1
2.4 等腰三角形的判定定理
A 组
1．在△ABC 中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC 是等腰三角形的是(D)
A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B． a∶b∶c＝2∶2∶3
C． ∠B＝50°，∠C＝80°
D． 2∠A＝∠B＋∠C
2．给出下列三角形：①有两个角等于 60°；②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三
个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等
腰三角形．其中是等边三角形的是(D)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
(第 3 题)
3．如图，在△ABC 中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，过
点 D 作 BC 的平行线交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，则△AEF 的周长为(C)
A． 9 B． 11
C． 12 D． 13
4．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，请你再添加一个条件，确定△ABC 是等腰三角
形．你添加的条件是 BD＝CD(答案不唯一)．
,(第 4 题)) ,(第 5 题))
5．如图，已知 OA＝5，P 是射线 ON 上的一个动点，∠AON＝60°．当 OP＝__5__时，△
AOP 为等边三角形．
(第 6 题)
6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证
明．
【解】 △AEF 是等腰三角形．证明如下：
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．2
∵EG∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，
∴∠E＝∠EFA，
∴△AEF 是等腰三角形．
(第 7 题)
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE 平分∠ABC．求证： △AEF是等腰三
角形．
【解】 ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．
∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，
∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，
∴∠BFD＝∠BEA．
∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．
∴△AEF 是等腰三角形．
8．如图，已知 AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则 BC＝CD，请说明理由．
(第 8 题)
(第 8 题解)
【解】 如解图，连结 BD．
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，
即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．
B 组
3
(第 9 题)
9．如图，E 是等边三角形 ABC 中 AC 边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE 的形状是(B)
A．一般等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
【解】 ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
又∵∠1＝∠2，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．
∴△ADE 是等边三角形．
(第 10 题)
10．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作
EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F．
(1)求∠F 的度数．
(2)若 CD＝2，求 DF 的长．
【解】 (1)∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠EDF＝∠B＝60°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．
(2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F，
∴CE＝CF．
∵∠EDF＝∠ACB＝60°，
∴△CDE 为等边三角形，
∴CD＝CE，
∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．
11．如图①，A 是线段 BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．
(1)连结 BE，DC，求证：BE＝DC．
(2)如图②，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为__60__度时，边 AD′落在 AE 上．4
②在①的条件下，延长 DD′交 CE 于点 P，连结 BD′，CD′．当线段 AB，AC 满足什么
数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
(第 11 题)
【解】 (1)∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC．
在△BAE 和△DAC 中，∵{AB＝AD，
∠BAE＝∠DAC，
AE＝AC，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．
(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．
∵边 AD′落在 AE 上，
∴旋转角＝∠DAE＝60°．
②当 AC＝2AB 时，△BDD′与△CPD′全等．
证明如下：
由旋转可知，AB′与 AD 重合，
∴AB＝DB＝DD′＝AD′．
又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．
∴∠ABD′＝∠DBD′＝
1
2∠ABD＝
1
2×60°＝30°．
同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．
∵△ACE 是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．
∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．
∴∠PCD′＝∠ACD′＝
1
2∠ACE＝
1
2×60°＝30°．
∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．
∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．
∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．
在△BDD′与△CPD′中，∵{∠DBD′＝∠PCD′，
BD′＝CD′，
∠DD′B＝∠PD′C，
∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．
数学乐园5
(第 12 题)
12．如图，△ABC 和△ADC 都是等边三角形，点 E，F 同时分别从点 B，A 出发，以相同
的速度各自沿 BA，AD 的方向运动到点 A，D 停止，连结 EC，FC．
(1)在点 E，F 运动的过程中，∠ECF 的度数是否随之变化？请说明理由．
(2)在点 E，F 运动的过程中，以 A，E，C，F 为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明
理由．
(3)连结 EF，在图中找出所有和∠ACE 相等的角，并说明理由．
(4)若点 E，F 在射线 BA，射线 AD 上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出
结论，不必说明理由．导学号：91354011
【解】 (1)没有变化．理由如下：
∵点 E，F 的速度相同，且同时运动，
∴BE＝AF．
∵△ABC 和△ADC 都是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．
在△BCE 和△ACF 中，∵{BE＝AF，
∠B＝∠CAF＝60°，
BC＝AC，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．
(2)没有变化．理由如下：
由(1)知，△BCE 与△ACF 的面积相等，
∴S 四边形 AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．
∴四边形 AECF 的面积没有变化．
(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：
∵△ABC 和△ADC 都是等边三角形，
∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．
∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即 AE＝DF，
∴△ACE≌△DCF(SAS)，
∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．
又∵∠ECF＝60°，
∴△ECF 是等边三角形，∴∠EFC＝60°，
∴∠AFE＋∠DFC＝120°．
∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°，
∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．
(4)(1)中的结论仍成立．
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