第2课时 解直角三角形的应用——仰角、俯角
知识点 1 仰角与解直角三角形的应用
1．如图24－4－12，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处测得树顶A的仰角∠ABO＝α，则树OA的高度为( )
A. 米 B．30sinα米
C．30tanα米 D．30cosα米
图24－4－12
2．如图24－4－13，在塔AB前的平地上选择一点C，测得塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测得塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为( )
A．50米 B．100米
C．50(＋1)米 D．50(－1)米
图24－4－13
3．［2017·邵阳］如图24－4－14所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得点A，R间的距离是40 km，点A的仰角是30°.n s后，火箭到达B点，此时测得仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度为________ km.
图24－4－14
4．［教材例3变式］如图24－4－15，某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度．(结果保留根号)
图24－4－15
知识点 2 俯角与解直角三角形的应用
5．在高为100 m的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，要求楼底到该目标的水平距离，
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可根据题意画出如下图形，因为∠BAC＝α，BC＝________m，所以利用锐角三角函数的定义可得
AB＝________÷________＝________m.
图24－4－16
6．如图24－4－17，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m
C．50 m D. m
图24－4－17
7．［2016·阜新］如图24－4－18，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为________m．(结果用根号表示)
图24－4－18
8．［2017·临沂］如图24－4－19，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
图24－4－19
9．［2016·巴彦淖尔］如图24－4－20，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，
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立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000 m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是( )
A．3000 m B．3000(＋1)m
C．3000(－1)m D．1500 m
图24－4－20
10．［2017·黄冈］在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图24－4－21所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面上的点E处测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面上的点F处测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图24－4－21
11．［2017·随州］风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图(示意图)．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(点D，C，H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
图24－4－22
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12．如图24－4－23(示意图)，某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为15米(点C，A，D在同一条直线上)．
(1)求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB；
(2)一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G，H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度(精确到0.01米/秒)．
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
图24－4－23
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教师详答
1．C [解析] 在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠ABO＝α，BO＝30米，∴AO＝BO·tanα＝30tanα(米)．故选C.
2．C [解析] 在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB.
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴tan∠ACB＝＝tan30°＝，
∴BC＝AB.
设AB＝x米，
∵CD＝100米，∴BC＝(x＋100)米，
∴x＋100＝x，
解得x＝50(＋1)．
即塔AB的高为50(＋1)米．
故选C.
3．(20 －20)
4．解：由题意可得CD＝16米．
∵AB＝CB·tan30°，AB＝BD·tan45°，
∴CB·tan30°＝BD·tan45°，
∴(CD＋BD)×＝BD×1，
即(16＋BD)×＝BD，
解得BD＝(8 ＋8)米，
∴AB＝BD·tan45°＝(8 ＋8)米．
答：旗杆AB的高度是(8 ＋8)米．
5．100 BC tanα
6．A [解析] 因为 tan30°＝，
所以BC＝＝100 (m)．
7．120
8．解：延长CD交AM于点E，可得DE⊥AM.
在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，α＝30°，
∴ED＝AEtan30°＝10 m.
∵β＝60°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，
∴AB＝＝30 m，
∴CD＝EC－ED＝AB－ED＝30 －10 ＝20 (m)．
答：建筑物AB的高度为30 m，建筑物CD的高度为20 m.
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9． C [解析] 由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA＝30°，∠CAD＝45°，且CD＝3000 m，
∴AD＝CD＝3000 m.
在Rt△BCD中，BD＝＝＝3000 (m)，
∴AB＝BD－AD＝3000 －3000＝3000(－1)m.
故选C.
10．[解析] 如图，作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，推得AH＝HF.设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m．在Rt△AEB中，由∠E＝30°，AB＝5 m，推得AE＝2AB＝10 m，可得x＋x＝10，解方程即可．
解：如图，作FH⊥AE于点H.
∵∠HAF＝∠AFB－∠E＝75°－30°＝45°，
∴∠HFA＝90°－45°＝45°，
即∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴AH＝HF.
设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m.
在Rt△AEB中，
∵∠E＝30°，AB＝5 m，
∴AE＝2AB＝10 m，∴x＋x＝10，
解得x＝5 －5，
∴EF＝2x＝10 －10≈7.3(m)．
答：点E与点F之间的距离约为7.3 m.
11．[解析] 作BE⊥DH于点E，知GH＝BE，BG＝EH＝10，设AH＝x，则BE＝GH＝43＋x，由CH＝AH·tan∠CAH＝tan55°·x，知CE＝CH－EH＝tan55°·x－10，根据BE＝DE，可得关于x的方程，解之即可．
解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH＝BE，BG＝EH＝10.
设AH＝x，则BE＝GH＝GA＋AH＝43＋x.
在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH＝tan55°·x，
∴CE＝CH－EH＝tan55°·x－10.
∵∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝CE＋DC，
即43＋x＝tan55°·x－10＋35，
解得x≈45，
∴CH＝tan55°·x≈1.4×45＝63(米)．
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答：塔杆CH的高约为63米．
12．[解析] (1)根据正弦的定义计算即可；
(2)作FP⊥ED于点P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．
解：(1)在Rt△ABC中，AB＝≈4.00米．
(2)作FP⊥ED于点P，
AC＝≈3.20米，
则CD≈3.2＋15＝18.20(米)，
∴FP＝CD≈18.20米，
∴EP＝FP·tan∠EFP≈11.83米．
∵DP＝BF＋BC＝3.60米，
∴ED＝EP＋DP≈15.43米，
EG＝ED－GH－HD≈13.23米，
则红旗升起的平均速度为13.23÷30≈0.44(米/秒)．
答：红旗升起的平均速度约为0.44米/秒．
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