九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质同步练习（新版）北师大版.doc

‎3　第1课时　正方形的性质 知识点 1　利用正方形的性质求解与线段有关的问题 ‎1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．‎ 图1－3－1‎ ‎　　　图1－3－2‎ ‎2．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．‎ ‎3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.‎ ‎　图1－3－3‎ 10‎ 知识点 2　利用正方形的性质求解与角有关的问题 ‎4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为(　　)‎ A．10° B．12.5° C．15° D．20°‎ 图1－3－4‎ ‎　　　图1－3－5‎ ‎5．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.‎ ‎6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．‎ ‎(1)求证：△ABE≌△DCE；‎ ‎(2)求∠AED的度数．‎ ‎　图1－3－6‎ 知识点 3　利用正方形的性质求解与面积有关的问题 10‎ ‎7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(　　)‎ A．8 B．‎4 C．8 D．16‎ 图1－3－7‎ ‎8．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．‎ ‎9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．‎ ‎(1)求证：△ADE≌△ABF；‎ ‎(2)求△AEF的面积．‎ 图1－3－8‎ 知识点 4　正方形对称性的应用 ‎10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(　　)‎ A．(1，1) B．(－1，－1)‎ C．(1，－1) D．(－1，1)‎ 10‎ 图1－3－9‎ ‎　　　图1－3－10‎ ‎11.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．‎ ‎12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(　　)‎ A．45° B．55° C．60° D．75°‎ 图1－3－11‎ ‎　　　图1－3－12‎ ‎13.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．‎ ‎14．如图1－3－13，将边长为‎8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．‎ 图1－3－13　　　图1－3－14‎ ‎15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B‎1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B‎2C2，再以正方形OB1B‎2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B‎3C3，以此类推，则正方形OB2017B‎2018C2018的顶点B2018的坐标是________．‎ 10‎ ‎16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎　图1－3－15‎ ‎17．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.‎ ‎(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；‎ ‎(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.‎ 图1－3－16‎ 10‎ 10‎ ‎1．2 ‎2.－1‎ ‎3．证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.‎ ‎∵BF⊥CE，‎ ‎∴∠BCE＋∠CBG＝90°.‎ ‎∵∠ABF＋∠CBG＝90°，‎ ‎∴∠BCE＝∠ABF.‎ 在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，‎ ‎∴△BCE≌△ABF(ASA)，‎ ‎∴AF＝BE.‎ ‎4．C ‎5．22.5　‎ ‎6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，‎ ‎∴∠ABE＝∠ECD＝30°.‎ 在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，‎ ‎∴△ABE≌△DCE(SAS)．‎ ‎(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，‎ ‎∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.‎ ‎∵∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠EAD＝90°－75°＝15°，‎ 同理可得∠ADE＝15°，‎ 10‎ ‎∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.‎ ‎7．A ‎8．2‎ ‎9．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.‎ ‎∵E，F分别为DC，BC的中点，‎ ‎∴DE＝DC，BF＝BC，‎ ‎∴DE＝BF.‎ 在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，‎ ‎∴△ADE≌△ABF(SAS)．‎ ‎(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝×4＝2，CE＝CF＝×4＝2，‎ ‎∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝‎ ‎4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.‎ ‎10．C ‎11．10　12.C ‎13．4‎ ‎14．‎‎3 cm ‎15．(0，21009)　‎ ‎16．证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OD＝OC.‎ 又∵DE＝CF，‎ 10‎ ‎∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.‎ 在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，‎ ‎∴△AOE≌△DOF(SAS)，‎ ‎∴∠OAE＝∠ODF.‎ ‎∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，‎ ‎∴∠ODF＋∠DEM＝90°，‎ 即AM⊥DF.‎ ‎17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，‎ ‎∴AG＝AF，∠GAF＝90°.‎ ‎∵∠EAF＝45°，‎ ‎∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，‎ 即∠GAE＝∠EAF.‎ 在△AEG和△AEF中， ‎∴△AEG≌△AEF(SAS)．‎ ‎(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，‎ ‎∴DF＝BG.‎ 由(1)知△AEG≌△AEF，‎ ‎∴EG＝EF.‎ ‎∵∠CEF＝45°，‎ ‎∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，‎ 10‎ ‎∴BE＝DF，‎ ‎∴BE＝BM＝DF＝BG，‎ ‎∴∠BMG＝45°，‎ ‎∴∠GME＝45°＋45°＝90°，‎ ‎∴EG2＝ME2＋MG2.‎ 又∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，‎ ‎∴EF2＝ME2＋NF2.‎ 10‎