6.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,EG∥AD,找出图中的等腰三角形,并给出证
明.
【解】 △AEF 是等腰三角形.证明如下:
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.2
∵EG∥AD,
∴∠E=∠CAD,∠EFA=∠BAD,
∴∠E=∠EFA,
∴△AEF 是等腰三角形.
(第 7 题)
7.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, AD⊥BC,BE 平分∠ABC.求证: △AEF是等腰三
角形.
【解】 ∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵∠ADB+∠CBE+∠BFD=180°,
∠BAC+∠ABE+∠BEA=180°,
∴∠BFD=∠BEA.
∵∠BFD=∠AFE,∴∠BEA=∠AFE.
∴△AEF 是等腰三角形.
8.如图,已知 AB=AD,∠ABC=∠ADC, 则 BC=CD,请说明理由.
(第 8 题)
(第 8 题解)
【解】 如解图,连结 BD.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABD-∠ABC=∠ADB-∠ADC,
即∠CBD=∠CDB,∴BC=CD.
B 组
3
(第 9 题)
9.如图,E 是等边三角形 ABC 中 AC 边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE 的形状是(B)
A.一般等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定形状
【解】 ∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
又∵∠1=∠2,BE=CD,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴AE=AD,∠CAD=∠BAE=60°.
∴△ADE 是等边三角形.
(第 10 题)
10.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过点 E 作
EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数.
(2)若 CD=2,求 DF 的长.
【解】 (1)∵△ABC 为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDF=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠F=30°,
∴∠CEF=∠ACB-∠F=30°=∠F,
∴CE=CF.
∵∠EDF=∠ACB=60°,
∴△CDE 为等边三角形,
∴CD=CE,
∴DF=DC+CF=DC+CE=2CD=4.
11.如图①,A 是线段 BC 上一点,△ABD 和△ACE 都是等边三角形.
(1)连结 BE,DC,求证:BE=DC.
(2)如图②,将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为__60__度时,边 AD′落在 AE 上.4
②在①的条件下,延长 DD′交 CE 于点 P,连结 BD′,CD′.当线段 AB,AC 满足什么
数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.
(第 11 题)
【解】 (1)∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC.
在△BAE 和△DAC 中,∵{AB=AD,
∠BAE=∠DAC,
AE=AC,
∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=DC.
(2)①∵∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠DAE=180°-60°×2=60°.
∵边 AD′落在 AE 上,
∴旋转角=∠DAE=60°.
②当 AC=2AB 时,△BDD′与△CPD′全等.
证明如下:
由旋转可知,AB′与 AD 重合,
∴AB=DB=DD′=AD′.
又∵BD′=BD′,∴△ABD′≌△DBD′(SSS).
∴∠ABD′=∠DBD′=
1
2∠ABD=
1
2×60°=30°.
同理,∠AD′B=∠DD′B=30°,∴DP∥BC.
∵△ACE 是等边三角形,
∴AC=AE=CE,∠ACE=60°.
∵AC=2AB,∴AE=2AD′.
∴∠PCD′=∠ACD′=
1
2∠ACE=
1
2×60°=30°.
∴∠ABD′=∠ACD′.∴BD′=CD′.
∵DP∥BC,∴∠PD′C=∠ACD′=30°.
∴∠DBD′=∠DD′B=∠PCD′=∠PD′C=30°.
在△BDD′与△CPD′中,∵{∠DBD′=∠PCD′,
BD′=CD′,
∠DD′B=∠PD′C,
∴△BDD′≌△CPD′(ASA).
数学乐园5
(第 12 题)
12.如图,△ABC 和△ADC 都是等边三角形,点 E,F 同时分别从点 B,A 出发,以相同
的速度各自沿 BA,AD 的方向运动到点 A,D 停止,连结 EC,FC.
(1)在点 E,F 运动的过程中,∠ECF 的度数是否随之变化?请说明理由.
(2)在点 E,F 运动的过程中,以 A,E,C,F 为顶点的四边形的面积变化了吗?请说明
理由.
(3)连结 EF,在图中找出所有和∠ACE 相等的角,并说明理由.
(4)若点 E,F 在射线 BA,射线 AD 上继续运动下去,(1)中的结论还成立吗?直接写出
结论,不必说明理由.导学号:91354011
【解】 (1)没有变化.理由如下:
∵点 E,F 的速度相同,且同时运动,
∴BE=AF.
∵△ABC 和△ADC 都是等边三角形,
∴BC=AC,∠B=∠ACB=∠CAF=60°.
在△BCE 和△ACF 中,∵{BE=AF,
∠B=∠CAF=60°,
BC=AC,
∴△BCE≌△ACF(SAS),∴∠BCE=∠ACF,
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°.
(2)没有变化.理由如下:
由(1)知,△BCE 与△ACF 的面积相等,
∴S 四边形 AECF=S△ACF+S△ACE=S△BCE+S△ACE=S△ABC.
∴四边形 AECF 的面积没有变化.
(3)∠AFE=∠DCF=∠ACE.理由如下:
∵△ABC 和△ADC 都是等边三角形,
∴∠EAC=∠FDC=60°,AB=AC=DC=AD.
∵BE=AF,∴AB-BE=AD-AF,即 AE=DF,
∴△ACE≌△DCF(SAS),
∴∠ACE=∠DCF,EC=FC.
又∵∠ECF=60°,
∴△ECF 是等边三角形,∴∠EFC=60°,
∴∠AFE+∠DFC=120°.
∵∠D=60°,∴∠DCF+∠DFC=120°,
∴∠AFE=∠DCF=∠ACE.
(4)(1)中的结论仍成立.