3 第1课时 正方形的性质
知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题
1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．
图1－3－1
图1－3－2
2．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．
3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图1－3－3
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知识点 2 利用正方形的性质求解与角有关的问题
4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
图1－3－4
图1－3－5
5．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.
6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度数．
图1－3－6
知识点 3 利用正方形的性质求解与面积有关的问题
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7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
图1－3－7
8．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．
9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积．
图1－3－8
知识点 4 正方形对称性的应用
10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
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图1－3－9
图1－3－10
11.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．
12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
图1－3－11
图1－3－12
13.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．
14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．
图1－3－13 图1－3－14
15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．
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16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
图1－3－15
17．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.
图1－3－16
10
10
1．2
2.－1
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.
∵BF⊥CE，
∴∠BCE＋∠CBG＝90°.
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，
∴∠BCE＝∠ABF.
在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，
∴AF＝BE.
4．C
5．22.5
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，
∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠ECD＝30°.
在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝90°－75°＝15°，
同理可得∠ADE＝15°，
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∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.
7．A
8．2
9．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.
∵E，F分别为DC，BC的中点，
∴DE＝DC，BF＝BC，
∴DE＝BF.
在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF(SAS)．
(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝×4＝2，CE＝CF＝×4＝2，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝
4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.
10．C
11．10 12.C
13．4
14．3 cm
15．(0，21009)
16．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC.
又∵DE＝CF，
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∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.
在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△AOE≌△DOF(SAS)，
∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，
∴∠ODF＋∠DEM＝90°，
即AM⊥DF.
17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AG＝AF，∠GAF＝90°.
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，
即∠GAE＝∠EAF.
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF(SAS)．
(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG.
由(1)知△AEG≌△AEF，
∴EG＝EF.
∵∠CEF＝45°，
∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，
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∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG，
∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°＋45°＝90°，
∴EG2＝ME2＋MG2.
又∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，
∴EF2＝ME2＋NF2.
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