第2课时 由三视图想象出立体图形
关键问答
①如何由三视图判断几何体？
②从主视图、左视图、俯视图上分别能读出几何体的哪些量？
1．①一个几何体的三视图如图29－2－27所示，这个几何体是( )
图29－2－27
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
2．②某商品的外包装盒的三视图如图29－2－28所示，则这个包装盒的侧面积为( )
图29－2－28
A．150π cm2 B．200π cm2 C．300π cm2 D．400π cm2
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命题点 1 由三视图判断简单几何体 [热度：97%]
3.③某几何体的主视图和左视图如图29－2－29所示，则该几何体可能是( )
图29－2－29
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
解题突破
③熟记一些常见几何体的三视图对解决此类问题非常有帮助.
4．下列各视图中，能组成一个立体图形的三种视图的是( )
图29－2－30
A．①②⑥ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④
命题点 2 由三视图判断组合体 [热度：96%]
5.④某几何体的主视图和左视图完全一样，均如图29－2－31所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
图29－2－31
图29－2－32
模型建立
④由两种视图确定的几何体是不唯一的，事实上，由三种视图确定的几何体也可能不唯一.
6．如图29－2－33所示的三视图所对应的几何体是( )
图29－2－33
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图29－2－34
命题点 3 由三视图计算对应几何体的有关量 [热度：94%]
7．一个几何体的三视图如图29－2－35所示，则该几何体的表面积为( )
图29－2－35
A．4π B．3π C．2π＋4 D．3π＋4
8．2017·凉山州如图29－2－36是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
图29－2－36
A．2 π B．10π C．20π D．4 π
9.⑤一个三棱锥的三视图如图29－2－37所示，这个三棱锥最长棱的长度为________．
图29－2－37
方法点拨
⑤由三视图还原三棱锥，利用三视图，结合勾股定理分别计算各条棱长．
10．⑥如图29－2－38是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为________．
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图29－2－38
解题突破
⑥该几何体的体积为大圆柱的体积减去小圆柱的体积.
11．已知直三棱柱的三视图如图29－2－39，在△PMN中，∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝.
(1)求BC及FG的长；
(2)若主视图与左视图相似，求AB的长；
(3)在(2)的条件下，求直三棱柱的表面积．
图29－2－39
命题点 4 由三视图推断小正方体的个数 [热度：98%]
12．如图29－2－40是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图是( )
图29－2－40
图29－2－41
13．如图29－2－42是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是( )
8
图29－2－42
A．5 B．6 C．7 D．8
14.2017·齐齐哈尔一个几何体的主视图和俯视图如图29－2－43所示，若这个几何体最多由a个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则a＋b等于( )
图29－2－43
A．10 B．11 C．12 D．13
15．⑦如图29－2－44是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数可能是( )
图29－2－44
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
方法点拨
⑦已知组合体的左视图、俯视图，判断组成该几何体的小正方体的数量范围的步骤：在俯视图的方格中标上由左视图所看到的小正方体的最高层数，将这些数字填入所在横行上的每一个方格中，则可得到组成这个几何体所需最多的小正方体的个数；因为由俯视图可以确定底层小正方体的个数，所以方格中的数字最小为1，所以只要将每横行上的数字留一个不变，其余的均改为1，就可以确定组成这个几何体所需最少的小正方体的个数．
16．⑧如图29－2－45是某种工件的三视图，某工厂要铸造5000件这种铁质工件，要用去多少吨生铁？工件铸成后，表面需要涂一层防锈漆，已知1 kg防锈漆可以涂4 m2的铁器面，涂完这批工件要用多少千克防锈漆？(铁的密度为7.8 g/cm3，图中尺寸单位：cm)
图29－2－45
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解题突破
⑧先根据三视图计算工件的体积和表面积，再利用体积乘密度等于质量，表面积(m2)除以4等于所需防锈漆的千克数进行计算.
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详解详析
1．D 2.A 3.C
4．C [解析] ②③⑤能组成一个直四棱柱的三视图．
5．C 6.C
7．D [解析] 由该几何体的三视图可知其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为π×12＋(π＋2)×2＝3π＋4.
故选D.
8．A [解析] 由三视图可知此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可得圆锥的底面半径为2，高为3，∴圆锥的母线长为＝，∴圆锥的底面周长＝圆锥的侧面展开扇形的弧长＝2πr＝2π×2＝4π，∴圆锥的侧面积＝×4π×＝2 π.故选A.
9．2 [解析] 还原几何体如图，由题意得AB＝2，BC＝2，DE＝BE＝CE＝1，BD＝CD＝，AD＝，AC＝2 .故最长棱的长度为2 .
10．70π
11．解：(1)在俯视图中过点P作PK⊥MN于点K，由图可知BC＝MN，FG＝PK.
∵在Rt△PMN中，sin∠PMN＝＝，PN＝4，
∴MN＝5，∴BC＝5，
∴PM＝＝3.
又∵sin∠PMN＝＝，
∴PK＝×3＝，
∴FG＝.
(2)∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB＝EF，
∴＝，即＝，则AB2＝12，
∴AB＝2 (负值已舍去)．
(3)直三棱柱的表面积为×3×4×2＋(5＋3＋4)×2 ＝12＋24 .
12．A 13.A
14．C [解析] 根据主视图可知俯视图中第一列最高有3块，第二列最高有1块，
∴a＝3×2＋1＝7，b＝3＋1＋1＝5，
∴a＋b＝7＋5＝12.
15．D [解析] 由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3
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个小立方体，最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5或6或7.
16．解：∵一件工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000(cm3)，
∴一件工件的质量为8000×7.8＝62400(g)，
62400 g＝62.4 kg，
∴铸造5000件这种铁质工件需生铁5000×62.4＝312000 kg＝312(t)．
∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800(cm2)＝0.28(m2)，
∴涂完这批工件需要防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．
【关键问答】
①由三视图判断几何体，首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形并进行取舍．
②从主视图上能读出几何体的长与高，从俯视图上能读出几何体的长与宽，从左视图上能读出几何体的宽与高．
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