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11.2.1 三角形内角和定理
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若∠
A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°﹣∠B；④∠A=
∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
3．已知，在△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，则∠B=（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
4．有一个外角等于 120°，且有两个内角相等的三角形是（ ）
A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
5．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且 x＞y＞0，则该三角形
有一个内角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．60°
6．在△ABC 中，∠A=25°，∠B=63°，则△ABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 外点 A'的位置，则下列结论正
确的是（ ）
A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A2
8．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=1：2：3，能确定△
ABC 为直角三角形的条件有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
9．如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 上的点 A′处，如果∠
A′EC=70°，则∠A′DE 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．65°
10．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
11．如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD，若∠
B=30°，∠C=40°，则∠DAC 的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．75°
12．一个缺角的三角形 ABC 残片如图所示，量得∠A=45°，∠B=60°，则这个三角形残缺前
的∠C 的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
二．填空题（共 8 小题）
13．在△ABC 中，若∠A=78°，∠B=57°，则∠C= ．
14 ． 已 知 三 角 形 的 三 个 内 角 的 度 数 比 为 2 ： 3 ： 4 ， 则 这 个 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数
为 ．3
15．一个三角形的三个内角中最多有 个钝角（或直角）．
16．在△ABC 中，∠C=60°，∠A=2∠B，则∠A= ．
17．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB=
（度）．
18．在直角△ABC 中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．
19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）
20 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ABC 和 ∠ ACB 的 平 分 线 交 于 点 O ， 若 ∠ A=80° ， 则 ∠
BOC= ．
三．解答题（共 4 小题）
21．如图，已知 DF⊥AB 于点 F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB 的度数．4
22．如图，在△ABC 中，∠A=50°，过点 C 作 CD∥AB，若 CB 平分∠ACD，求∠B 的度数．
23．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=50°，AE 是∠BAC 的平分线，AD 是高．
（1）求∠BAE 的度数；
（2）求∠EAD 的度数；
（3）△ABC 中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE 与
α，β 间的等量关系，并说明理由．5
24．如图，△ABC 中 AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠B=50°，∠C=70°．
（1）∠BAC= °；
（2）求∠DAE 的度数．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，
∴∠DCB= 78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选：C．
2．
解：①因为∠A+∠B=∠C，则 2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则 x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，
所以△ABC 是直角三角形；
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC 是直角
三角形；
④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．
所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③共 3 个．
故选：D．
3．
解：∵在△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，
∴∠B=180°﹣60°﹣80°=40°．
故选：D．
4．7
解：当∠BAC 的外角是 120°时，
则∠BAC=60°，
∠B=∠C= （180°﹣∠BAC）=60°，
即∠BAC=∠B=∠C，
所以△ABC 是等边三角形；
当∠ABC 的外角是 120°时，∠ABC=60°，
即∠C=∠ABC=60°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠C，
∴△ABC 是等边三角形；
同样当∠ACB 的外角是 120°，也能推出△ABC 是等边三角形；
故选：C．
5．
解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为 180°，
∴x+y+x﹣y+x=180，
∴3x=180，
x=60，
故选：D．
6．
解：∵△ABC 中，∠A=25°，∠B=63°，
∴∠C=180°﹣25°﹣63°=92°，
∴△ABC 是钝角三角形．
故选：C．8
7．
解：∵△A′DE 是△ADE 沿 DE 折叠得到，
∴∠A′=∠A，
∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2，
∴∠1﹣∠2=2∠A，
故选：D．
8．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴若 ①∠A+∠B=∠C，则∠C=90°．三角形为直角三角形；
②∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°．三角形不是直角三角形；
③∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形；
故选 B．
9．
解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，
又∵∠A′ED=∠AED= ∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．
故选：D．
10．
解：设三个内角分别为 2k、3k、4k，
则 2k+3k+4k=180°，9
解得 k=20°，
所以，最大的角为 4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
11．
解：∵AB=BD，∠B=30°，
∴∠ADB=75°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=75°﹣40°=35°．
故选：B．
12．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（45°+60°）=75°，
故选：A．
二．填空题（共 8 小题）
13．
解：由题可得，
∠C=180﹣∠A﹣∠B
=180°﹣78°﹣57°
=45°，
故答案为：45°．
14．
解：根据三角形的内角和定理，得
三个内角分别是 180°× =40°，180°× =60°，180°× =80°．
10
15．
解：假设三角形中，出现 2 个或 3 个钝角，那么三角形的内角和就大于 180°，不符合三角
形内角和是 180°，因而假设不成立，
所以一个三角形中最多有一个钝角．
故答案为：1．
16．
解：设∠A=2x，则∠B=x，
由三角形内角和等于 180°，得：2x+x+60°=180°，
解得 x=40°．
∴∠A=2x=2×40°=80°．
故答案为：80°．
17．
解：由题意可得∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），
又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，
∴90°﹣2∠B= ∠B，
则∠B=36°，
∴∠BAC=2∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°．
故答案为 72
18．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．
故答案是：270°．
11
19．
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
20．
解：∵在△ABC 中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 O 点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
三．解答题（共 4 小题）
21．
解：∵DF⊥AB 于点 F，
∴∠AFE=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AEF=45°，
∴∠CED=∠AEF=45°．
∴∠ACB=∠D+∠CED=30°+45°=75°．
22．12
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=50°，
∴∠B+∠ACB=130°．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠B．
∵CB 平分∠ACD，
∴∠DCB=∠ACB，
∴∠ACB=∠B，
∴2∠B=130°，
∴∠B=65°．
23．
解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°．
又∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×100°=50°．
（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°﹣30°=60°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50°=10°．
（3）∠DAE= （β﹣α），理由如下：
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°﹣α﹣β．
又∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC=90°﹣ （α+β）．
∵∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣α，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣[90°﹣ （α+β）]= （β﹣α）．13
24．
解：（1）∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°
故答案为：60°
（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∠BAC=60°
∴∠BAE=30°
∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE
=100°
∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADE=90°
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE
=100°﹣90°
=10°
答：∠DAE 的度数是 10°．
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