南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 1 页（共 9 页）
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数 学 试 卷（理工类） 2019.03
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120
分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
参考公式：
·锥体的体积公式 V 圆柱=Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合 A={x|–2≤x≤2}，B={x|y= 1
1 x
}，那么 A∩B=（ ）．
（A）{x|–2≤x＜1} （B）{x|–2≤x≤1} （C）{x|x＜–2} （D）{x|x≤2}
（2）设变量 x，y 满足约束条件
20
2 2 0
0
3
≥ ，
≥ ，
≤ ，
≤ ，
xy
xy
x
y
则目标函数 z=x–y
的最大值为（ ）．
（A）1 （B）–1 （C） 3
2 （D）–3
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的
i=（ ）．
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
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（4）设 a，b∈R，则“a＜b”是“(a–b)a2＜0”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）函数 y=2sin( π
3 –2x)（x∈[0，]）为增函数的区间是（ ）．
（A）[0， 5
12
] （B）[0，
2
] （C）[ ，11
12
] （D）[ ，]
（6）函数 f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f(–3)=0，则不等式 xf(x)＜0 的解
集为（ ）．
（A）(–3，0)∪(3，+∞) （B）(–∞，–3)∪(0，3)
（C）(–∞，–3)∪(3，+∞) （D）(–3，0)∪(0，3)
（7）过双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x （a＞0，b＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于
A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA（O 为坐标原点），则双曲线的离
心率为（ ）．
（A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5
（8）如图，在△ABC 中，∠BAC= π
3
， AD =2 DB ，P 为
CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1
2 AB ，若△ABC
的面积为 2 3 ，则| |的最小值为（ ）．
（A） 2 （B） （C）3 （D） 4
3
A
C
B
P
D
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第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共 12 小题，共 110 分．
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请
将答案填在题中横线上。
（9）已知复数 z=1 3i
3i
，则 z 的实部为 ．
（10）二项式( x – 3
1
x
)5 的展开式中常数项为 ．
（11）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分
别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积
是为 ．
（12）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
222
4
，
，
xt
yt
（t 为参数）．点
M( 2 ，0)，P 为 C 上一点，若|PM|=4 ，则△POM 的面积为 ．
（13）已知 x，y 均为正实数，且 2 xy
xy = 7 62 ，则 x+3y 的最小值为 ．
（14）设函数 f(x)=
2 5 6 0
4 4 0
， ≥ ，
， .
x x x
x x <
若函数 g(x)=x+a–f(x)有三个零点，则这三个
零点之和的取值范围是 ．
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三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分 评卷人
（15）（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，B=2C，sinC= 7
4
．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）设 bc=24，求边 a 的长．
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得 分 评卷人
（16）（本小题满分 13 分）
现有长分别为 1m、2m、3m 的钢管各 3 根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的
编号）， 从中随机抽取 n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9）， 再将抽取
的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当 n=3 时，记事件 A={抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等}，求 P(A)；
（Ⅱ）当 n=2 时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学
期望 E．
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得 分 评卷人
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在三棱锥 SABC 中，SA⊥底面 ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E 分别是
AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF=2FE．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面 SBC；
（Ⅱ）求直线 SA 与平面 SBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 DE 上是否存在点 G，使二面角 GAFE 的
大小为 30°？若存在，求出 DG 的长；若不存在，请说明
理由．
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得 分 评卷人
（18）（本小题满分 13 分）
已知数列{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a5=3a2，S7=14a2+7．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{(–1)nbn(an+bn)}的前
n 项和 Tn．
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得 分 评卷人
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C： 12
2
2
2
b
y
a
x （a＞b＞0）的离心率为
3
6 ，两焦点与短轴的一个端点的连
线构成的三角形面积为 2 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设与圆 O：x2+y2= 3
4
相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点），
求|OA|cos∠OAB+ tan
3
2 OBA
的最大值．
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得 分 评卷人
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)=lnx–ax+a，g(x)= 1
e
x
x ．
（Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；
（Ⅱ）若 f(x)≤0 恒成立，证明：当 0＜x1＜x2 时， 12
12
( ) ( )f x f x
xx
＜
1
1
x –1．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：f(x)(g(x)–1)＞g(x)– 2
1
e
．
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