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第 69 讲 特殊角的三角函数值
题一：求下列各式的值：
(1) ；(2)(1+ )0+( )－1+2cos3 0°．
题二：求下列各式的值．
(1)sin230°+sin245°+ cos60°cos45°；(2)2sin45°－ ．
题三：根据下列条件，确定锐角 α 的值：
(1)sinα+ cos230°= ；(2)tan2α－(1+ )tanα+ =0．
题四：根据下列条件，确定锐角 α 的值：
(1)cos(α+10°)－ =0；(2)sin2α－ sinα+ =0．
题五：如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，在边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA，AE 与 CD 相交于点
F．求：tan22.5°的值．
题 六：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD 是等 边三角形，将四边形 ACBD 沿直线
EF 折叠，使 D 与 C 重合，CE 与 CF 分别交 AB 于点 G、H．
(1)求证：△AEG∽△CHG；
(2)若 BC=1，求 cos∠CHG 的值．
3cos30 2sin 45 tan 45 cos60° − ° + ° ° 2 1
2
2 2 tan60(cos60 sin60 ) 2
°° − ° +
5
4 3 3
3
2
3 1
2
+ 3
42
第 69 讲 特殊角的三角函数值
题一： 2－ ； ．
详解：(1)原式= × － 2× +1× =2－ ；
(2)原式=1+2+2× = ．
题二：1 ； + ．
详解：(1)原式= + + × × =1 ；
(2)原式=2× －( － )+ = + ．
题三：30°；60°或 45°．
详解：(1)∵sinα+cos230°= ，cos30°= ，∴sinα= －( )2= ，∴α=30°；
(2)∵tan2α－(1+ )tanα+ =0，∴(tanα－ )(tanα－1)=0，
∴tanα= 或 tanα=1，∴α=60°或 α= 45°．
题四：20°；30°或 60°．
详解：(1)∵c os(α+10°)－ =0，∴cos(α+10 °)= ，∴α+10°=30°，∴α=20°；
(2)∵sin2α－ sinα+ =0，∴(sinα－ )(sinα－ )=0，
∴sinα－ =0 或 sinα－ =0，∴α=30°或 α=60°．
题五： －1．
详解：∵在正方形 ABCD 中，AB=1，
∴AC= ，而 C E=CA，∴∠E=∠CAE，
∴BE=BC+CE= +1，而∠ACB= 45°
∴tan∠E=tan22.5°= = = －1．
题六：见详解．
2 3 3+
3 3
2
2
2
1
2 2
3
2 3 3+
1
4
1
2 2
1
4
1
2 2 1
2
2
2
1
4
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2 2
5
4
3
2
5
4
3
2
1
2
3 3 3
3
3
2
3
2
3 1
2
+ 3
4
1
2
3
2
1
2
3
2
2
2
2
AB
BE
1
2 1+ 23
详解：(1)∵△ABD 是等边三角形，∴∠EAG= ∠D=60°，
根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，
又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG；
(2)在△ABC 中，∠BAC=30°，BC=1，
则 AC= ，AB=2，故 AD=AB=2，
设 DE=EC=x，则 AE=2－x，
在 Rt△AEC 中，由勾股定理得(2－x)2+3=x2，解得 x= ，
∴AE= ，EC= ，∴cos∠AEC= = ，
由(1)的相似三角形知∠AEG=∠CHG，故 cos∠CHG=cos∠A
3
7
4
1
4
7
4
AE
EC
1
7
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