第2课时 解直角三角形的应用——仰角、俯角
知识点 1 仰角与解直角三角形的应用
1.如图24-4-12,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处测得树顶A的仰角∠ABO=α,则树OA的高度为( )
A. 米 B.30sinα米
C.30tanα米 D.30cosα米
图24-4-12
2.如图24-4-13,在塔AB前的平地上选择一点C,测得塔顶的仰角为30°,从C点向塔底走100米到达D点,测得塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )
A.50米 B.100米
C.50(+1)米 D.50(-1)米
图24-4-13
3.[2017·邵阳]如图24-4-14所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得点A,R间的距离是40 km,点A的仰角是30°.n s后,火箭到达B点,此时测得仰角是45°,则火箭在这n s中上升的高度为________ km.
图24-4-14
4.[教材例3变式]如图24-4-15,某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆AB的高度,在操场的平地上选择一点C,测得旗杆顶端A的仰角为30°,再向旗杆的方向前进16米,到达点D处(C,D,B三点在同一直线上),又测得旗杆顶端A的仰角为45°,求旗杆AB的高度.(结果保留根号)
图24-4-15
知识点 2 俯角与解直角三角形的应用
5.在高为100 m的楼顶测得地面上某目标的俯角为α,要求楼底到该目标的水平距离,
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可根据题意画出如下图形,因为∠BAC=α,BC=________m,所以利用锐角三角函数的定义可得
AB=________÷________=________m.
图24-4-16
6.如图24-4-17,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )
A.100 m B.50 m
C.50 m D. m
图24-4-17
7.[2016·阜新]如图24-4-18,在高出海平面120 m的悬崖顶A处,观测海面上的一艘小船B,并测得它的俯角为30°,那么船与观测者之间的水平距离为________m.(结果用根号表示)
图24-4-18
8.[2017·临沂]如图24-4-19,两座建筑物的水平距离BC=30 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.
图24-4-19
9.[2016·巴彦淖尔]如图24-4-20,某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,
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立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援,当飞机到达海面3000 m的高空C处时,测得A处渔政船的俯角为45°,测得B处发生险情渔船的俯角为30°,此时渔政船和渔船的距离AB是( )
A.3000 m B.3000(+1)m
C.3000(-1)m D.1500 m
图24-4-20
10.[2017·黄冈]在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌ABCD(如图24-4-21所示),已知标语牌的高AB=5 m,在地面上的点E处测得标语牌上点A的仰角为30°,在地面上的点F处测得标语牌上点A的仰角为75°,且点E,F,B,C在同一直线上,求点E与点F之间的距离.(计算结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
图24-4-21
11.[2017·随州]风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源,风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①),图②是从图①引出的平面图(示意图).假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°,沿HA方向水平前进43米到达山底G处,在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置,此时测得叶片的顶端D(点D,C,H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),山高BG为10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆CH的高.(参考数据:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
图24-4-22
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12.如图24-4-23(示意图),某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°,看台最高点B到地面的垂直距离BC为2.4米,看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE,在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°,已知测角仪BF的高度为1.2米,看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为15米(点C,A,D在同一条直线上).
(1)求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB;
(2)一面红旗挂在旗杆上,固定红旗的上下两个挂钩G,H之间的距离为1.2米,下端挂钩H与地面的距离为1米,要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端,求红旗升起的平均速度(精确到0.01米/秒).
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)
图24-4-23
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教师详答
1.C [解析] 在Rt△ABO中,∵∠AOB=90°,∠ABO=α,BO=30米,∴AO=BO·tanα=30tanα(米).故选C.
2.C [解析] 在Rt△ABD中,
∵∠ADB=45°,∴BD=AB.
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=30°,
∴tan∠ACB==tan30°=,
∴BC=AB.
设AB=x米,
∵CD=100米,∴BC=(x+100)米,
∴x+100=x,
解得x=50(+1).
即塔AB的高为50(+1)米.
故选C.
3.(20 -20)
4.解:由题意可得CD=16米.
∵AB=CB·tan30°,AB=BD·tan45°,
∴CB·tan30°=BD·tan45°,
∴(CD+BD)×=BD×1,
即(16+BD)×=BD,
解得BD=(8 +8)米,
∴AB=BD·tan45°=(8 +8)米.
答:旗杆AB的高度是(8 +8)米.
5.100 BC tanα
6.A [解析] 因为 tan30°=,
所以BC==100 (m).
7.120
8.解:延长CD交AM于点E,可得DE⊥AM.
在Rt△AED中,AE=BC=30 m,α=30°,
∴ED=AEtan30°=10 m.
∵β=60°,∴∠BAC=90°-60°=30°.
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=30 m,
∴AB==30 m,
∴CD=EC-ED=AB-ED=30 -10 =20 (m).
答:建筑物AB的高度为30 m,建筑物CD的高度为20 m.
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9. C [解析] 由题意可知CE∥BD,
∴∠CBA=30°,∠CAD=45°,且CD=3000 m,
∴AD=CD=3000 m.
在Rt△BCD中,BD===3000 (m),
∴AB=BD-AD=3000 -3000=3000(-1)m.
故选C.
10.[解析] 如图,作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF=∠HFA=45°,推得AH=HF.设AH=HF=x m,则EF=2x m,EH=x m.在Rt△AEB中,由∠E=30°,AB=5 m,推得AE=2AB=10 m,可得x+x=10,解方程即可.
解:如图,作FH⊥AE于点H.
∵∠HAF=∠AFB-∠E=75°-30°=45°,
∴∠HFA=90°-45°=45°,
即∠HAF=∠HFA=45°,
∴AH=HF.
设AH=HF=x m,则EF=2x m,EH=x m.
在Rt△AEB中,
∵∠E=30°,AB=5 m,
∴AE=2AB=10 m,∴x+x=10,
解得x=5 -5,
∴EF=2x=10 -10≈7.3(m).
答:点E与点F之间的距离约为7.3 m.
11.[解析] 作BE⊥DH于点E,知GH=BE,BG=EH=10,设AH=x,则BE=GH=43+x,由CH=AH·tan∠CAH=tan55°·x,知CE=CH-EH=tan55°·x-10,根据BE=DE,可得关于x的方程,解之即可.
解:如图,作BE⊥DH于点E,
则GH=BE,BG=EH=10.
设AH=x,则BE=GH=GA+AH=43+x.
在Rt△ACH中,CH=AH·tan∠CAH=tan55°·x,
∴CE=CH-EH=tan55°·x-10.
∵∠DBE=45°,
∴BE=DE=CE+DC,
即43+x=tan55°·x-10+35,
解得x≈45,
∴CH=tan55°·x≈1.4×45=63(米).
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答:塔杆CH的高约为63米.
12.[解析] (1)根据正弦的定义计算即可;
(2)作FP⊥ED于点P,根据正切的定义求出AC,根据正切的概念求出EP,计算即可.
解:(1)在Rt△ABC中,AB=≈4.00米.
(2)作FP⊥ED于点P,
AC=≈3.20米,
则CD≈3.2+15=18.20(米),
∴FP=CD≈18.20米,
∴EP=FP·tan∠EFP≈11.83米.
∵DP=BF+BC=3.60米,
∴ED=EP+DP≈15.43米,
EG=ED-GH-HD≈13.23米,
则红旗升起的平均速度为13.23÷30≈0.44(米/秒).
答:红旗升起的平均速度约为0.44米/秒.
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