第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第2课时平行四边形的性质定理1,2的综合
1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A．AE＝CF
B．BE＝DF
C．BF＝DE
D．∠1＝∠2
2．[丽水]如图，在ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
A.
B．2
C．2
D．4
3．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)、A(3，0)、B(1，1)、C(x，1)，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝____________．
4．[大连]如图，在ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
5．[2018·曲靖]如图，在平行四边形ABCD的边AB、CD上截取AF、CE使得AF＝CE，连结EF，点M、N是线段上的两点，且EM＝FN，连结AN、CM.
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(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
6．如图，在ABCD中，∠ABC的平分线BG交AD于点G，∠BCD的平分线CE交BG于点F，交AD于点E.
(1)求证：BG⊥CE；
(2)若AB＝3，BC＝4，求EG的长．
7．如图，ABCD内有一点E，满足ED⊥AD于点D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，请找出与BE相等的一条线段，并予以证明．
6
8．如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
6
参考答案
1．A
2．C
3．4或－2
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，
即∠BAE＝∠DCF.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM.
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM.
∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，
∴107°＝72°＋∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°.
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
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∴∠ABG＝∠CBG，∠BCE＝∠DCE，
∴∠CBG＋∠BCE＝90°.
在△BCF中，∠BFC＝180°－∠CBG－∠BCE＝90°，
即BG⊥CE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠AGB＝∠CBG.
又∵∠ABG＝∠CBG，
∴∠AGB＝∠ABG，
∴AB＝AG＝3，
∴GD＝AD－AG＝4－3＝1，
同理：AE＝1，
∴EG＝AD－AE－GD＝4－1－1＝2.
7．解：CD＝BE.
证明：如答图所示，延长DE交BC于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵ED⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠BFE＝∠DFC＝90°.
又∵∠ECB＝45°，
∴∠FEC＝∠ECB＝45°，
∴FE＝FC.
∵∠EBC＝∠EDC，
∴△BEF≌△DCF，
∴CD＝BE.
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8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝ECF，∠DAE＝∠F，
又点E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴CD＝2DE＝8.
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