1
题型二 解直角三角形的实际应用
1.(2017·常德)如图①,②分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座 BC=0.60
米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°,支架 AF 的长为 2.50 米,篮板顶端 F 点到篮
框 D 的距离 FD=1.35 米,篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE=60°,求篮框 D 到地
面的距离.(精确到 0.01 米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈
3.732, 3≈1.732, 2≈1.414)
2.(2017·海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专
家提供的方案是:水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1∶1(即 DB∶EB=1∶1),
如图所示,已知 AE=4 米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度 BC.
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2) 2
3.(2017·广元)如图,某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸,救援队立即赶赴现场进
行救援,救援队利用生命探测仪在地面 A,B 两个探测点探测到地下 C 处有生命迹象.已知
A,B 两点相距 8 米,探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°,试确定生命所在点 C 的深度
(结果保留根号).
4.(2017·呼和浩特改编)如图,地面上小山的两侧有 A,B 两地,为了测量 A,B 两地
的距离,让一热气球从小山西侧 A 地出发沿与 AB 成 30°角的方向,以每分钟 40m 的速度直
线飞行,10 分钟后到达 C 处,此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70°角,请你用测得的数
据求 A,B 两地的距离 AB 长.(结果精确到 0.1 米,参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈
0.94,tan20°≈0.36, 3≈1.73, 2≈1.41) 3
5.(2017·兰州)“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前,是黄河上
第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥”之美誉.它像一部史诗,记载着兰州古往
今来历史的变迁.桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥.
小芸和小刚分别在桥面上的 A,B 两处,准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部 C 处到桥
面的距离,AB=20 m,小芸在 A 处测得∠CAB=36°,小刚在 B 处测得∠CBA=43°,求弧形
钢架拱梁顶部 C 处到桥面的距离.(结果精确到 0.1 m)(参考数据 sin36°≈0.59,cos36°≈
0.81,tan36°≈0.73,sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)
6.(2017·聊城)耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔,是“运河四大名塔”之一(如
图①).数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点 P 处,利用测角仪测得运河两岸上的 A,B 两
点的俯角分别为 17.9°,22°,并测得塔底点 C 到点 B 的距离为 142 米(A、B、C 在同一直
线上,如图②),求运河两岸上的 A、B 两点的距离(精确到 1 米).
(参考数据:sin22°≈0.37, cos22°≈0.93, tan22°≈0.40, sin17.9°≈0.31,
cos17.9°≈0.95,tan17.9°≈0.32)
7.(2017·随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源,风电机组主要由塔
杆和叶片组成(如图①),图②是从图①引出的平面图.假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰
角是 55°,沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处,在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高4
位置,此时测得叶片的顶端 D(D、C、H 在同一直线上)的仰角是 45°.已知叶片的长度为 35
米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),山高 BG 为 10 米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆 CH 的
高.(参考数据:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
8.(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60°方向,距离港口 20 海里 B 处,
它沿北偏西 37°方向航行至 C 处突然出现故障,在 C 处等待救援,B,C 之间的距离为 10 海
里,救援艇从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处,求救援艇的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°
≈0.8, 3≈1.732,结果取整数) 5
题型二 解直角三角形的实际应用
1.解:如解图,延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过 A 作 AG⊥FM 于 G,
在 Rt△ABC 中,tan∠ACB=
AB
BC,
∴AB=BC·tan75°≈0.60×3.732=2.2392 米,
∴GM=AB=2.2392 米,
在 Rt△AGF 中,∵∠FAG=∠FHE=60°,sin∠FAG=
FG
AF,∴sin60°=
FG
2.5=
3
2 ,∴FG≈
2.17 米,∴DM=FG+GM-DF≈3.06 米.
答:篮框 D 到地面的距离是 3.06 米.
2.解:设 BC=x 米,在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,
AB=
BC
tan50°≈
BC
1.2=
5BC
6 =
5
6x,
在 Rt△EBD 中,
∵i=DB∶EB=1∶1,∴BD=BE,
∴CD+BC=AE+AB,即 2+x=4+
5
6x,解得 x=12,
即 BC=12 米,
答:水坝原来的高度约为 12 米.
3.解:作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D,如解图所示,
由已知可得,
AB=8 米,∠CBD=45°,∠CAD=30°,∴AD=
CD
tan30°,BD=CD,
∴AB=AD-BD=
CD
tan30°-CD,即 8=
CD
3
3
-CD,
解得,CD=(4 3+4)米,
答:生命所在点 C 的深度是(4 3+4)米.
4.解:如解图,过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M,6
由题意得:AC=40×10=400(米).
在 Rt△ACM 中,∵∠A=30°,
∴CM=
1
2AC=200 米,AM=
3
2 AC=200 3米.
在 Rt△BCM 中,∵tan20°=
BM
CM,∴BM=200tan20°,
∴AB=AM-BM=200 3-200tan20°=200( 3-tan20°)≈274.0 米,
答:A,B 两地的距离 AB 长约为 274.0 米.
5.解:如解图,过点 C 作 CD⊥AB 于 D.设 CD=x,
在 Rt△ADC 中,tan36°=
CD
AD,∴AD=
x
tan36°,
在 Rt△BCD 中,tan43°=
CD
BD,BD=
x
tan43°,
∴
x
0.93+
x
0.73=20,
解得 x≈8.2 m.
答:拱梁顶部 C 处到桥面的距离 8.2 m.
6.解:根据题意,BC=142 米,∠PBC=22°,∠PAC=17.9°,
在 Rt△PBC 中,tan∠PBC=
PC
BC,
∴PC=BC·tan∠PBC=142·tan22°,
在 Rt△PAC 中,tan∠PAC=
PC
AC,
∴AC=
PC
tan∠PAC=
142tan22°
tan17.9° ≈
142 × 0.40
0.32 ≈177.5 米,
∴AB=AC-BC=177.5-142≈36 米.
答:运河两岸上的 A、B 两点的距离为 36 米.
7.解:如解图,作 BE⊥DH 于点 E,
则 GH=BE,BG=EH=10 米,
设 AH=x,则 BE=GH=GA+AH=43+x,
在 Rt△ACH 中,CH=AH·tan∠CAH=tan55°·x,
∴CE=CH-EH=tan55°·x-10,
∵∠DBE=45°,
∴BE=DE=CE+DC,即 43+x=tan55°·x-10+35,7
解得:x≈45,
∴CH=tan55°·x=1.4×45=63 米.
答:塔杆 CH 的高约为 63 米.
8.解:如解图,过点 C 作水平线,使得 EF⊥AF,EF⊥EB,过点 A 作 AD⊥EB,
由题意得,∠FAB=60°,∠CBE=37°,∴∠BAD=30°,
∵AB=20 海里,∴BD=10 海里,
在 Rt△ABD 中,AD= AB2-BD2=10 3≈17.32 海里,
在 Rt△BCE 中,sin37°=
CE
BC,
∴CE=BC·sin37°≈0.6×10=6 海里,
∵cos37°=
BE
BC,∴EB=BC·cos37°≈0.8×10=8 海里,
EF=AD=17.32 海里,∴FC=EF-CE=11.32 海里,
AF=ED=EB+BD=18 海里,
在 Rt△AFC 中,AC= AF2+FC2= 182+11.322≈21.26 海里,
21.26×3≈64 海里/小时.
答:救援艇的航行速度大约是 64 海里/小时.