“六校联考”半期考高二数学（理）参考答案第 页共 4 页1
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考
2018-2019 学年第一学期半期考
高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）
1-5 BDCBC 6-12 ADACB AD
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（第 17 题 10 分，18－22 题每题 12 分，共 70 分）
17、解：(1)设等比数列 的公比为 ，
∵ ， ， 成等差数列
∴ 即 ，……………………………（2 分）
即 ，解得 或 (舍去)，∴ .………………（4 分）
所以 的通项为 ( ) ………（5 分）
(2)由上知 ∵ ，
∴ ， ………………（7 分）
∴
……………………（9 分）
∴ …………………（10 分）
即数列 的前 项和为 ．
18、解：（1）由题意知： 且 和 是方程 的两根，………（2 分）
由根与系数的关系有 ，解得 ……（6 分）“六校联考”半期考高二数学（理）参考答案第 页共 4 页2
（2）不等式 可化为 ，
即 ． ……………（8 分）
其对应方程的两根为
①当 即 时，原不等式的解集为 ；……（9 分）
②当 即 时，原不等式的解集为 ；………（10 分）
③当 即 时，原不等式的解集为 ； ……（11 分）
综上所述：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；……（12 分）
19、解：（1）（法一）：在 中，由正弦定理得
∴ ………………………（2 分）
又 ，∴ ，
∴ ……………………………（4 分）
∴ ……………………………（5 分）
， 故 ……………………………（6 分）
（法二）由余弦定理得 ………………（2 分）
∴ ……………………………（3 分）
∴ , ……………………………（5 分）
, 故 ． ……………………………（6 分）
（2） ，所以 ． …………………（8 分）
由余弦定理得 ………………（9 分）
∴
∴ ………………（11 分）
∴ 周长为 ……………（12 分）
20、（1）由题意知 …………………（1 分）
即 ……………………………（2 分）“六校联考”半期考高二数学（理）参考答案第 页共 4 页3
由正弦定理得 ……………………………（3 分）
由余弦定理得 …………………………… （4 分）
又 …………………………… （5 分）
（2） ………………（6 分）
则 的周长
.…………（8 分）
，……………………………（10 分）
，
周长的取值范围是 .……………………………（12 分）
21、解：（1）由 ………①
当 时， ② ……………………（2 分）
①–②得 即 ……………………………（3 分）
当 时， 也满足上式 ……………………………（4 分）
∴ ……………………………（5 分）“六校联考”半期考高二数学（理）参考答案第 页共 4 页4
(2)由(1)得, , ……………………………（6 分）
所以 ………①
∴ ………② …（7 分）
①－②，得
…………………（9 分）
依题意 ，即 即 成立， …（10 分）
又当 时, ,
当 时, . ……………（11 分）
故使 成立的正整数 的最小值为 5. ………（12 分）
22、解：（1）设第 n 年开始获利，获利为 y 万元，
由题意知，n 年共收益 30n 万元，每年的费用是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
故 n 年的总费用为 ． …………………（2 分）
∴获利为 …………………（4 分）
由 即 解得 ……………………（5 分）
∵n∈N*，∴n＝4 时，即第 4 年开始获利． ……………………（6 分）
（2）方案一：n 年内年平均获利为 ．
由于 ，当且仅当 n＝9 时取“＝”号．
∴ （万元）．
即前 9 年年平均收益最大，此时总收益为 12×9＋46＝154（万
元）．……………………………（9 分）
方案二：总纯收入获利 ．
∴ 当 n＝15 时， 取最大值 144，此时总收益为 144＋10＝154（万元）．
……………（11 分）
∵两种方案获利相等，但方案一中 n＝9，所需的时间短，
∴方案一较合算． …………（12 分）
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