22.2.3 公式法
知识点 1 对求根公式的理解
1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________的形式，确定________，________，________的值，当________时，可得方程的根为______________．
2．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( )
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3
3．用公式法解方程(x＋2)2＝6x＋8时，b2－4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．－12
知识点 2 用公式法解一元二次方程
4．解下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A．(x＋2)2－16＝0 B．(x＋1)2＝4
C. x2＝1 D．x2－3x－5＝0
5．一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝－3
6．方程x2＋x－1＝0的正根是__________．
7．在一元二次方程2x2＋x＝6中，b2－4ac＝________，x1＝________，x2＝________．
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x＋1＝0; (2)4x2－12＝2x；
(3)x2－2x＋2＝0; (4)2x2＋8x－7＝0.
9．以x＝(b2＋4c≥0)为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
7
10．如图22－2－2所示，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )
A．4＋2 B．12＋6
C．2＋2 D．2＋或12＋6
图22－2－2
11．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的根为( )
A．x＝－2
B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝
D．x1＝，x2＝
12．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1，则另一个根是________．
13．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋6＝0，若b2－4ac＝37，则m＝________．
14. 方程(x＋4)(x－5)＝1的根为____________．
15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．
16．［教材例6(4)变式］用公式法解下列方程：
(1)3y(y－3)＝2(y＋1)(y－1)；
(2)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
17．当m取何值时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x的一元二次方程？并求出此方程的解．
7
18．设a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，请你求出方程ax2＋bx＋c＝0的根．
19．阅读下列材料，解答问题：
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0(*)，解此方程得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x＝±，∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.
(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程：(x2－x)2－8(x2－x)＋12＝0.
20．已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a2－4a＋2018的值；
7
(2)化简并求值：－－.
7
1．ax2＋bx＋c＝0 a b c b2－4ac≥0 x＝
2．D
3．C 4．D 5．C
6.
7．49 －2
8．解：(1)∵a＝1，b＝－6，c＝1，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32>0，
∴x＝，
∴x1＝3＋2 ，x2＝3－2 .
(2)原方程可化为2x2－x－6＝0，
∴a＝2，b＝－1，c＝－6，
∴b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－6)＝49>0，
∴x＝，
∴x1＝2，x2＝－.
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝2，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－40，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
9．D 10． A 11． D
12．
13．± 14． x1＝，x2＝
15．－5
16．：(1)原方程可化为y2－9y＋2＝0，
∴a＝1，b＝－9，c＝2，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×1×2＝73>0，
∴y＝，
∴y1＝，y2＝.
(2)原方程可化为3x2－6x＋2＝0，
7
∴a＝3，b＝－6，c＝2，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
17．解：由题意得m2＋1＝2且m＋1≠0，
解得m＝1，
∴原方程是2x2－2x－1＝0，
解得x＝.
18．∵(2－a)2≥0，≥0，|c＋8|≥0，
而(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，
∴
解得
故所求方程为2x2＋4x－8＝0，即x2＋2x－4＝0，∴x＝－1±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
19．：(1)换元 转化
(2)设x2－x＝y，则原方程可化为y2－8y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝6.当y＝2时，x2－x＝2，解得x＝－1或x＝2；当y＝6时，x2－x＝6，解得x＝－2或x＝3，
∴原方程的解为x1＝－1，x2＝2，x3＝－2，x4＝3.
20．[全品导学号：15572071]解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根，
∴a2－4a＋1＝0，∴a2－4a＝－1，
∴a2－4a＋2018＝－1＋2018＝2017.
(2)原方程的解是x＝＝2±.
∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，
∴a＝2－，且a－1
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